电力系统分析习题集第四章

电力系统分析习题集（第四章）【例 4-1】试求解图 2-8 的简单系统的最优潮流。【解】除由图 2-8 提供的系统母线负荷功率数据、线路参数和变压器支路参数数据、变压器变比数据（非标准变比在首端）之外，以下顺序给出线路传输功率边界、发电机有功、无功出力上下界和燃料耗费曲线参数(燃料耗费曲线所用有功功率变量为标幺值) 。若不作说明所有数据都是以标幺值形式给出，功率基准值为100MVA，母线电压上下界分别为 1.1 和 0.9。表 4-1 线路传输功率边界支路号 首末端母线号 线路传输功率边界1 1-2 22 1-3 0.653 2-3 24 2-4 65 3-5 5表 4-2 发电机数据出力上界 出力下界 燃料耗费曲线参数发电机序号母线号 有功 无功 有功 无功 二次系数 一次系数 常 数1 4 8 3 1 -3 50.4395 200.4335 1200.64852 5 8 5 1 -2.1 200.55 500.746 1857.201首先，我们先列出该算例的数学模型和有关计算公式。在该算例中，共有节点 5 个，相应的状态变量为：54321 VVVx系统中有 2 台发电机，没有其它无功源，因此控制变量为： RGQPu应该指出，此处发电机和无功源的编号与节点编号无关，是独立编号的。这是因为系统中一个节点可能接有多台发电机的缘故。因此系统中总变量共 14 个：。 543212121 VVVR x最优潮流的数学模型为：目标函数： .min )()( 021220112 aPaPaGG约束条件：每个节点有 2 个潮流方程，共有 10 个等式约束条件。对非发电机节点： 0)sinco(51 jj jijijiDi BVP（ ）)csi(ijj ijjjii GQ3,21i对发电机节点：0)sinco(51 jj jijijiDikGi BVP（ ）)csi(ijj ijjjiiki GQ5,4i（ 表示第 台发电机接在节点 上， ， ）ikki41k52k不等式约束条件共有 14 个，分别为：（ ） GiiiP,1i（ ） RRQ（ ） iiV5,.i（对所有 5 条支路）jjj其中： )sinco(2 jjijiiii BP根据以上模型可以形成式（4-30）的修正方程。构成该方程式包括形成等式左边的系数矩阵和等式右边的常数项两部分。（1）形成系数矩阵式（4-30）中修正方程的系数矩阵主要由 4 大部分组成：等式约束雅可比矩阵 、不等式约束雅可比)(xh矩阵 、对角矩阵 ， 和海森矩阵 。以下分别进行讨论。)(xgZL1WUH 等式约束的雅可比矩阵： 104)(xhQPRGx式中右端矩阵包含 3 个子矩阵： 其中：10252211. GGPQPQGPh jiPQGijij01其中：10252211. RRQQRh jiQRijij01式中 为发电机的序号， 为节点号， 表示第 台发电机是接在节点 上的，反之用 表示。i jjii ji（潮流计算中的雅可比矩阵）1055151511.VQPVQPPPxh 不等式约束的雅可比矩阵： 14321432xgxgQPgRRGGx式中 、 、 和 依次表示电源有功出力的上下界约束，无功电源无功出力的上下界约束，节点电压幅值1g234g的上下界约束和线路潮流约束。， ， ； ， ， ； ，21IPgG210QgR210xg20PgG2IQgR210xg5230PgG5230QgR， ， 5454（其中第 行 列元素为 1，其余元素均为 0）5103.0.100xg i251045421141424.VgVgggx矩阵中的元素为： )cossin(ijijjjiij BGp )cossin(ijijjjiji BGVp)n2ijijijijijV icojjijijji 对角矩阵 ， 。 ),.(1411lzldiagZL ),.(141uwdiagWU 海森矩阵 。()()222 xgUZLxwzxgyhxfH T这是最复杂的部分，共包含 4 项。由以上推导已经可以得到其中第 4 项：)()(UZLg1Txx而其余 3 项是：目标函数的海森矩阵 、等式约束海森矩阵与拉格朗日乘子 的乘积 和不等式约2f yyxh)(2束海森矩阵与拉格朗日乘子 的乘积 ，现分别讨论如下。wzwzgx 目标函数的海森矩阵： ，其中 是以机组燃料用二次系数 （ ）为对1422)(0Afx 2Aia2GS角线的矩阵 。2R 等式约束海森矩阵 与拉格朗日乘子 的乘积， 可表示为：yxh)(yyxh)(2 ni iiiiii iiiRiRii iiiiiGiG yQyPyQyPyQyP yy1 212212212 222222 111 )()()( )()()( xxxxxxP xRRRR GGG1402102A因此只需求其中 ，为此首先应求出 和 ：)(25QiPiiiy piAQi 2552152152 5125121212 VPVPiiii iiiipi A根据 的表达式（见模型）不难得到矩阵中的元素，如：iP)sinco(2 jjijijiji BGV )sinco(2 jjijijiji BGPsinijijjjiji sinijijjjijiV等等。同理，对于 2552152152 5125121212.VQVQiiii iiiiQi A也可根据 的表达式（见模型）不难得到矩阵中的元素，如：i)cossin(2 ijijjjiji BGV )cossin(ijijjjiji BGicjjijijijiQ ico2 jjijijjiVQ等等。综合以上公式，即可得到 中各元素为：A)cossinco(sin)sin cosin()( 2122122 1221512 jijijijjj jiijijijijjji yyyyBy yGVQP )sincossincos()cos (i)( 2122122 1151 jjiijijijji jiijijjjjj yyyyV )cossincosin()sin s()( 2122122 12151 jikjkikikjk jikiiijjj yyyByGQP )sincossincos()cos ()( 2122122 1151 jkjikikikijik jiiiijjj yyyyyVV )()(1151 iijijji BGQP)sincossincos()cos ic(i)( 2122122 1jkjikikikijikj jkiijjj yyyyByVV )sincossin(cos)cos i()( 2122122 1151 jkjikikikijik jiiijjjj yyyyyGQP )cossinco(sin)sin i()( 2122122 1151 jikjkikikjk jiiiijjj yyyByGVQVP 不等式约束海森矩阵与拉格朗日乘子 的乘积 wz(wzxg设 ，我们有：cwz 21 2222221 21221121 i iiRiGiRiiRi iGiGiii iiRiGiiiRiGiRiG cxgcQxgcPxgQcxPgcPccxgcQxgcPxgcxPgcgg 51 232323 222 333 i iiiRiiGi iRiiiiRi iiiGiii cxgcQxgcPxgP 51 524524524 222 545454 i iiiRiiGi iRiiiiRi iGiiGiii cxgcQxgcPxgQPP很明显前 3 项矩阵中各元素均为 0，最后一项矩阵的元素按上式求解，在此不再详述。（2 ） 形成常数项， ， ， 和 根据式（4-15）（4-19 ）都很容易求出。剩下的 可表示为：yLzwlLu xL)()()( 11 wuzlxxxx (f WUZLgwzgyh(x 当知道目标函数梯度矢量 0xQPRG12214)( aPfff Gx之后，再根据以上等式和不等式约束雅可比矩阵的公式就可以求出 。至此，与例题有关的公式已全部推导完xL毕以下我们对该算例的寻优过程用数字加以说明。设 4、5 节点发电机均能由算法调节其出力。在初始化过程中各变量初值是根据实际问题自行设置的，我们给出所用各变量的初值如下：节点电压 ， （1iV0i） ；平衡节点 ， ；发电机有功、无功出力和无功源无功出力均取其上下界的平均值；松4,321i 05.1V弛变量 ， ，拉格朗日乘子 ， （ ） ，iliu1iz5.0iw14,.i， （ ） 。012Eyi 2Ey,432按图（4-1）所示的流程计算，当收敛条件取 时，需要进行 17 次迭代。表 4-3 、4-4 、4-5 、4-6 是第6一次迭代 、 、 和 的值。xLzwL表 4-3 在第一次迭代后的取值xLLx1 Lx2 Lx3 Lx4 Lx5 Lx6 Lx7653.8890 2305.1960 -0.5000 -0.5000 2.7263E-25 -0.5000 1.2501E-25Lx8 Lx9 Lx10 Lx11 Lx12 Lx13 Lx14-0.5000 -6.5532E-26 -0.5000 2.0553E-25 -0.5000 -1.4005E-25 -0.5000表 4-4 在第一次迭代后的取值yLLy1 Ly2 Ly3 Ly4 Ly54.5000 -3.1746 4.5000 -1.9667 -1.6000Ly6 Ly7 Ly8 Ly9 Ly10-0.5500 -3.700 2.0490 -2.000 2.5234表 4-5 在第一次迭代后的取值zLLz1 Lz2 Lz3 Lz4 Lz5 Lz6 Lz7 Lz8 Lz9 Lz102.5000 2.5000 2.0000 2.5500 -0.900 -0.850 -0.900 -0.900 -0.900 1.0000Lz11 Lz12 Lz13 Lz14 Lz15 Lz16 Lz17 Lz18 Lz191.0000 -0.350 -0.350 1.0000 1.0000 5.0000 5.0000 4.0000 4.0000表 4-6 在第一次迭代后的取值wLLw1 Lw2 Lw3 Lw4 Lw5 Lw6 Lw7 Lw8 Lw9 Lw10-2.500 -2.500 -2.000 -2.550 0.9000 0.9500 0.9000 0.9000 0.9000 -1.000Lw11 Lw12 Lw13 Lw14 Lw15 Lw16 Lw17 Lw18 Lw19-1.000 0.3500 0.3500 -1.000 -1.000 -5.000 -5.000 -4.000 -4.000各次迭代过程各节点电压增量，有功源有功、无功源无功出力增量的变化情况如表 4-7 和表 4-8 所示。表 4-7 迭代过程中各节点电压增量的变化情况迭代次数11V22V31 1.578E-1 4.392E-1 6.724E-1 5.668E-1 -2.796E-22 -1.508E-1 8.101E-1 -5.343E-1 3.873E-1 2.996E-23 -3.494E-4 -3.101E-1 7.388E-2 -2.867E-1 -1.149E-24 -2.866E-2 -3.042E-1 3.188E-2 -2.326E-1 -1.841E-25 -3.948E-2 -2.880E-1 1.980E-2 -1.623E-1 -2.304E-26 -4.262E-2 -2.322E-1 1.105E-3 -1.615E-1 -1.861E-27 -2.439E-2 -4.229E-2 -7.738E-3 -1.010E-2 -6.500E-38 -7.035E-3 -9.491E-3 -2.730E-3 -2.328E-3 -1.407E-39 -5.185E-3 2.251E-3 -5.593E-3 -2.221E-3 3.028E-410 -6.356E-3 -3.512E-5 -9.307E-3 6.195E-3 -1.037E-311 -4.284E-2 2.069E-3 -6.595E-2 -2.035E-3 -7.124E-312 -4.046E-2 1.932E-3 -6.229E-2 -1.932E-3 -6.742E-313 -1.846E-2 7.766E-4 -2.852E-2 -7.766E-4 -3.161E-314 -5.974E-4 3.890E-7 -9.428E-4 -3.830E-7 -1.206E-415 -9.147E-7 -1.847E-9 -1.432E-7 6.73E-10 -1.815E-716 1.507E-9 -1.92E-10 2.454E-7 1.56E-10 2.58E-1017 1.99E-10 -1.94E-11 3.21E-10 1.58E-11 3.53E-11迭代次数3V44V51 4.444E-1 7.727E-1 4.637E-1 3.195E-12 1.185E0 -5.874E-1 3.009E-1 1.194E03 -9.723E-2 8.757E-2 -2.600E-1 -3.064E-24 -1.804E-1 4.053E-2 -2.020E-1 -1.361E-15 -2.549E-1 2.432E-2 -1.285E-1 -2.303E-16 -1.469E-1 5.845E-3 -1.371E-1 -1.173E-17 -1.812E-2 -7.739E-3 -4.859E-3 -1.298E-28 -5.358E-4 -2.734E-3 -1.305E-3 9.482E-49 1.783E-2 -5.521E-3 -2.950E-3 1.957E-210 2.122E-5 -1.045E-2 6.650E-3 -4.706E-411 2.206E-3 -6.978E-2 -3.451E-3 -2.184E-312 2.082E-3 -6.592E-2 -3.259E-3 -2.040E-313 9.166E-4 -3.023E-2 -1.306E-3 -8.197E-414 2.149E-5 -1.009E-3 8.609E-7 -4.108E-715 3.474E-8 -1.530E-6 4.715E-9 3.171E-916 9.749E-11 2.590E-9 2.353E-10 3.204E-1017 8.141E-12 3.398E-10 2.357E-11 3.233E-11表 4-8 迭代过程中有功源有功、无功源无功出力增量的变化情况有功源有功出力增量 无功源无功出力增量迭代次数 1GP2GP1GQ2GQ1 1.868E0 -3.568E0 -4.225E-1 -6.253E-12 1.926E-1 -7.906E-1 -6.139E0 3.959E03 5.205E-1 -5.646E-1 1.411E0 2.726E04 1.121E-1 -1.923E-1 1.793E0 1.442E05 -3.941E-2 -3.246E-2 2.107E0 2.068E-16 -6.956E-2 -1.318E-2 1.357E0 7.985E-17 -7.135E-3 1.597E-2 1.997E-1 6.519E-28 -2.662E-3 6.659E-3 3.086E-2 4.090E-29 -6.003E-3 7.330E-3 -9.541E-2 1.275E-110 -1.554E-3 -3.253E-3 3.206E-2 -3.285E-211 -3.016E-1 2.273E-1 -1.653E-1 -1.651E-112 -2.853E-1 2.156E-1 -1.550E-1 -1.546E-113 -1.323E-1 1.038E-1 -6.626E-2 -6.307E-214 -4.717E-3 4.584E-3 -1.069E-4 -2.733E-415 -7.174E-6 6.991E-6 9.323E-9 -3.002E-716 1.217E-8 -8.857E-9 7.474E-9 8.755E-917 1.596E-9 -1.251E-9 7.566E-10 9.026E-10将各次迭代过程中 变化情况绘制成曲线，可以显示出跟踪中心轨迹内点法最优潮流的收敛特性，见图Gap4-2。计算结果与原潮流计算结果比较见表 4-9、4-10 和 4-11。从表中看出，由于 4 机组比 5 机组的燃料耗费曲1.E-081.E-061.E-041.E-021.E+001.E+021 6 11 16迭 代 次 数Gap图 4-2 5 节点系统最优潮流内点法收敛特性线系数小，因此 4 机组有功出力增加， 5 机组有功出力减少。同时系统的网损、无功出力都有所增加，这是由于要将 1 节点电压抬高至其下界以满足不等式约束的要求而引起的。但是网损的增加并不影响目标函数的优化，整个系统的燃料费用与不优化的潮流计算相比仍然减少了 243.76$。表 4-9 各有功源有功及无功源无功出力有功出力 无功出力 燃料费用（$）发电机序号母线序号 OPF PF OPF PF OPF PF1 4 5.5056 5.0000 1.7780 1.8311 3833.06 3463.802 5 2.1568 2.5794 2.6194 2.2994 3870.13 4483.15总计 7.6624 7.5794 4.3974 4.1305 7703.19 7946.95表 4-10 各节点电压向量电压幅值 电压相角（弧度）母线序号 OPF PF OPF PF1 0.90000 0.8622 -0.00697 -0.083402 1.10000 1.0779 0.40491 0.311603 1.08175 1.0364 -0.057126 -0.074734 1.06970 1.05000 0.47867 0.311605 1.10000 1.05000 0 0表 4-11 支路有功功率支路有功功率ijPjiP支路号 首末端母线号OPF PF OPF PF1 1-2 -1.6064 -1.4662 1.7347 1.58452 1-3 -0.0064 -0.1338 -0.0203 0.15693 2-3 1.7709 1.4155 -1.5635 -1.27744 2-4 -5.5056 -5 5.5056 55 3-5 -2.1568 -2.5794 2.1568 2.5794如果固定发电机组 4 的有功出力为 5，最优潮流计算只能起到减小网损，优化系统无功的作用。从以下的结果可以看出，系统的网损减少了 0.0178，即 1.78MW，从而整个系统的燃料费用减少了 27.27$。节点 1 的电压抬高至 0.9129，整个系统无功出力减少 0.2339，即 23.39 MVA。表 4-12 各有功源有功及无功源无功出力有功出力 无功出力 燃料费用（$）发电机序号母线序号 OPF PF OPF PF OPF PF1 4 5.0000 5.0000 2.3585 1.8311 3463.80 3463.802 5 2.5616 2.5794 1.5381 2.2994 4455.88 4483.15总计 7.5616 7.5794 3.8966 4.1305 7919.68 7946.95表 4-13 各节点电压向量电压幅值 电压相角（弧度）母线序号 OPF PF OPF PF1 0.9129 0.8622 -0.06917 -0.08342 1.1000 1.0779 0.30003 0.311603 1.0855 1.0364 -0.06787 -0.074734 1.0669 1.0500 0.36718 0.381235 1.0960 1.0500 0 0表 4-14 支路有功功率支路有功功率ijPjiP支路号 首末端母线号OPF PF OPF PF1 1-2 -1.4777 -1.4662 1.5840 1.58452 1-3 -0.1223 -0.1338 0.1448 0.15693 2-3 1.4160 1.4155 -1.2832 -1.27744 2-4 -5 -5 5 55 3-5 -2.5616 -2.5794 2.5616 2.5794【例 4-2】 采用 5 节点的简单系统说明上面提出的阻塞管理模型和算法的可行性。系统接线和初始潮流如图2-13 所示。系统中有两台发电机(厂)G1 和 G2，3 个用户 L3，L4 和 L5，一个双边合同，合同功率值为 300MW，从 G2 流向 L5，这是在短期双边合同市场中形成的，其余的电源和负荷均由调度管理中心在日竞价市场中调度。在实时平衡市场中，G1,G2 和 L4 向处理函数不等式约束的良好性能提交自己增加和削减出力（负荷）的报价来参与实时阻塞管理中的竞争。双边合同交易方也向处理函数不等式约束的良好性能提出了自己的削减报价： MW/$8,/$2011bb552/34/$0,0,2bP从各方报价可以看出，负荷削减的报价要高于发电机的报价，因为发电机更容易调整出力；而双边合同的削减价格远远高于以上两者，因为交易双方由于经济利益都不愿意削减合同量，因此只有在网络阻塞状况极其严重，而且仅靠实时平衡市场中的电源难以满足要求的情况下才削减双边合同量。（1 ） 只调整发电机出力，不需调整双边合同和负荷假设出于某种原因支路 45 的功率极限降到 100MW，小于正常情况下的潮流功率值，即发生了阻塞。为了消除阻塞，运行阻塞管理程序，得到最经济的解决方案：把 G2 的出力减小到 308MW，把 G1 的出力提高到441.8MW。计算结果显示，线路 45 之间的潮流功率是 100MW，其余的约束条件也都满足要求，全部的管理费用是$1253。在这种情况下， L4 和双边合同都未进行调整，因为它们的报价远远高于发电机，而且只需调整发电机出力就可以解决这种情况的阻塞问题，这种选择是由优化算法本身决定的。（2 ） 需要调整发电机出力和双边合同假设因为某种原因，线路 2 4 的功率极限降到 250MW，显然， G2 的输出功率被限制在 250MW，这样导致必须削减节点 2 和 5 之间的双边合同才能满足要求，因为 蔼 MW。运行阻塞管理程序得到以下调305,2P整策略： 电机 G2 在实时平衡市场中削减 200MW。 削减双边合同 50MW，即 G2 和 L5 要同时削减 50MW，即 MW，G2 的出力全部用于满足250,双边合同，在平衡市场中出力为 0。 增加 G1 的出力至 442.5MW。这种情况下总的调整费用为 7192，线路 25 的功率限制在 250MW，其余约束均满足安全要求。$（3 ） 负荷也参与阻塞管理前两种情况都没有涉及负荷的调整，当阻塞进一步严重时有必要对负荷进行削减才能解决阻塞问题。结合前两种情况，即 45 支路的功率极限降到 100MW，同时 24 的功率极限为 250MW，这种情况下，除了调整双边合同量，还要同时削减节点 4 的负荷 L4。计算结果显示，除了双边合同削减了 50MW，负荷 4 也削减了47.4MW，G1 的出力为 392.9MW，G2 的出力为 250MW，这时调整费用为 7385，各条线路满足约束条件。$计算 5 节点系统中发电厂节点到负荷节点的 ATC1。系统的网络拓扑和负荷数据如图 4-9 所示。该系统由 5个节点、7 条支路构成，共 9 台发电机，总装机容量 1164MW。假设系统负荷的实际值偏离预测值的方差，即系统中每个节点的负荷波动服从正态分布 。系统状态抽