2018中考总复习圆的切线专题

1、题型专项 (八)与切线有关的证明与计算类型 1与全等三角形有关1(2016 梧州 ) 如图，过o 上的两点 a，b 分别作切线，交于 bo，ao的延长线于点 c， d，连接 cd，交o 于点 e， f，过圆心 o作 omcd，垂足为点 m.求证： (1) aco bdo；(2)ce df.证明： (1) ac， bd分别是 o的切线， a b 90 .又 ao bo， aoc bod， aco bdo.(2) aco bdo，oc od.又 omcd， cmdm.又 omef，点o是圆心，em fm.cm emdm fm.ce df.2(2016 玉林模拟 ) 如图， ab是o的直径， bac

2、 60， p 是 ob上一点，过 p 作 ab 的垂线与 ac的延长线交于点 q，过点 c 的切线 cd交 pq于点 d，连接 oc.(1) 求证： cdq是等腰三角形；(2) 如果 cdq cob，求 bppo的值解： (1) 证明：由已知得 acb 90， abc30 . q 30， bco abc 30 .cd是o的切线， co是半径，cd co. dcq bco 30 . dcq q.故 cdq是等腰三角形(2) 设o的半径为 1，则 ab2， oc1， bc 3.等腰三角形cdq与等腰三角形cob全等，cq cb3.aq accq 13.11 3ap aq.22bp abap3 3.

3、2po apao3 1.2bp po3.3(2016 柳州 ) 如图， ab为 abc外接圆o 的直径，点 p 是线段 ca的延长线上一点，点 e 在弧上且满足 pe2 pa pc，连接 ce， ae， oe交 ca于点 d.(1) 求证： pae pec；(2) 求证： pe为o的切线；1(3) 若 b 30， ap 2ac，求证： do dp.证明： (1) pe 2papc，pepa.pcpe又 ape epc， pae pec.(2 ) pae pec，pea pce.1 pce2aoe，1 pea2aoe.oa oe， oae oea. aoe oea oae 180， aoe2oe

4、a 180，即 2pea2oea 180 . pea oea 90 .pe 为o的切线(3) 设 o的半径为 r ，则 ab2r. b 30， pcb 90， ac r ， bc3r.过点 o作 ofac 于点 f，31of 2 r. ap 2ac，apr23. pe papc， per.22在 odf与 pde中，odf pde， ofd ped，of pe， odf pde. do dp.类型 2与相似三角形有关4(2016 泰州 ) 如图，在 abc 中， acb 90，在 d 为 ab 上一点，以cd为直径的o交 bc于点 e，连接 ae交 cd于点 p，交o 于点 f，连接 df，

5、cae adf.(1) 判断 ab与o 的位置关系，并说明理由；(2) 若 pfpc12， af 5，求 cp的长解： (1)ab 是o 切线理由： acb 90， cae cea 90 . cae adf， cdf cea， adf cdf 90 .ab 是o切线(2) 连接 cf. adf cdf 90， pcf cdf 90， adf pcf. pcf pac.又 cpf apc，pcpf pcf pac.papcpc2pfpa.设 pfa，则 pc 2a. 4a2 a(a 5) 5 a .310pc 2a.5(2015 北海 ) 如图， ab， cd为o 的直径，弦 aecd，连接 b

6、e 交 cd于点 f，过点 e 作直线 ep与 cd的延长线交于点 p，使 ped c.(1) 求证： pe是o的切线；(2) 求证： ed平分 bep；(3) 若o的半径为 5， cf 2ef，求 pd的长解： (1) 证明：连接oe.cd是圆 o的直径， ced 90 .oc oe， c oec.又 ped c， ped oec. ped oed oec oed90，即 oep 90 .oe ep.又点 e 在圆上，pe 是o的切线(2) 证明： ab， cd为o 的直径， aeb ced 90 . aec deb(同角的余角相等) 又 ped c， ae cd， ped deb，即 ed

7、平分 bep.(3) 设 efx，则 cf 2x. o的半径为5，of 2x5.22222 5)2在 rt oef中， oe ef of，即 5 x (2x，解得 x 4，ef 4.be 2ef 8， cf2ef 8. df cdcf 108 2.ab 为o的直径， aeb 90 .ab 10，be 8，ae 6. bep a， efp aeb 90， efp aeb.pfefpf4 be ae，即 8 6. pf 16.31610pd pfdf 2.336(2014 桂林 ) 如图， abc为o 的内接三角形， p 为 bc 延长线上一点， pac b，ad为o 的直径，过点 c 作 cga

8、d 于点 e，交 ab于点 f，交o 于点 g.(1) 判断直线 pa与o的位置关系，并说明理由；2(2) 求证： agafab；(3) 若o的直径为10， ac25， ab 45，求 afg的面积解： (1)pa 与o 相切理由：连接cd.ad为o的直径，acd 90 . d cad 90. b d， pac b， pac d. pac cad 90，即 dapa.点 a 在圆上， pa与o 相切(2) 证明：连接 bg.ad为o的直径， cg ad，ac ag. agf abg. gaf bag， agf abg.2(3) 连接 bd.ad是直径，abd 90.ag2afab， ag ac

9、 25， ab 45，2ag af ab 5.cg ad， aef abd 90 . eaf bad， aef abd.ae af，即 ae 5，解得 ab ad 4 5 10 ef af2 ae2 1.eg22ag ae 4，fg egef 4 1 3.11s 2fgae232 afgae 2.3.类型 3与锐角三角函数有关7(2014 梧州 ) 如图，已知o 是以 bc为直径的 abc 的外接圆， op ac，且与 bc的垂线交于点 p，op交 ab于点 d， bc， pa的延长线交于点 e.(1) 求证： pa是o的切线；3(2) 若 sin e 5， pa 6，求 ac的长解： (1)

10、 证明：连接oa.ac op， aop oac， bop oca.oa oc， oca oac. aop bop.又 oa ob， op op， aop bop. oap obp.bp cb， oap obp 90 . oa pa.pa 是o的切线(2) pbcb， pb是o 的切线又 pa 是o的切线，pa pb6.又 sin epbao3， ao 3.epeo5在 rt opb中， op62 32 3 5.bc为o直径， cab90 . cab obp 90， oca bop.accb acb bop. .bo opaccbbo1865op5.3 58(2015 来宾 ) 已知o 是以 a

11、b为直径的 abc 的外接圆， od bc交o 于点 d，交 ac于点 e，连接 ad， bd，bd交 ac于点 f.(1) 求证： bd平分 abc；(2) 延长 ac到点 p，使 pf pb，求证： pb是o 的切线；3(3) 如果 ab 10， cos abc5，求 ad.解： (1) 证明： odbc， odb cbd.ob od， obd odb. cbd obd.bd平分 abc.(2) 证明：o 是以 ab 为直径的 abc 的外接圆， acb 90 . cfb cbf 90. pf pb， pbf cfb.由 (1) 知 obd cbf， pbf obd 90 . obp 90

12、.pb 是o的切线(3) 在 rt abc中， acb90， ab 10，cos abcbcbc 3 .ab105bc6， ac22 8.abbcod bc， aoe abc， aed oec 180 acb 90 .aeoeao aeoe5 ， .acbcab 8610ae 4， oe 3.de odoe 5 3 2.ad2222ae de4 2 2 5.9(2016 柳州模拟 ) 如图，已知： ac 是o 的直径， pa ac，连接 op，弦 cbop，直线pb交直线 ac于点 d， bd 2pa.(1) 证明：直线 pb 是o的切线；(2) 探究线段 po与线段 bc之间的数量关系，并加

13、以证明；(3) 求 sin opa的值解： (1) 证明：连接ob.bc op，ob oc， bco poa，cbo pob， bco cbo. poa pob.又 po po， ob oa， pob poa. pbo pao 90 .pb 是o的切线3(2)2po 3bc.( 写 po 2bc亦可 )证明： pob poa，pbpa.bd 2pa， bd 2pb.bc po， dbc dpo.bcbd2 . 2po 3bc.popd3(3) cbop， dbc dpo.dcbd22 ，即 dc od.dopd331oc od.dc 2oc.3设 oa x，pa y. 则 od 3x，ob x

14、，bd 2y.在 rt obd中，由勾股定理得 (3x) 2 x2 (2y) 2，即 2x2 y2.x 0， y 0， y2x，opx2 y2 3x.oax13sin opa 3x .op33类型 4 与特殊四边形有关10(2016 玉林 ) 如图， ab是o 的直径，点 c， d在圆上，且四边形aocd是平行四边形，过点 d 作o的切线，分别交oa延长线与 oc延长线于点 e，f，连接 bf.(1) 求证： bf 是o的切线；(2) 已知圆的半径为 1，求 ef的长解： (1) 证明：连接 od.ef 为o的切线， odf 90 .四边形aocd为平行四边形，ao dc，ao dc.又 do

15、 oc oa，do ocdc. doc为等边三角形 doc odc 60 .dc ao， aod odc 60 . bof 180 cod aod 60.在 dof和 bcf中，do bo， dof bof，of of， dof bof. odf obf 90 .bf 是o的切线(2) dof 60， odf90， ofd 30 . bof 60， bof cfd e， e ofd 30.of oe.又 odef，de df.在 rt odf中， ofd 30.of 2od.df2222 3.of od2 1ef 2df 23.11(2016 宁波 ) 如图，已知o 的直径 ab 10，弦 a

16、c 6， bac的平分线交o 于点 d，过点 d 作 deac 交 ac的延长线于点 e.(1) 求证： de是o的切线；(2) 求 de的长解： (1) 证明：连接od.ad平分 bac， dae dab.oa od， oda dao. oda dae.od ae.de ac，od de.de是o切线(2) 过点 o作 ofac 于点 f. af cf3.of2222 4.oa af5 3 ofe def ode 90，四边形ofed是矩形de of4.12(2015 桂林 ) 如图，四边形 abcd是o 的内接正方形， ab 4，pc， pd是o 的两条切线， c， d为切点(1) 如图 1，求o 的半径；(2) 如图 1，若点 e 是 bc的中点，连接 pe，求 pe的长度；(3) 如图 2，若点 m是 bc边上任意一点 ( 不含 b，c)，以点 m为直角顶点， 在 bc的上方作 amn90，交直线cp于点 n，求证： ammn.解： (1) 连接 od， oc.pc， pd是o 的两条切线，c， d 为切点， odp ocp 90 .四边形abcd是o的内接正方形， doc 90， od oc.四边形docp是正方形ab 4， odc ocd 45，2do codc sin 45 42 2 2.(2) 连接 eo， op.点 e