函数图像过定点问题

1、最新资料推荐函数图像过定点的研究题 1：求证：拋物线 y (3 k)x 2 (k 2)x 2k1(k 3) 过定点，并求出定点的坐标归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值 x0(定点的横坐标 )，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值 y0(定点的纵坐标 )，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤题 2：（2

2、001 年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A.（ 1，3）B. （1，0）C.（ 1，3）D. （ 1，0）1最新资料推荐巩固练习：1无论 m为何实数，二次函数y=x2（ 2 m） x+m的图象总是过定点（）A （ 1， 3）B（1，0）C （ 1，3） D （ 1，0）2对于关于 x 的二次函数 y=ax2（ 2a1）x1（a0），下列说法正确的有（）无论 a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点；无论 a 取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；当 a0 时，函数在 x1 时， y 随 x 的增大而减小；当a 0 时，函数图象截 x 轴所得的线

3、段长度必大于2A1 个B2 个C3 个D4 个23. （2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2mx+3（m0）的图象发现，随着 m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_4某数学小组研究二次函救y=mx2 3mx+2（m0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点请你写出这两个定点的坐标：_5（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c 满足 b c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_6无论 m为何实数，二次函数y=x2

4、（ 2 m） x+m的图象总是过定点_7已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限； （ 2）点（ 2，1）在函数的图象上；（3）当 x0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_8. 证明无论 m为何值，函数y=mx-（4m-3) 图像过定点，求出该定点坐标2最新资料推荐9.（南京 2011 年 24 题 7 分）已知函数 y=mx26x1（m 是常数）求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值10已知二次函数的顶点坐标为（，），与 y 轴的交点为（ 0， nm），其顶点恰好

5、在直线 y=x+ 1 （1m）上（其中 m、n 为正数）2（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由3最新资料推荐4最新资料推荐函数图像过定点的研究题 1：求证拋物线 y(3 k)x 2 (k 2)x 2k1(k 3) 过定点，并求出定点的坐标审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线 ykx b(k 0) ，当 b 确定时，无论 k 取不等于 0 的任何值，它总过定点 (0 ，b) ；物线线 ya

6、x2bx c(a 0) ，当 c 确定时，无论 a、b 取何值，它总过定点 (o ，c) 本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母 k 的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标解：整理抛物线的解析式，得y (3 k)x 2 (k 2)x 2k1 3x2 2x 1kx2 kx2k 3x2 2x 1k(x2 x2)(k 3) ，上式中令 x2x20，得 x1 1， x22.将它们分别代入y3x22x 1 k(x 2x2) ，解得 y14，y2 7，把点 ( 1，4) 、 (2 ，7) 分别代入 y3x22x1k(x 2x2) ，无论 k

7、 取何值，等式总成立，即点 ( 1，4) 、 (2 ，7) 总在抛物线 y (3 k)x 2 (k 2)x 2k1(k 3) 上，即拋物线 y(3 k)x 2(k 2)x 2k1(k 3) 过定点 ( 1，4) 、(2 ， 7) 归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值 x0(定点的横坐标 )，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值 y0(定点的纵坐标 )，于是，

8、函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤题 2：（2001 年北京市西城区中考题）无论 m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （ 1，3）B. （1，0）C. （ 1， 3）D. （ 1，0）5最新资料推荐解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着 m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。解：任意给 m赋予两个特殊值，不妨设m=0和 m=2。则函数解析式变为：。联立方程组解得把中，无论 m为何值，等式总成立。所以，抛物线群中所有的抛物线恒经过定点（

9、1，3）。故应选 A。解法二、变换主元法依据：一元一次方程的解有三种情形：（ 1）当 a0 时，方程有惟一解：；（ 2）当 a=b=0 时，方程的解为全体实数；（ 3）当 a=0，b0 时，方程无解。这里所求定点坐标与 m 的值无关，相当于关于 m的一元一次方程 am=b（ a、 b 为含 x、 y 的代数式）中， a=b=0 时的情形。解：将其二次函数整理变形为：令所以，无论 m为何值时，（ 1，3）恒满足式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。故应选 A。巩固练习：1无论 m为何实数，二次函数y=x2（ 2m）x+m的图象总是过定点（）A （ 1， 3）B（1，0）C （ 1，3） D

10、（ 1，0）6最新资料推荐2对于关于 x 的二次函数 y=ax2（ 2a1）x1（a0），下列说法正确的有（）无论 a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点；无论 a 取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；当 a 0 时，函数在 x1 时， y 随 x 的增大而减小；当 a 0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度必大于2A1 个B2 个C3 个D4 个23. （2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2mx+3（m0）的图象发现，随着 m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_4某数学小组研

11、究二次函救y=mx2 3mx+2（m0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点请你写出这两个定点的坐标：_5（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c 满足 b c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_6无论 m为何实数，二次函数y=x2（ 2 m） x+m的图象总是过定点_7已知一个二次函数具有性质（ 1）图象不经过三、四象限； （ 2）点（ 2，1）在函数的图象上；（3）当 x0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大试写出一个满足以上性质的二次函数解析式： _ 8. 证明无论 m为何值，函数 y=m

12、x-（4m-3) 图像过定点，求出 该定点坐标9. 已知函数 y=mx2 6x1（ m 是常数）求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值解：当 x=0 时， y1所以不论 m 为何值，函数 ymx26x 1 的图象经过 y 轴上的一个定点（0， 1）当 m0时，函数 y6x1 的图象与 x 轴只有一个交点；当 m0 时，若函数 y mx26x1 的图象与 x 轴只有一个交点，则方程mx26x 1 0 有两个相等的实数根，所以 (6)24m0 ， m9 综上，若函数ymx26x1的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 的值为091

13、1已知二次函数的或 7最新资料推荐10. 顶点坐标为（，），与 y 轴的交点为（ 0，n m），其顶点恰好在直线y=x+ （ 1m）上（其中 m、n 为正数）（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由分析：（ 1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+（ 1 m）得+（ 1 m）=，整理后利用因式分解得到（ m n）（m+1 ） =0，则 m=n 或 m= 1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（，），与 y 轴的交点为（ 0， 0），由 m 为正数可判断二

14、次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（ 2）由（ 1）得到抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（0， 0），利用对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1， 0）（ 1）证明：把（，）代入 y=x+（1 m）得+（ 1 m） =，整理得 m2 mn+m n=0，（ m n）（ m+1） =0， m=n 或 m= 1（舍去），二次函数的顶点坐标为（，），与 y 轴的交点为（ 0， 0）， m 为正数，二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，抛物线开口向上，此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（ 2）解：存在抛物线的对称轴为直线 x= ，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（ 0，0），抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（1， 0），即不论 m、 n 如何变化，二次函数的图象总通过点（1， 0）和（ 0， 0）反思： 本题考查了抛物线与 x 轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c （ a， b， c 是