（天津专用）2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.2双曲线及其性质课件.pptx

1、考点一双曲线的定义和标准方程,A组自主命题天津卷题组,五年高考,1.(2019天津理,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a0,b0)的两 条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为() A.B. C.2D.,答案D本题主要考查双曲线的离心率,抛物线焦点坐标与准线方程,通过圆锥曲线的性质考查学生的运算求解能力,渗透了数学运算的核心素养. 如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, |AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又点A在直线y=-x上, 2=-(-1),=2, 双曲线的离心率e=.故选D

2、.,2.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆 与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 () A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案D不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得 由得=, 所以=, 由可得b2=12. 所以双曲线的方程为-=1.故选D.,评析本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解能力和方程的思想方法.,思路分析抓住矩形的一个顶点的坐标,利用该顶点既在圆上又在渐近线上,再结合矩形的面积建立方程组求解.,3.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a0

3、,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦 点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案D因为点(2,)在渐近线y=x上,所以=,又因为抛物线的准线为x=-,所以c =,故a2+b2=7,解得a=2,b=.故双曲线的方程为-=1.选D.,评析本题考查了双曲线和抛物线的方程和性质.考查了用待定系数法求方程问题,属中档题.,考点二双曲线的几何性质,1.(2018天津,7,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线 与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d

4、2=6,则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案C双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2, e2=1+=4,=3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2, 由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a), =3,渐近线方程为y=x, 则点A与点B到直线x-y=0的距离分别为d1=a,d2=a,又 d1+d2=6,a+a=6,解得a=,b2=9.双曲线的方程为-=1,故选C.,解题关键利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点A与点B的坐标是求解本题的关键.,方法归纳求双曲线标准方程的方法: (1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a,b的值,即可求得

5、方程. (2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.,2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0, 4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案B由离心率为可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由题意可知kPF=1, 所以a=4,解得a=2,所以双曲线的方程为-=1,故选B.,3.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2

6、x+10,双曲线 的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案A由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线的方程 为-=1.,B组统一命题、省(区、市)卷题组,考点一双曲线的定义和标准方程,1.(2019课标理,11,5分)设F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直 径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为() A.B.C.2D.,答案A本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质;通过双曲线的离心率考查了学生的运算求解能力;考查

7、的核心素养为数学运算. 如图,|PQ|=|OF|=c,PQ过点. P. 又|OP|=a,a2=+=, =2,e=.故选A.,解题关键由|PQ|=|OF|=c可知PQ过以OF为直径的圆的圆心,进而得到P是解答本题的 关键.,2.(2017课标,5,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆 +=1有公共焦点,则C的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案B本题考查求解双曲线的方程. 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为-=k(k0),即-=1,双曲线与椭圆+ =1有公共焦点,4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为-=1.故选B.,

8、一题多解椭圆+=1的焦点为(3,0),双曲线与椭圆+=1有公共焦点,a2+b2=(3)2 =9,双曲线的一条渐近线为y=x,=,联立可解得a2=4,b2=5.双曲线C的方 程为-=1.,3.(2016课标,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4, 则n的取值范围是() A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,),答案A原方程表示双曲线,且焦距为4, 或 由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A.,解后反思对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且mn;若表示双曲线,则mn0.,评析本题考查双曲线的方程与性质.属中等难度题.,4.(201

9、5安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是() A.x2-=1B.-y2=1 C.-x2=1D.y2-=1,答案C由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=2x,故排除D.故选C.,5.(2015北京,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b0)的一个焦点,则b=.,答案,解析由双曲线方程x2-=1可得c2=1+b2,由题意可知c=2,故b2=3,而b0,所以b=.,考点二双曲线的几何性质,1.(2019课标文,10,5分)双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离 心率为() A.2sin 40B.2cos 40 C.D

10、.,答案D本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算. 由双曲线C:-=1(a0,b0)可知渐近线方程为y=x, 由题意知-=tan 130, 又tan 130=-tan 50, =tan 50, 双曲线的离心率e=,故选D.,方法总结求双曲线-=1(a0,b0)的离心率的常见方法: (1)定义法:e=;(2)公式法:e=(为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题 中条件得出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e=转化为关于e的 方程,从而得出离心率e.,2.(2019北京

11、文,5,5分)已知双曲线-y2=1(a0)的离心率是,则a=() A.B.4C.2D.,答案D本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查的核心素养为数学运算. 由题意得e=,又a2+b2=c2,=e2-1=4, b2=1,a2=.a0,a=.,易错警示把双曲线的离心率错认为e=而出错.,3.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是() A.B.1C.D.2,答案C本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核心素养. 渐近线方程为y=x,a=b, c=a,e=, 故选C.,解题关键正确理解双曲线方程与渐近线方程

12、的关系,从而得出a与c的关系.,4.(2019课标文,10,5分)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若| OP|=|OF|,则OPF的面积为() A.B.C.D.,答案B本题主要考查双曲线的定义和标准方程,结合图形考查学生的数据处理能力、运算求解能力,考查数形结合思想及数学运算的核心素养. 如图,记双曲线的右焦点为F,设左焦点为F,连接PF,PF, 由题意得F(3,0),F(-3,0),|OP|=|OF|=|FF|=3, FPF=90,设|PF|=m,|PF|=n, 则故mn=10.,SOPF=SPFF=mn=,故选B.,解题关键由于题中条件只涉及一个焦点F,故合理

13、作图标出左、右两焦点F,F,并将双曲线的定义作为已知条件直接应用是解决本题的关键,利用平面几何知识发现FPF=90是解决本题的关键.,5.(2019课标理,10,5分)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原 点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为() A.B.C.2D.3,答案A本题考查双曲线的标准方程和几何性质,通过双曲线的渐近线考查了数形结合的思想方法.考查的核心素养是数学运算. 由双曲线的方程为-=1,知a=2,b=,故c=,渐近线的方程为y=x. 不妨设点P在第一象限,作PQOF于Q,如图, |PO|=|PF|,Q为OF的中点,|OQ|=.,令POF=,由

14、tan =得|PQ|=|OQ|tan =. PFO的面积S=|OF|PQ|=.故选A.,解题关键求等腰PFO底边上的高是解题的关键.掌握双曲线的方程和几何性质是解题的基础和保证.,6.(2018课标,10,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线 的距离为() A.B.2C.D.2,答案D本题考查双曲线的几何性质及点到直线的距离公式. e=,且a0,b0,=1, C的渐近线方程为y=x, 点(4,0)到C的渐近线的距离为=2.,7.(2018课标,5,5分)双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为() A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x

15、,答案A本题主要考查双曲线的几何性质. e=,=, 双曲线的渐近线方程为y=x=x.故选A.,8.(2018课标,11,5分)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两 条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=() A.B.3C.2D.4,答案B本题主要考查双曲线的几何性质. 由双曲线C:-y2=1可知其渐近线方程为y=x,MOx=30,MON=60,不妨设OMN =90,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2, |OM|=,则在RtOMN中,|MN|=|OM|tanMON=3.故选B.,解题关键利用双曲线

16、的几何性质求出MON的大小及|OM|的值是求解本题的关键.,9.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是() A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2),答案B本题考查双曲线的标准方程和几何性质. a2=3,b2=1,c=2. 又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).,易错警示求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.,10.(2017课标,9,5分)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2

17、+y2=4所截得的弦 长为2,则C的离心率为() A.2B.C.D.,答案A本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系. 由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x,即bxay=0, 且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以=,所以=.故离心率e =2.选A.,方法总结求双曲线离心率e的常见方法有两种.一是直接法:e=;二是间接法:由条 件得到关于a、c的等式,再化成关于e的方程求解.,11.(2017课标,5,5分)若a1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是() A.(,+)B.(,2)C.(1,)D.(1,2),答案C本题考查双曲线的

18、方程和性质. 由题意知e=, 因为a1,所以e1,所以1e,故选C.,12.(2017课标,5,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的 坐标是(1,3),则APF的面积为() A.B.C.D.,答案D本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图. PFx轴,P(2,3),|PF|=3, 又A(1,3), |AP|=1,APPF, SAPF=31=.故选D.,13.(2015四川,7,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线 于A,B两点,则|AB|=() A.B.2C.6D.4,答案D由x

19、2-=1得c=2,渐近线方程为y=x. 不妨令点A在x轴上方,由题意可得A(2,2),B(2,-2),|AB|=4,故选D.,14.(2019课标理,16,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直 线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,=0,则C的离心率为.,答案2,解析本题考查双曲线的性质,平面向量的线性运算,平面向量数量积的性质等知识;考查学生的推理论证能力、运算求解能力及应用意识;考查的核心素养是逻辑推理和数学运算. 双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x, =0,F1BF2B, 点B在O:x2+y2=c2上,如图所示,不妨设点B在第

20、一象限,由得点B(a,b),=,点A为线段F1B的中点, A,将其代入y=-x得=. 解得c=2a, 故e=2.,思路分析利用=0得出点B在O:x2+y2=c2上,结合点B在渐近线上求得点B的坐标,进 而利用=得点A的坐标,由点A在另一条渐近线上可得a与c的关系,从而求得离心率.,疑难突破求点B的坐标是难点,垂直关系可以与圆联系,也可以转化为直角三角形,求边的关系.,一题多解一题多解一:如图,由=知A为线段F1B的中点, O为线段F1F2的中点,OAF2B, =0,F1BF2B, OAF1A且F1OA=OF2B, BOF2=AOF1,BOF2=OF2B, 又易知|OB|=|OF2|=c,OBF

21、2为正三角形, 可知=tan 60=,e=2. 一题多解二:如图,设AOy=,则BOy=,15.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一 条渐近线的距离为c,则其离心率的值是.,答案2,解析本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,b= c,b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2.,16.(2017课标,14,5分)双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.,答案5,解析由题意可得=,所以a=5.,17.(2016北京,13,5分)双曲线-=1

22、(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直 线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.,答案2,解析由OA、OC所在直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2,根据c2=2 a2可得a=2.,评析本题考查等轴双曲线及其性质.,18.(2016山东,13,5分)已知双曲线E:-=1(a0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD 的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.,答案2,解析由已知得|AB|=|CD|=,

23、|BC|=|AD|=|F1F2|=2c. 因为2|AB|=3|BC|,所以=6c, 又b2=c2-a2, 所以2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-(舍去).,评析本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程是求解的关键.,19.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰 为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.,答案,解析不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,所以由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,-=1,=5,e=.,C组

24、教师专用题组,考点一双曲线的定义和标准方程,1.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方 程为() A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1,答案C由已知得解得 故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C.,2.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是.,答案2,解析由-=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=,所以2c=2.,3.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.

25、,答案(2,8),解析PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图). 当P在P1点处时,F1P1F2=90, =|F1F2|=|P1F1|P1F2|. 由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2, 得|P1F1|P1F2|=6,此时|PF1|+|PF2|=2. 当P在P2点处时,P2F2F1=90, =2,易知=3, 此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,当PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|(2,8).,评析找到点P的两个特殊位置是解决本题的关键.,考点二双曲线的几何性质,1.(2018课标,11,

26、5分)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作 C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为() A.B.2C.D.,答案C本题考查双曲线的几何性质. 点F2(c,0)到渐近线y=x的距离|PF2|=b(b0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定 理可得|OP|=a,所以|PF1|=|OP|=a. 在RtOPF2中,cosPF2O=, 在F1F2P中, cosPF2O=, 所以=3b2=4c2-6a2,则有3(c2-a2)=4c2-6a2, 解得=(负值舍去), 即e=.故选C.,2.(2016浙江,7,5分)已知

27、椭圆C1:+y2=1(m1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别 为C1,C2的离心率,则() A.mn且e1e21B.mn且e1e21D.mn且e1e21,答案A在椭圆中,a1=m,c1=,e1=.在双曲线中,a2=n,c2=,e2=.因为c1= c2,所以n2=m2-2.从而=,令t=m2-1,则t1,=1,即e1e21.结 合图形易知mn,故选A.,思路分析根据焦点相同可得m2与n2之间的关系,然后建立关于m的关系式,然后判定范围 即可.,评析本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力.,3.(2015重庆,9,5分)设双曲线-=1(a0,b0)的右

28、焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1 A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为() A.B. C.1D.,答案C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0), 所以=,=,因为A1BA2C,所以=0, 即(c+a)(c-a)-=0, 即c2-a2-=0,所以b2-=0, 故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为,故该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C.,4.(2015湖北,9,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加

29、m(m0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则() A.对任意的a,b,e1b时,e1e2 C.对任意的a,b,e1e2 D.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2,答案B因为e=,所以越大,e就越大,令=.当ab时,1,e2e1; 当ab时,1,e2e1.故选B.,5.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛 物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.,答案y=x,解析本题考查抛物线的定义、双曲线的性质. 设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立 消去x得a2y2

30、-2pb2y+a2b2=0,y1+y2=. 由抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+, 又|OF|=,|AF|+|BF|=4|OF|, y1+y2+=4.y1+y2=p. 从而=p.=,=.,该双曲线的渐近线方程为y=x.,方法小结利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,注意抛物线的形式.,6.(2015浙江,9,6分)双曲线-y2=1的焦距是,渐近线方程是.,答案2;y=x,解析双曲线-y2=1中,a=,b=1,2c=2=2.其渐近线方程为y=x,即y=x,也 就是y=x.,考点一双曲线的定义和标准方程,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础

31、题组,1.(2018天津和平模拟,6)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,过右焦点F作渐近线的垂 线,垂足为M.若FOM的面积为,其中O为坐标原点,则双曲线的方程为() A.x2-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案C由题意可知e=,可得=, 取一条渐近线y=x, 可得F到渐近线y=x的距离d=b, 在RtFOM中,由勾股定理可得|OM|=a, 由题意可得ab=, 联立得解得 所以双曲线的方程为-=1.故选C.,2.(2019天津河北一模,6)在平面直角坐标系中,经过点P(2,-),渐近线方程为y=x的双 曲线的标准方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案B双曲

32、线的焦点在x轴上时,标准方程可设为-=1, 则其渐近线方程为y=x, =,b=a. 将点(2,-)代入双曲线方程可得-=1,=1,a2=7. 双曲线方程为-=1. 双曲线焦点在y轴上时,标准方程可设为-=1, 则其渐近线方程为y=x, =,a=b. 将点(2,-)代入双曲线方程可得-=1,b2=-7,不符合题意,舍去.故选B.,3.(2019天津部分区二模,7)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,以线段 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4,3),则此双曲线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案A(4,3)在以F1F2为直径的圆

33、上,c=5, 即a2+b2=25. 由题意,将(4,3)代入渐近线方程y=x中, 得3=4,则=, 由解得a=4,b=3, a2=16,b2=9, 双曲线的方程为-=1.,4.(2018天津南开一模,6)设双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点为F(c,0)(c0),且离心率等于 .若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2-2cx=0截得的弦长为2,则该双曲线的标准方程为 () A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案C由题意可得e=,双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,圆x2+y2-2cx=0的圆心为 (c,0),半径为c,可得圆心到渐近线的距离d=b,由渐近线被圆x2+y2-2cx=

34、0截得的弦长为 2,可得2=2=2a,可得a=,则c=5,b=2,则双曲线的标准方程为-=1.,5.(2018天津河西二模,6)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲 线的右支上,若|PF1|-|PF2|=2,且双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的方程为() A.-y2=1B.x2-4y2=1 C.x2-=1D.4x2-y2=1,答案C双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,=2,又|PF1|-|PF2|=2a=2,a=1, b=2,双曲线的方程为x2-=1.,6.(2018天津南开中学第四次月考,7)已知O为直角坐标系的坐标原点,双曲

35、线C:-=1(ba 0)上有一点P(,m)(m0),点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点,过点P作双曲线C两条 渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形PAOB的面积为1,则双曲线的标准方程是() A.x2-=1B.-=1 C.x2-=1D.-=1,答案A由点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点,可得c=.双曲线的渐近线方程为 bxay=0,已知P(,m)(m0),设过P且平行于bx+ay=0的直线为l,则l的方程为bx+ay-b-am=0, 不妨令l与渐近线bx-ay=0的交点为A,则A,|OA|=,P点到OA 的距离d=,平行四边形PAOB的面积为1, |OA|d

36、=1, =1,即|5b2-a2m2|=2ab,点P在双曲线上,5b2-a2m2=a2b2,ab=2, 又a2+b2=5,ba0,b=2,a=1,双曲线的标准方程为x2-=1.,1.(2019天津十二校联考一模,7)已知双曲线-=1(a0,b0),过原点的直线与双曲线交于A,B 两点,以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C,若ABC的面积为2a2,则双曲线的渐近线方程为() A.y=xB.y=x C.y=xD.y=x,考点二双曲线的几何性质,答案B设双曲线的左焦点为F,连接AF,BF. 由题意及双曲线的对称性可得ACBC,AFBF, 可得四边形FABC为矩形, 则有|AF|=|BC|, 设|AC

37、|=m,|BC|=n, 则n-m=2a,n2+m2=4c2,mn=2a2, 即有4c2-8a2=4a2,所以c=a,b=a, 可得双曲线的渐近线方程为y=x. 故选B.,思路分析设双曲线的左焦点为F,连接AF,BF,可得四边形AFBC为矩形,由双曲线的定义和勾股定理,以及三角形的面积公式,化简整理可得a,b的关系,即可得到所求双曲线的渐近线方程.,评析本题考查双曲线的定义和方程、性质,考查矩形的定义和勾股定理的运用,考查运算能力,属于基础题.,2.(2018天津红桥一模,7)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1(a0)交于A,B两点,点F为抛 物线的焦点,若FAB为直角三角形,则双曲线

38、的离心率是() A.B.C.D.,答案D由题意知抛物线的准线方程为x=-1,代入双曲线方程中得y=.不妨设A ,易知FAB是等腰直角三角形,点F为抛物线的焦点,F(1,0),=2,解得a =,c2=a2+b2=+1=,则c=,e=.,3.(2018天津塘沽一中模拟,5)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线与圆(x-2)2+y2=6相交 于A,B两点,且|AB|=4,则此双曲线的离心率为() A.2B. C.D.,答案D由题意可知双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,|AB|=4,圆(x-2)2+y2=6的半径为,圆心(2,0)到渐近线的距离为,即=,解得b=a,c=a,双曲线的 离心率

39、e=.,4.(2019天津红桥一模,7)设F1、F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线上 存在一点P,使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为() A.B.C.D.3,答案B设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设mn0, 于是 mn=m=3n. a=n,b=nc=n,e=,故选B.,评析本题考查双曲线的定义及性质,依据条件列出关系式后,若直接求,则运算量很大,改 为利用|PF1|与|PF2|的关系求解,巧妙转化,会降低运算难度.,5.(2018天津一中月考,5)设F1、F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线

40、右 支上存在一点P,使得(+)=0,其中O为坐标原点,且|=2|,则该双曲线的离心率 为() A.B.+1C.D.,答案D(+)=0,即(+)(-)=0,即有-=0,所以|=|=| =c,则PF1PF2,由双曲线的定义可得|-|=2a,又|=2|,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,在Rt PF1F2中,由勾股定理可得|F1F2|=2a,即2c=2a,所以e= .,6.(2019天津耀华中学一模,7)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,若 双曲线C上存在一点P,使得PF1F2为等腰三角形,且cosPF1F2=,则双曲线的离心率为 () A.B.C.或3D.或2,

41、答案D由题意得PF1F2为等腰三角形会存在两种情况. 当|PF1|=|F1F2|时, |F1F2|=|PF1|=2c,|PF2|=2c-2a, cosPF1F2=. 化简,得3c2-8ca+4a2=0, 两边同除以a2,得3e2-8e+4=0. 解得e=2或(舍). 当|PF2|=|F1F2|时, |F1F2|=|PF2|=2c,则|PF1|=2c+2a,cosPF1F2=. 化简,得3c2-ac-4a2=0. 两边同除以a2,得3e2-e-4=0, 解得e=或-1(舍).,综上所述,e=或2.,7.(2018天津十二区一模,7)设P为双曲线C:-=1(a0,b0)上一点,F1,F2分别为双曲

42、线C的左, 右焦点,PF2F1F2,若PF1F2的外接圆半径是其内切圆半径的倍,则双曲线C的离心率为 () A.2B.4C.2或3D.4或,答案D设F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0), 由PF2F1F2,可得P的横坐标为c, 将x=c代入双曲线的方程,可得y=, 则有|PF2|=, 在直角三角形PF2F1中,由勾股定理得 |PF1|= =,设PF1F2的外接圆半径为R,内切圆半径为r, 可得2R=, r=2c, 解得r=c-a,则(c-a)=, 化为3c2-17ac+20a2=0, 即为(3c-5a)(c-4a)=0, 即有3c=5a或c=4a, 则e=或4. 故选D.,8.(20

43、19天津七校联考一模,7)过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F作斜率为1的直线,该直线 与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C,若三点F、B、C的横坐标成等差数列,则双曲线的离心率为() A.3B.2C.D.2,答案C过左焦点(-c,0)且斜率为1的直线方程为y=x+c. 双曲线两条渐近线方程为y=x. 由解得x=. 由解得x=. B点的横坐标为,C点的横坐标为. F、B、C三点的横坐标成等差数列, 2=-c+,即-2ac(b-a)=-c(b2-a2)+ac(a+b), 即-2abc+2a2c=-b2c+a2c+a2c+abc, 即-2abc=-b2c+abc,得=3,=9,=10,=10,

44、 =.,B组20172019年高考模拟专题综合题组 时间:45分钟分值:65分 选择题(每小题5分,共65分),1.(2019天津部分区一模,6)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2,双曲线 的渐近线上点P(3,4)满足PF1PF2,则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案C双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,可得=, 由PF1PF2,可得=-1, 解得c=5,即a2+b2=25, 所以a=3,b=4, 则双曲线的方程为-=1. 故选C.,2.(2019天津南开一模,7)过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F作直线交双曲线的两条渐

45、近线 于A,B两点,若B为线段FA的中点,且OBFA,则双曲线的离心率为() A.B.C.2D.,答案C由题意可得双曲线的渐近线方程为y=x,因为B为线段FA的中点,且OBFA,所以 |OA|=|OF|=c,BOF=BOA.由双曲线的渐近线的性质可得BOF=xOA,所以BOF=xOA=BOA=60,所以=tan 60,即b=a,所以c=2a,所以e=2.,3.(2019天津河西二模,5)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为 () A.y=xB.y=x C.y=xD.y=x,答案C=,C的渐近线方程为y=x.故选C.,思路分析由双曲线离心率与的关系可得=,由此即可写出

46、渐近线方程.,4.(2018天津河东一模,6)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线的方程为y=x,则该双曲线的 离心率e=() A.10B. C.D.,答案D由题意可知=,a=3b,c=b,e=.,5.(2018天津河北一模,6)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且它的一 个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1,答案C由题意可得=,c=6=,联立解得a=3,b=3.双曲线的 方程为-=1.,6.(2018天津耀华中学一模,5)设双曲线-=1(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该 双曲线的离心率等于(

47、) A.B.2C.D.,答案C解法一:将双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程y=x代入抛物线方程y=x2+ 1,整理得ax2-bx+a=0,因为双曲线的渐近线与抛物线相切,所以b2-4a2=0,所以b2=4a2,所以c2=5a2,从而得出e=,故选C. 解法二:取双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线y=x,设切点为(x0,+1),对二次函数求导得 y=2x,所以有=2x0,解得=1,因为切点在y轴右侧,故切点为(1,2),所以有=2,从而得出= ,故选C.,方法总结圆锥曲线的切线问题,可以转化为一元二次方程解的个数问题,利用判别式=0求解,也可以利用导数的几何意义求解.,7.(2018

48、天津九校联考,5)设双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1为圆心,| F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A,B两点,若|F1B|=3|F2A|,则该双曲线的离心率为() A.B.C.D.2,答案C根据已知可得,|F1B|=|F1A|=3|F2A|, 又|F1A|-|F2A|=2a, 2|F2A|=2a,即|F2A|=a, 又|F1A|=|F1F2|=2c,2c=3a, e=.,8.(2019天津河东一模,7)已知F1,F2是双曲线-=1(a0,b0)的左,右焦点,过点F2与双曲线的 一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2

49、为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是() A.(2,+)B.(,2)C.(,)D.(1,),答案A双曲线-=1的渐近线方程为y=x, 不妨设过点F2(c,0)与双曲线的渐近线y=x平行的直线方程为y=(x-c),与y=-x联立,可得交 点M. 点M在以线段F1F2为直径的圆外,|OM|OF2|, 即有+c2,3,即b23a2. c2-a23a2,即c2a,则e=2. 双曲线离心率的取值范围是(2,+).故选A.,思路分析根据两直线方程求出点M的坐标,由点M在圆外建立不等式,求a,b的大小关系,进而求得离心率的范围.,方法总结求离心率的取值范围常用两种方法,一是构造函数求解;二是构造不等式求

50、解.但要注意双曲线的离心率e1.,9.(2018天津新华中学模拟,5)过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是() A.B.C.D.,答案A由题意得直线l:y=x+1. 设B(x1,y1),C(x2,y2), 联立得 整理得(b2-1)x2-2x-1=0, x1+x2=-2x1x2, 又|AB|=|BC|,B为AC的中点,2x1=-1+x2,代入解得 b2=9,双曲线M的离心率e=.,10.(2019天津河东二模,7)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,以O为圆 心,|F1O|为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y轴左侧交于A、B两点,且F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为() A.2B.