初中数学阿氏圆最值模型归纳

1、几何模型 :阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆 又称为 “阿波罗尼斯圆”,如下图 ,已知 A 、B 两点 ,点 P 满足 PA:P =k(k 1),则满足条件得所有得点得轨迹构成得图形为圆。这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆 。PABO【模型建立】如图 1 所示 , O 得半径为 ,点 A、 B 都在 O 外 ,P 为 O 上一动点 ,已知 R=OB, 连接 PA、 P ,则当“ A+PB”得值最小时 ,P 点得位置如何确定？解决办法 :如图 2,在线段OB 上截取 C 使 = ,则可说明 P与 C相似 ,则有 B=PC 。故本题求“ PA B ”得最小值可以转化为“A+

2、C”得最小值 ,其中与 A 与 C 为定点 ,P 为动点 ,故当A 、 P、C三点共线时 ,“ P”值最小。【技巧总结】计算得最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题 :在圆上找一点P 使得得值最小,解决步骤具体如下:1.如图 ,将系数不为1 得线段两端点与圆心相连即OP,OB2. 计算出这两条线段得长度比3. 在 B 上取一点 C,使得 ,即构造 POM BOP,则 ,4. 则 ,当 A 、P、 C 三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题 1、 如图 ,在 R ABC 中 , =90,A =4,BC=3, 以点 C 为圆心 ,为半径作圆 ,分别交 AC 、B 于

3、D 、两点 ,点 P 就是圆 C 上一个动点 ,则得最小值为 _。AADPDPMCEBCB【分析】这个问题最大得难点在于转化,此处 P 点轨迹就是圆 ,注意到圆半径为2,A=4,连接 CP,构造包含线段A得 CPA,在边上取点M 使得 C 2,连接 M, 可得 CP CMP,故 PA: 2:1,即 PM=.问题转化为PM+ 最小值,故当 B, ,M 三点共线时得最小值,直接连 BM 即可得 .变式练习1.如图 1,在 R A中 , C = 0 ,C ,CA=6,圆 C 得半径为 2,点为圆上一动点求 , , ,得最小值。,连接AP,BP 答案 : , = , =, =.例题。如图 ,点 C 坐

4、标为 (2,5),点 A 得坐标为 ( ,0), C 得半径为 ,点 B 在 C 上一动点 ,得最小值为 _ _ _、 答案 :、变式练习 。 如图 ,在平面直角坐标系xoy 中 ,A( , 1),M( , ),以 M 为圆心 ,为半径画圆 ,为原点 ,P 就是上一动点 ,则 O+2PA得最小值为 _ _、答案 :10.例题 3。 如图 ,半圆得半径为1,AB 为直径 ,C、D 为切线 ,AC=1,BD 2,P 为上一动点 ,求 PC+PD 得最小值 .【解答】解 :如图当 A、P、 D 共线时 ,PC+PD 最小 .理由 :连接 PB、 C,A 与O 交于点 M,AB =BD = , 就是切

5、线 , ABD =0, BAD =45, AB 就是直径 , AB=90, PAB= PBA 4 , PA PB,PO AB, PO=,AC P, 四边形 AOP 就是平行四边形 , OA=P,AO 90, 四边形 AOPC 就是正方形 ,PP, C+PD PM + =DM ,DM CO, 此时 P+DP 最小 AD AM 2 =、变式练习 .如图 ,四边形 AD 为边长为 4 得正方形 , B 得半径为 2,就是 上一动点 ,则 D C 得最小值为5 ;PD+ P得最小值为 10 .【解答】解 : 如图 ,连接 PB、在 B上取一点E,使得 E 1. PB2=4,BE?BC 4,PB2 E?

6、, , PBE CB, PBE CE, = , P PC=PD+P, PE+PD DE ,在 Rt DCE 中 ,DE 5, PD +P得最小值为 5. 连接 DB,PB ,在 BD 上取一点E,使得 BE ,连接 E,作 F BC 于 F。 PB =4,BE?D 44, BP2 BE?BD, , PE= PBD, PBE D P, , E=PD , PE PCEC,在 EC 中,F=,FC=, E=, D PC 得最小值为10。故答案为5,、例题 . 如图 ,已知正方 A CD 得边长为 6,圆 B 得半径为,点 P 就是圆上得一个动点,则得最大值为_ _.【分析】当点运动到 BC 边上时

7、,此时 P 3,根据题意要求构造 ,在 C 上取 M 使得此时 P ,则在点 P 运动得任意时刻 ,均有 PM ,从而将问题转化为求 D P得最大值、连接 PD,对于 PD ,PD PMDM,故当 D 、 P 共线时 ,PDPM=DM 为最大值 .ADADADADPPPBMCBMCBMCBMCP变式练习4.(1) 如图 1,已知正方形 ACD 得边长为9,圆 B 得半径为 6,点 P 就是圆 B 上得一个动点 ,那么 P+得最小值为 ,PD得最大值为。( )如图 ,已知菱形 ABCD 得边长为 , 0,圆 B 得半径为 ,点 P 就是圆 B 上得一个动点 ,那么 PD +得最小值为,P得最大值

8、为。图【解答】解1:( )如图3 中 ,在 C图 2上取一点G,使得B=4。 , =, , PBG PBC, P CB, , G=PC, PD +PC P+G, DP GDG , 当 D、 G、 P 共线时 ,D +PC 得值最小 ,最小值为 G=. PD PCP PGDG ,当点 在 DG 得延长线上时 ,PD P得值最大 ,最大值为 G=.故答案为 ,(2)如图 4 中 ,在 BC 上取一点G,使得 BG=1, 作 DF BC 于 F 。 = 2, , =, BG PBC, B CBP , =, G=PC, P+ C= +PG, DP +DG ,当 D、 、 P 共线时 ,PD+PC 得值

9、最小 ,最小值为 DG , 在 R CF 中, DC 60,C =,在 RtGDF 中 ,DG= PD P PD PGD,当点 P 在 DG 得延长线上时,P P得值最大 (如图 2 中 ),最大值为 G。故答案为 ,、例题 5。 如图 ,抛物线 = x2+bx与直线AB 交于 A( , 4), (0, )两点 ,直线 AC: = x 6 交轴于点 C.点 E 就是直线 AB 上得动点 ,过点 E 作 EF轴交 AC 于点 F,交抛物线于点 . ( )求抛物线 x2 b +c 得表达式 ;(2)连接 GB,EO,当四边形GEO就是平行四边形时,求点 G 得坐标 ;(3)在 y 轴上存在一点,连

10、接 ,HF,当点 E 运动到什么位置时,以 A,E, ,为顶点得四边形就是矩形?求出此时点 E,H 得坐标 ;在得前提下 ,以点为圆心 ,EH 长为半径作圆 ,点 M 为 E 上一动点 ,求 M+CM 它得最小值 .【解答】解 :(1)点 A( , 4),B(0,4)在抛物线 = x2+bx+c 上 , ,抛物线得解析式为y= 2x+4;( )设直线 A得解析式为y=kx过点A,B, , ,直线 A得解析式为 y=2x+4, 设 E(m,2m 4), G(, m+ ),四边形 GE B 就是平行四边形 , EG=O =4, 2 2m+4 2 4=4, m= 2, G( , );(3)如图 1,

11、由 (2) 知 ,直线得解析式为 y=2x+4,设 E(a, a+ ), 直线 C:y= x 6, F(a,a 6),设 H(0,p),以点 A,E,F,H为顶点得四边形就是矩形,直线得解析式为y=2x ,直线 :y= x 6,AB , EF为对角线 , ( 4 ) (a a),( 4+p)=(2a 4 a 6), a= 2,P= 1, ( 2, ).H( , 1);如图 2,由知 ,E( 2,0),H( , 1),A( 4, 4), EH=,AE=2,设 AE 交于 ,取 EG得中点 P, =, 连接 PC交 E 于 M, 连接 M, M=EH=, =, ,=, PEM= MEA, PEM

12、E ,=,PM=A ,AM+C得最小值 =P ,设点 (p,2p 4), E( ,0), PE2=( )2+(2p+4) 5( )2, PE=, 5(p+2)2=,p 或 p (由于 ( , ),所以舍去 ), P(, ), C(0, 6), PC= ,即:A+CM .变式练习5、如图 1,抛物线 y=ax2 (3)x+ (a0)与 x 轴交于点 A(4,0),与 轴交于点 B,在 x 轴上有一动点 (m,0)(m 4),过点 E 作 轴得垂线交直线 B 于点 N,交抛物线于点 P,过点 作 PM AB 于点 .( )求 得值与直线A得函数表达式;(2)设 PMN 得周长为C1, A 得周长为

13、C2,若 ,求 m 得值 ;(3)如图 2,在 ( )条件下 ,将线段 OE 绕点 逆时针旋转得到 E,旋转角为 (0 0),连接 EA、 B, 求 A+EB 得最小值 .【解答】解 :( )令 ,则 ax2 (a )x+ =0, (x+ )(ax 3) 0,x 1 或 , 抛物线 y=ax2 (a+3) x+3(a )与 轴交于点A(4,0), =4, =。 (4,0), B(0,3),设直线 AB 解析式为 =k+b,则,解得 , 直线 A解析式为y=x 3.(2)如图中 , M AB, OA, PMN = E, PM ANE, M AN, , E O, =, N (4 ), 抛物线解析式

14、为 x2 x , PN 2+m+3( m+3) m2+3, =,解得 m=、(3)如图 2 中 ,在 y 轴上取一点 M使得 OM 连=,接 AM ,在AM上取一点E使得 =OE. O=,OM ?B= , OE2=O?OB , =, BE=MOE, OE EOB, =, ME= , A+BE=AE+E= ,此时 AE+BE最小(两点间线段最短,A、 M、 E共线时 ),最小值 = =.达标检测领悟提升强化落实1。 如图 ,在 RT A C 中 , B= 0 , BCB 2,以点 B 为圆心作圆与AC 相切 ,圆 C 得半径为 ,点 P 为圆 B 上得一动点 ,求得最小值 . 答案 :、2。 如

15、图 ,边长为 4 得正方形 ,内切圆记为 O,就是 O 上一动点 ,则 PA+PB得最小值为 _ _、答案 :、3. 如图 ,等边 AB得边长为 6,内切圆记为 O,P 就是 上一动点 ,则 2PB P得最小值为 _.答案 :。4。 如图 ,在 Rt BC 中 , C=90 ,CA=3,C ,得半径为2,点 P 就是上得一动点,则得最小值为？5。 如图 ,在平面直角坐标系中 ,P 就是 AO外部第一象限内得一动点 ,且 B A=135 ,则得最小值就是多少？答案 6。 如图 ,R ABC, A 0, BC 2,以 C 为顶点得正方形 DEF ( 、 D、 E、 F 四个顶点按逆时针方向排列 )

16、可以绕点 C 自由转动 ,且 CD ,连接 F,BD(1)求证 : BDC AFC ;(2)当正方形 EF 有顶点在线段A上时 ,直接写出B+AD 得值 ;(3)直接写出正方形CDEF 旋转过程中 ,D +AD 得最小值。【解答】 (1) 证明 :如图 1 中, 四边形 CF 就是正方形 , C CD ,CF CB=9, F D , AC , FCA DCB(SAS)。( )解 : 如图中 ,当点 ,E 在 AB 边上时 , AC BC 2, ACB 9, AB 2, CD B, D BD =, +A+1。 如图 3 中 ,当点 E,F 在边 AB 上时 .B C, D= , BD +A=。(

17、3)如图中 .取 AC 得中点 M、连接 D ,BM . CD ,C=1,CA 2, CD 2 ?C, , DCM = AD, DCM ACD , , =AD, D+AD BD +D , 当 B, ,共线时 ,BDAD 得值最小 ,最小值 =. (1) 如图 1,在 AB 中 ,AB= ,就是 C 边上得中线 ,请用尺规作图做出AB 边上得中线 C,并证明D= :(2)如图 ,已知点 就是边长为6 得正方形ABCD 内部一动点 ,P 3,求 C+得最小值 ;(3)如图 ,在矩形 A 中 ,AB 1 ,BC ,点 就是矩形内部一动点 ,MA=1 ,当 MC+MD 最小时 , 画出点 M 得位置 ,并求出 MC+M得最小值 .【解答】解 :(1)如图 1 中 ,作线段 AB 得垂直平分线MN 交 A于点 E,连接 。线段 E即为所求 ; AB= ,AE=E ,A=CD , A AD , A AC, A A,AD A, AD CA(SAS), D CE、(2)如图中 ,在 AD 上截取 AE,使得 AE . A2= ,E?AD=6=9, PA2AE ?A, =,