试卷：数学归纳法

1、第六章 第六节 数学归纳法一、选择题1如果命题P(n)对 nk 成立，则它对 nk2 也成立，若P(n) 对n2 也成立，则下列结论正确的是 ( ) AP(n)对所有正整数 n 都成立BP(n)对所有正偶数 n 都成立CP(n)对所有正奇数 n 都成立DP(n)对所有自然数 n 都成立解析：由题意 nk 时成立，则nk2时也成立，又n2时成立，则 P(n) 对所有正偶数都成立答案：B2用数学归纳法证明“2nn21 对于nn0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取 ()A2B3C5D6解析：分别令 n02,3,5, 依次验证即可答案：C3对于不等式n1(nN*)，某同学应用

2、数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立则上述证法 ()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：此同学从nk 到nk1的推理中没有应用归纳假设答案：D4用数学归纳法证明 12222n12n1(nN*)的过程中，第二步假设当nk时等式成立，则当nk1时应得到 ()A12222k22k12k11B12222k2k12k112k1C12222k12k12k11D12222k12k2k12k解析：把 nk1 代入 12222n12n1, 得1222

3、2k12k2k12k.答案：D5用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由 nk 的假设到证明 nk1 时，等式左边应添加的式子是 ()A(k1)22k2B(k1)2k2C(k1)2 D.(k1)2(k1)21解析：本题易被题干误导而错选A, 分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k1)2k2.答案：B6用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成 ()A假设n2k1(kN*)正确，再推n2k3正确B假设n2k1(kN*)正确，再推n2k1正确C假设nk(kN*)正确，再推nk1正确D假设nk(k1)正确，再推nk2正确解析：首先要注意n为

4、奇数，其次还要使n能取到1.答案：B二、填空题7对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根据上述分解规律，若n213519, m3(mN*)的分解中最小的数是21，则mn的值为_解析：依题意得 n2100, n10. 易知 m321m2, 整理得(m5)(m4)0, 又 mN*, 所以 m5, 所以mn15.答案：158用数学归纳法证明123n2，则 f(k1)f(k)_.解析：当 nk时，等式左端12k2, 当nk1时，等式左端12k2，增加了2k1项答案：(k21)(k22)(k1)29若数列a

5、n的通项公式an，记cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn_.解析：c12(1a1)2(1)，c22(1a1)(1a2)2(1)(1)，c32(1a1)(1a2)(1a3)2(1)(1)(1)，故由归纳推理得cn.答案：三、解答题10数列an 满足 Sn2nan(nN*)(1)计算 a1，a2，a3，a4, 并由此猜想通项 an 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解：(1)a11，a2， a3，a4，由此猜想 an(nN*)(2)证明：当n1时，a11, 结论成立假设 nk(kN*)时，结论成立，即ak，那么 nk1(kN*)时，ak1Sk1

6、Sk2(k1)ak12kak2akak1.ak1，这表明 nk1 时，结论成立根据(1)和(2)，可知猜想对任何nN* 都成立an(nN*)11用数学归纳法证明不等式：12(nN*)证明：当n1时，左边1，右边2.左边右边，所以不等式成立，假设nk(kN*)时，不等式成立，即12.那么当nk1时，122.这就是说，当nk1时，不等式成立. 由可知，原不等式对任意nN*都成立12已知等比数列an的首项 a12, 公比q3, Sn是它的前n项和. 求证：.证明：由已知，得Sn3n1，等价于，即3n2n1.(*)法一：用数学归纳法证明上面不等式成立当n1时，左边3，右边3，所以(*)式成立假设当nk(k1)时，(*)式成立，即3k2k1， 那么当nk1时，3k133k3(2k1)6k32k3