等积法求体积点到面的距离【教师版】

1、.等积法求三棱锥的体积【教师版】 2014/10/14 由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。 【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。 例1 精品.例2（2011佛山一中三校联考）如图，已知三棱锥abpc中，appc， acbc，m为ab中点，d为

2、pb中点，且pmb为正三角形。（）求证：dm平面apc； （）求证：平面abc平面apc；（）若bc4，ab20，求三棱锥dbcm的体积例2解：（）由已知得，是abp的中位线 2分 4分（）为正三角形，d为pb的中点， 5分 6分又 7分 又 9分平面abc平面apc 10分（），是三棱锥mdbc的高，且md11分 又在直角三角形pcb中，由pb10，bc4，可得pc 12分于是， 13分 14分精品.例3（茂名2010二模）如图，在底 面是菱形的四棱锥sabcd中，sa=ab=2， （1）证明：平面sac； （2）问：侧棱sd上是否存在点e，使得sb/平面ace？请证明你的结论； （3）若，

3、求几何体asbd的体积。例3解：（1）四棱锥sabcd底面是菱形，且ad=ab，又sa=ab=2，又， 2分平面abcd，平面abcd，从而sabd 3分又，平面sac。 4分 （2）在侧棱sd上存在点e，使得sb/平面ace，其中e为sd的中点 6分证明如下：设，则o为bd的中点，又e为sd的中点，连接oe，则为的中位线。 7分，又平面aec，sb平面aec 8分平面ace 10分 （3）当时， 12分几何体asbd的体积为 14分点到面的距离一、知识点 （求点到面的距离主要方法：）（1）直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作；精品.（2）转移法：若直线平面，则直线

4、上任意一点到平面的距离相等；（3）等体积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。二、基础热身1、在棱长为的正方体中找出表示下列距离的垂线段:直接法：（1）点到面的距离 ；（2）到面的距离 ； （3）点到面的距离 (4)求c到平面的距离 。转移法：棱长为1的正方体中，分别是棱中点，求点到平面的距离提示：因为，所以点到平面的距离即为点到平面的距离。作，证明。【活学活用】3、在棱长为1的正方体中,e,f分别为棱和cd的中点, 求点f到平面的距离。精品. 提示：法一 直接法：将三角形扩大到平行四边形，高。取的中点g，连接、eg，过f作垂线fh。可以证得eg/，所以平面，即平面。可以

5、证得eg平面，所以egfh由fh、egfh，eg=g可知fh平面所以fh即f到平面距离。根据勾股定理可以求得：， 又知：的面积=s四边形-s-s-sfgc，。精品.法二：转移法：平面，作。等积法求点到面的距离：4. 已知在棱长为1的正方体中，e、f分别是、cd的中点，求点b到平面的距离。等积法三、知识运用例1： 如图四棱锥，,面,是线段上一点，.(1)证明：(2)求点的距离。abcdpefex1如图，在边长为a的菱形abcd中，e,f是pa和ab的中点。（1）求证： ef/平面pbc ;（2）求e到平面pbc的距离。提示：由（1）知ef/平面pbc，精品. 所以e到平面pbc的距离等于点f到平

6、面pbc的距离 ，即为所求。例2：（2010江苏卷）如图，在四棱锥p-abcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=900。求点a到平面pbc的距离。解析（方法一）分别取ab、pc的中点e、f，连de、df，则：易证decb，de平面pbc，点d、e到平面pbc的距离相等。又点a到平面pbc的距离等于e到平面pbc的距离的2倍。由（1）知：bc平面pcd，所以平面pbc平面pcd于pc，因为pd=dc，pf=fc，所以dfpc，所以df平面pbc于f。易知df=，故点a到平面pbc的距离等于。（方法二）等体积法：连结ac。设点a到平面pbc的距离为h。因为ab

7、dc，bcd=900，所以abc=900。从而ab=2，bc=1，得的面积。由pd平面abcd及pd=1，得三棱锥p-abc的体积。因为pd平面abcd，dc平面abcd，所以pddc。又pd=dc=1，所以。由pcbc，bc=1，得的面积。由，得，故点a到平面pbc的距离等于。ex2:（2010广东文数）如图4，弧aec是半径为的半圆，ac为直径，点e为弧ac的中点，点b和点c为线段ad的三等分点，平面aec外一点f满足fc平面bed,fb=（1）证明：ebfd精品.（2）求点b到平面fed的距离. 【解析】（1）证明：点b和点c为线段ad的三等分点， 点b为圆的圆心又e是弧ac的中点，ac

8、为直径， 即 平面，平面， 又平面，平面且 平面 又平面， （2）解：设点b到平面的距离（即三棱锥的高）为. 平面, fc是三棱锥f-bde的高，且三角形fbc为直角三角形 由已知可得，又 在中，故, , 又平面，故三角形efb和三角形bde为直角三角形, ，在中，, , 即，故,即点b到平面的距离为.备用题：1、 四棱锥p-abcd中，底面abcd为直角梯形，pd底面abcd精品.，pd=dc=bc=1，ab=2，abcd, abc=90。，求点d到平面pab的距离. 2、四棱锥p-abcd中，底面abcd为正方形，pa底面abcd，ab=，分别求点c与点d到平面pab的距离. 3、如图几何体是由正方体abcd-a1b1c1d1与四棱锥e-a1b1c1d1组成，e为cc1的延长线上一点，且ec1=cc1，ab=2，m为eb1的中点，求点m到平面acd1的距离. 4、如图bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，求点a到平面mcd的距离.pcabod图5图65、圆锥如图5所示，图6是它的正(主)视图已知圆的直径为，是的中点，为的中点（1）求该圆锥的侧面积；（2）证明：； （3）求点到平面的距离6、 如图，abcd是边长为4的正方形，e、f分别是ad、ab的中点，gc垂直于abcd所在的平面