高三数学教案：面向量与解析几何交汇的综合问题

1、平面向量与解析几何交汇的综合问题苍南县龙港二高李丕贵设计立意及思路向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点， 数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点， 综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。2、以向量作

2、为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质， 直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。高考考点回顾近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：2002 年天津卷21 道只是数学符号上的混合；2003 年江苏卷 20 道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合； 2004 年有 6 份卷（分别是全国卷理科（必修+选修 I） 21 道；全国卷理科（选修） 21道；辽宁 19 道；湖南文21 道；江苏卷 21 道；天津卷 22 道）涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合， 可以说是应用层面上综合。 就应用层面上又有两个层次。第一层次：考查

3、学生对平面向量的概念、加减运算、 坐标表示、 数量积等基本概念、运算的掌握情况. 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、定比分点、 加减运算几何意义（这三点已有所涉及）、数量积几何意义、射影定理（这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1 变式）。考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.基础知识梳理向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；平面向量的数量积及其几何意义、 平面两点间的距离公式、 线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；椭圆、双曲线、抛物

4、线的定义及简单几何性质的灵活运用；曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。例题讲解一、“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向， 高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法， 以利于减少运算量， 提高思维量。 而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、 射影定理来表示， 无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。 在以向量为载体， 求轨迹方程为命题切入点， 可以综合考查学生平面向量的加法与

5、减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。例 1已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量，设a = ( x3)iyj , b = ( x3)iyj ,且满足 | a |+| b |=4.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 .第1页共11页如果过点 Q(0， m)且方向向量为 c =(1,1)的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，当AOB的面积取到最大值时，求m 的值。解： (1)a =( x3) iyj , | b |=(x3)iyj ,且 | a |+| b |=4.3 ,0)， (- 3 ,0)的距离这和为x2y21点 P(x,y)到点 (4，故点

6、 P 的轨迹方程为4(2) 设 A( x1 , y1 ),B(x2 , y2) 依 题 意 直 线 AB的 方 程 为y=x+m. 代 入 椭 圆 方 程 ， 得22xx8xx421)5x8mx4m40，则1 +2 =-5?2 =5 (mm, 1因此，SAOB1AB d2 (5m2 )m225当 5m 2m2时，即 m=10时， Smax12 题 设 变 式I.1已 知 i , j是 x,y轴 正 方 向 的 单 位 向 量 ， 设 a = ( x3)iyj,b =( x3)iyj ,且满足 |a | -| b |=2. 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 .(轨迹为双曲线 ) 题 设 变

7、式I.2已 知 i , j是 x,y轴 正 方 向 的 单 位 向 量 ， 设 a = ( x3)iyj,b =( x3)iyj ,且满足 b ? i =|a |. 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 .提示：设 K(-3 ,0)，F (3 ,0)，则 b? i 表示 KP 在 x 轴上射影， 即点 P 到 x= -3 的距离，所以点 P 到定点 F 的距离与到定直线x= -3 的距离比为 1，故点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 x= -3 为准线抛物线 题 设 变 式I.3 已 知 i , j 是x,y轴 正 方 向 的 单 位 向 量 ， 设 a = ( x 3)iyj , b

8、=( x3)iyj ,且满足 b ? i =|a |. 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 .提示：设 K(-3 ,0)，F ( 3 ,0)，则 b? i 表示 KP 在 x 轴上射影， 即点 P 到 x= -3 的距离，a1011x= - 3 的距离比为 b ? i所以点 P 到定点 F 的距离与到定直线，当时，点11P 的轨迹是以 ( 3 ,0)为焦点，以3 为相应准线的椭圆；当x= -时，点 P 的轨迹是以(3 ,0)为焦点，以 x= - 3 为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支应满足什么条件？ 第2页共11页题设变式 I.4 已知平面上两定点K、F，P 为一动点， 满足，

9、KP ? KFPF KF.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 .(以 F 焦点，过 K 且垂直于 KF的直线为准线的抛物线 )题设变式 I.5 已知平面上两定点K、 F， P 为一动点，满足， KP ? KFPF.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 .(以 F 焦点，过K 且垂直于 KF的直线为准线的圆锥曲线。)考题 已知点 A(2 2 ，0)， B(2 ， 0)动点 P 满足 AP AB2 | AB | | BP |(1)若动点 P 的轨迹记作曲线C1，求曲线 C1 的方程 .2(2)已知曲线C1 交 y 轴正半轴于点Q，过点 D（ 0，3 ）作斜率为 k 的直线交曲线C1 于 M、 N

10、 点，求证：无论k 如何变化，以 MN 为直径的圆过点Q.（解答见附页） 题 设 变 式 II.1已 知 i , j是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 ， 设 a = (x3)iyj,b =( x3)iyj ,且满足 | a +b |=4. 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 . ( AP BP2OP ,点 P 轨迹为圆，其中A（3 ， 0）， B（3 ， 0） ) 题 设 变 式II.2已 知 i , j是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 ， 设 a = (x3)iyj,b =( x3)iyj ,且满足 a ? b 6.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 . (轨

11、迹为圆 )例 2、已知两点 M( -2，0)，N(2，0)，动点 P 在 y 轴上的射影是 H，如果 PHPH , PMPN分别是公比 q=2 的等比数列的第三、第四项 .（ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（ 2）已知过点 N 的直线 l 交曲线 C 于 x 轴下方两个不同的点， A、 B，设 R 为 AB 的中点，若过点 R 与定点 Q(0， -2)的直线交 x 轴于点 D(x0， 0)，求 x0 的取值范围 .导析（ 1）设P(x，y) ，则H(0，y) ，PH ( x,0),PM(2x,y), PN(2x,y).所以 PHPHx 2 , PM PN(2x)( 2x)y 2x2y 2

12、4.PMPN2,x2y 242.又因为 PHPHx2所以有所以点 P 的轨迹方程为y2-x2=4(x 0).（ 2）设 AB： y=k(x-2)， A(x1y1)，B(x2y2)， R(x3y3).yk( x)2由2x 24y化简得 (k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0.第3页共11页x3x1x22k22k 2,所以有1y31 .2k .y3k 21所以 x3ky 2y32 ,2y32 12 ,所以 DQ 的方程为xx3令 y=0，得 x0x3kx3所以 x02212 k21( 1 1 )25k2k 2k24又由16k 416(k 21) 232k 216 0,y1y20,12y3y

13、20.可得 k2 2 ，由题意可知2 k 1，1115所以 1 k 2 ，所以21 -( k2 )2+ 4 1，所以 2 x0 2+22 .故所求的x0 的取值范围为 (2，2+22 ).题后反思 若改变 q的值能否构造出椭圆来呢？当 0 q 1 时，点P 的轨迹为椭圆 例 3 、如图所示，点F (a ， 0)(a 0) ，点P 在 y轴上运动， M在 x 轴上， N 为动点，且 PMPF0, PNPM（ 1）求点 N 的轨迹 C的方程；（ 2）过点 F(a，0)的直线 l(不与 x 轴垂直 )与曲线 C 交于 A、B 两点，设点 K(-a，0)，KA 与 KB的夹角为，求证： 0 2 .2答

14、案提示 （ 1）点 N 的轨迹 C 的方程为y4ax变化 点 F (a， 0)(a 0)，点 P 在 y 轴上运动， M 在 x 轴上， N 为动点，且 PM PF 0, PNPM （ 为常数）求点N 的轨迹仍为抛物线吗？；二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。第4页共11页x2y2例 4、已知 F1 ， F 椭圆 612的两个焦点，过点F 的直线 BC 交椭圆于 B、C 两点，OM1(OC OB )(1)2，求点 M 的轨迹方程 .答案 ( x 1)23y 21(2)若相应于焦点F 的准线 l 与 x 轴相交于点

15、A，|OF|=2|FA| ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 .设 APAQ （1 ），过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点M，证明: FMFQ .解： (1)略(2) 证明： AP(x1 3,y1 ),AQ ( x23, y2 ) .由已知得方程组x13( x23),y1y2 ,x12y121,62x22y221.62511 ，解得x2注意2因 F (2,0), M ( x1 ,y1 ) ，故FM( x12,y1 ) ( (x23) 1,y1 )(12,y1 )(1 , y2 )2.FQ (x22, y2 ) (1 , y2 )而2，所以FMFQ .结论发散 设 P

16、( x0 , y0 )为椭圆上一点，求 PF1 ? PF 的 Min第5页共11页PF1 ? PF的 Max求当 PF1? PF 0)上两点， 直线 AB 过焦点 F，A、B 在准线上的射影分别为 C、 D，若 OA ?OB6 ，求抛物线的方程。CD 是否恒存在一点K，使得 KA ? KB0YAFPBXODKCA（ x1, y1 ）、 B （ x2 , y2 ）设直线 AB 方程为 yp解：（ 1）提示：记kx2 代入抛物线方程得 x22kpxp 20x1 x2p2 , y1 y241 p 2OA ? OBxx2y y23 p26114（2）设线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T，2则

17、 TA ?TB(TPPA) ? (TP PB)TPTP ? ( PAPB)PA ? PB第6页共11页1CA )21 ( FBFA )2114 ( DB222PA ? PB 4 PA 4 AB 4 AB 0故存在点 K 即点 T，使得 KA ? KB0实质：以 AB 为直径的圆与准线相切结论发散 1 y 轴上是否恒存在一点K，使得 KA ? KF0实质：以 AF 为直径的圆与y 轴相切 结论发散 2求证：CF ? DF0结论发散 3求证：存在实数使得 ADAO实质：证明 A、 O、 D 三点共线（ 2001 年高考题） 结论发散 4设线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T，证明： FT

18、? AB0题设变更 1已知 A、B 为抛物线 x 22 py (p0)上两点， OA ? OB0 ，点 C坐标为 (0,4 p)求证： AC AB（2）若 AM BM （R ）且 OM ? AB0 试求点 M 的轨迹方程。题设变更 2（ 2004全国湖南文21）如图，过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点P（ 0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点.设点 P 分有向线段 AB 所成的比为，证明 :QP (QAQB) ；解：依题意，可设直线AB 的方程为 ykx m, 代入抛物线方程 x24 y 得x24kx 4m0.设 A、 B 两点的坐标分别是(

19、x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ), 则 x1 、 x2 是方程的两根 .所以x1 x24m.第7页共11页由点 P（ 0， m）分有向线段AB 所成的比为，x1x20,即x1 .得1x2又点 Q 是点 P 关于原点的对称点，故点 Q 的坐标是（ 0， m），从而 QP(0,2m) .QAQB ( x1 , y1m)( x2 , y2m) ( x1x2 , y1y2(1)m).QP(QAQB)2m y1y2(1)m2m x12x1x22(1x1 )n2m( x1x2 )x1 x24m4x24x24x22m( x1x2 )4m4m4x20.所以QP(QAQB).第8页共11页思维能力训

20、练一、选择题1、（ 2002 年新课程卷） 平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知 A(3,1), B(1,3)，若点 C 满足 OCOAOB ，其中,R ，且1，则点 C 的轨迹方程为 ()A. 3x2y 110B.(x1) 2( y2) 25C. 2x y 0D. x 2 y 5 02、已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量，设a = ( x2)iyj ,b = (x2)iyj ,且满足 | a|+| b |=4. 则点 P(x,y)的轨迹是 .()A、椭圆B双曲线C线段D射线3、已知四边形 ABCD是菱形，点 P 在对角线 AC上（不包括端点A、 C），则 AP=2（A）(A

21、B+AD), (0, 1)(B)(AB+BC), (0, 2)2(C)(ABAD), (0, 1)(D)(AB BC), (0,2)4 、 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 ， A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 动 点 P 满 足OPOA( AB AC) ，0,) ，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的（）（ A）外心（ B）内心（C）重心（ D）垂心25、已知两点 A(-1，0)，B(1， 0)，动点 P 在 y 轴上的射影是 Q，且 PQ2PA PB则动点 P的轨迹为（）：A、抛物线B双曲线C椭圆D直线6已知 A、 B 为抛物线x 22 py (p0) 上

22、两点，直线AB 过焦点 F， A、 B 在准线上的射影分别为 C、 D，则（ 1）y轴上是否恒存在一点K，使得 KA ? KF0 （2） CF ? DF0 （ 3）存在实数使得ADAO（4）若线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为T，有 FT ? AB 0中说法正确的个数为（）A. 1B2 C 3 D4二、填空题7、已知 i, j 是 x,y 轴正方向的单位向量， 设 a = (x 3)i yj , b =( x3)i yj ,且满足b ? i =2|a |. 则点 P(x,y)的轨迹方程为.第9页共11页x 2y28、已知 F1 ， F2 椭圆 1001, y0 )为椭圆上一点，36的两个

23、焦点， P( x0当PF1 ? PF20 时，x0的取值范围为.。三、解答题x2y 219(2004 年全国高考辽宁19)设椭圆方程为4，过点 M （ 0， 1）的直线 l 交椭圆1 (OAOB) ，点 N 的坐标为( 1 , 1 )于点 A、 B， O 是坐标原点，点 P 满足 OP 22 2 ，当 l绕点 M 旋转时，求：（ 1）动点 P 的轨迹方程；（ 2） | NP |的最小值与最大值 .x2y 21(a 0,b0),10.已知双曲线 C： a2b 2B 是右项点， F 右焦点，点 A 在 x 轴正半轴上，且满足， | OA |、 | OB |、 | OF |成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、第三象限的渐近线的垂线 l ，垂足为 P。求证： PA ?OP PA ? FP若 l 与双曲线 C 的左、右支分别相交于点D、 E，求双曲