06第六章方差分析.ppt

1、贵州财经学院数学与统计学院,第六章 方差分析,第一节 方差分析的基本问题,第二节 单因素方差分析,第一节 方差分析的基本问题,方差分析能够解决多个总体均值是否相等的检验问题。节省时间是这种方法明显的优点，它的另外一个好处是：由于进行分析时是将所有样本资料结合在一起，因而增加了稳定性。例如，30个样本，每一个样本包括10个观察单位。如果用z或t检验法，一次只能研究二个样本，即20个观察单位.而使用方差分析则可以把300个观察单位结合在一起进行研究。所以说，方差分析是一种实用、有效的分析方法。,是能一次性地对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的方法。,例：某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的

2、颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。随机从五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量.,方差分析,一、方差分析的内容,为了对方差分析的内容有一个直观认识，不妨通过下面的例子说明。,问该饮料的颜色是否对销售量产生影响。,分析:这是一个方差分析的问题。即对四种饮料销售量均值是否相等进行检验。由于饮料是同一厂家生产的，它们的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同，如果检验结果为1、2、3、4不存在显著影响，则可以认为饮料的颜色对销售量没有影响，它们来自于相同的总体。,绿色、粉色、无色、橘黄色,如果相等，可以认为它们来自于相同的总体。（即颜色对销量没有影响）,分析:反之

3、，如果检验结果为 1、2、3、4不相等，则意味着它们来自于不同的总体，表明饮料颜色对销售量产生影响。,方差分析就是一次性地对多个总体均值是否相等这一 假设进行检验的方法。,二、方差分析的基本概念,在方差分析中，常常用到一些术语。,因素,水平,交互影响,又称因子，是在实验中或在抽样中的发生的量， 它是一个独立的变量，也是方差分析研究的对象。,因素的状态称为水平。,如果因子间存在相互作用，称之为“交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称为无交互影响。,如上例中饮料的颜色,如上例中水平有四个，即饮料的四种不同的颜色。,在实验中变化的因素不只有一个,单因素方差分析,多因素方差分析,在实验中变化的因素只

4、有一个,上例中只分析饮料的颜色对销售量是否有影响.,假如上例中除了颜色以外,还分析饮料的营养含量、味道、价格、装潢等因素对销售量是否有影响.,三、方差分析的原理,从方差分析的目的看，是要检验各个水平的均值u1,u2, ur是否相等，而实现这个目的的手段是通过方差的比较。 所以方差分析的原理就是通过不同方差的比较，作出接受原假设或拒绝原假设的判断。 1、方差的分解：,观察值的差异,系统性差异,指不同水平之间的方差.既包括系统性差异，又包括随机性差异。,是同一水平内部的方差,只包括随机性差异,如销售量的不同,颜色不同引起销量不同,相同颜色的饮料在不同商场销售量也不同,如果不同的水平对结果没有影响，

5、则没有系统性差异，组间方差与组内方差的比值就会接近于1, 即:,如果不同的水平对结果产生影响，包括了系统性差异，则组间方差与组内方差的比值就会显著地大于1许多。,当这个比值大到某个程度，或者说达到某临界点，就可以作出判断，说不同的水平之间存在着显著性差异。,即:,即:,如饮料的颜色对销售量不产生影响,如饮料的颜色对销售量有显著影响,2、检验统计量 我们把组间方差和组内方差之比称为检验统计量。数理统计证明，这个统计量服从F分布。又叫F统计量：即,F分布为正偏态分布, F是大于0的正数。许多类型的假设检验需要利用F分布，方差分析是其中的一种。,颜色对销售量没有影响,第二节 单因素方差分析,为便于叙

6、述，也便于理解，可以将单因素方差分析按其过程划为几步。,不完全相等。,一、提出原假设和备选假设,颜色对销售量有显著影响,二、随机抽样，计算样本的水平均值和总均值,表示第j种水平的样本均值,式中 是第j种水平下的第i个观察值， 是第j种水平下的观察值的个数。,水平均值,总均值,上例中，计算总均值的 一般表达式为：,（一）、计算总离差平方和（SST）,三、计算离差平方和,不论是总方差、组间方差和组内方差，实质上都是离差平方和除以观察值的个数。所以要计算总方差、组间方差和组内方差，首先应计算离差平方和。在单因素方差分析中，与以上方差对应，离差平方和也有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和及组

7、间离差平方和。,它是所有观察值与总均值的离差平方和，反映了样本数据总的波动情况。,计算公式为：,=（26.5-28.695)2+（28.7-28.695)2+（32.8-28.695)2=115.9295,上例中可以计算出：,（二）、计算组内离差平方和（SSE）,计算公式：,观察值与水平（组内）均值的离差平方和，反映的是水平内部，或组内样本数值的离散程度。实质上它反映了随机因素带来的影响。,=(26.5-27.32)2+(28.7.5-27.32)2 +(27.2-27.32)2= 10.688,上例中可以计算出：,水平1,类似地，其他三个水平计算：8.572，13.22，6.632，,=10

8、.688+8.572+13.22+6.632 =39.084,可以把单因素方差分析中的因素称为A，于是组间离差平方和用SSA表示。 计算公式为：,它是水平（组内）均值与总均值的离差平方和，所表现的是组间差异。其中包括随机因素差异，也包括系统性差异。,（三）计算组间离差平方和（SSA）,SST、SSE、SSA之间存在一定的联系。表现在：,上例中，SSA=SST-SSE=115.9295-39.084=76.8455,（四）计算方差,离差平方和还要受到的观察值个数的影响,观察值个数越多，离差平方和就有可能越大；观察值个数越少，离差平方和就有可能越小。为了消除观察值个数对离差平方和大小的影响，我们用

9、离差平方和除以观察值个数，得到方差.,自由度,SSA除以它的自由度叫组间方差MSA,SSE除以它的自由度叫组内方差MSE,SST除以它的自由度叫总方差MST,SSA反映的是组间（水平）的差异，对SSA来说，其自由度为r-1，这里r表示水平的个数。如前例，有四个水平，即四种不同颜色，故r=4。它也有一个约束条件,即,对SST来说，其观察值个数为nr，因为它有一个约束条件 ,失去一个自由度,即为nr-1，,总方差MST =MST /(nr-1),组间方差MSA=SSA/(r-1),n为每一种水平的观察值个数,假设相等,上例中，MSA=SSA/(r-1)=76.8455/(4-1)=25.6152

10、上例中，MSE=SSE/(nr-r)=39.0840/(20-4)=2.4428,对SSE来说，其自由度为nr-r，因为对每一种水平而言，其观察值个数为n，该种水平下的自由度为n -1，共有r个水平，因此拥有的自由度个数为r（n -1）=nr-r。,组内方差MSE=SSE/(nr-r),与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在一定的联系。即： nr-1=（r-1）+（nr-r）,r-1,nr-r,F分布表的v1,F分布表的v2,于是，查F分布表得临界值F=3.24,（五）判断 根据显著性水平和统计量的F分布，可以找出接受域和拒绝域的临界点，用计算出的F检验统计量的值与临界值F

11、相比较，就可以作出接受原假设或拒绝原假设的判断。,若 接受H0 若 拒绝H0接受H1,F,F,接受H0,拒绝H0接受H1,已知，查F分布表得临界值F,如上例，H0：u1= u2=u3=u4 颜色对销售量没有影响 H1：u1、u2、u3、u4 不全相等 颜色对销售量有影响 由前所知，F值=10.486。若=0.05，查表得 F(r-1，nr-r)=F0.05（3 . 16）=3.24,由于F F故拒绝原假设，接受备选假设。即通过检验知， u1、u2、u3、u4不全相等；说明饮料的颜色对销售量有显著影响。,F=10.5,三、单因素方差分析中的几个问题,1、方差分析需满足的假设条件： （1）样本是独立的随机样本 （2）各样本皆来自正态总体； （3）总体方差具有齐性，即各总体方差相等。 2、各总体的样本容量可以相等也可以不相等。 3、方差分析将所有样本结合在一起，使数据数量增