第6章 复频域分析.ppt

1、,第六章 复频域分析,根轨迹是一种求解闭环特征方程根的简便的图解方法，它是根据系统的开环传递函数极点、零点的分布和一些简单的规则，研究开环系统的某一参数从零到无穷大时，闭环系统极点在s平面上的轨迹。,6.1 根轨迹分析,利用根轨迹法能够分析结构和参数确定的系统的稳定性和系统的动态响应特性。 根据系统动态和稳态特性的要求确定可变参数，调整开环零极点的位置和数目。 在控制系统的分析和设计中根轨迹是一种很实用的工程方法。,设典型的闭环系统结构图如图所示,其闭环传递函数为,闭环系统的特征方程为,或,将写成零极点模型,令,则有,都是根轨迹方程，根轨迹方程是闭环系统特征根的方程。 如果以参数 从0变化到无

2、穷大时，闭环系统特征根在平面上变化的轨迹，就是根轨迹。,可写成,幅值条件,相角条件,应当指出: 相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件,可写成,试绘制根轨迹图，并求出与实轴的分离点、与虚轴的交点及对应的增益。,例6-1 单位负反馈系统的开环传递函数为,MATLAB 程序如下：,num=1; den=conv(1 0,conv(1 2.73,1 2 2); rlocus(num,den); k,poles=rlocfind(num,den),利用rlocfind函数，在图形窗口中显示十字形光标，选择根轨迹与实轴的分离点，则相应的增益由变量k记录，与增益相关的所有的极点记录在变量ploes中；

3、,说明,Select a point in the graphics window,运行程序，得到结果：,利用在图形窗口中显示手形光标，选择根轨迹与虚轴的交点，则直接显示出该点的增益和坐标。如图6-1所示。,系统的根轨迹图,selected_point = -2.0850 - 0.0151i k = 2.9289 poles = -2.0804 -2.0320 -0.3088 + 0.7730i -0.3088 - 0.7730i,运行程序，得到结果（续）：,例6-2 设控制系统的开环传递函数为,试求在下列条件下的绘制根轨迹。 (1) a=10； (2) a=9； (3) a=8； (4) a

4、=3。,通过比较上述各条件下的根轨迹，你将得出什么结论？,num1=1 1; den1=conv(1 0 0,1 10); num2=1 1; den2=conv(1 0 0,1 9); num3=1 1; den3=conv(1 0 0,1 8); num4=1 1; den4=conv(1 0 0,1 3); figure(1) subplot(2,2,1) rlocus(num1,den1); axis(-10 0 -4 4) title(a=10),subplot(2,2,2); rlocus(num2,den2) axis(-9 0 -4 4) title(a=9) subplot(

5、2,2,3) rlocus(num3,den3); axis(-8 0 -4 4) title(a=8) subplot(2,2,4) rlocus(num4,den4); axis(-8 0 -4 4) title(a=3),运行程序，得到结果：,MATLAB 程序如下：,极点变化的根轨迹,极点 向右 移动 相当 惯性 或振 荡环 节的 时间 常数 增大,说明,试绘制该系统带栅格的根轨迹图。,例6-3 已知二阶离散系统的脉冲传递函数为,MATLAB 程序如下：,num=0.7 0.06 den=1 -0.5 0.43 G=tf(num,den,-1) zgrid(new) rlocus(G)

6、,运行程序，得到结果：,二阶离散系统带栅格的根轨迹图,例6-4 已知带有延时环节的系统开环传递函数为,试绘制系统闭环的根轨迹图，并选择系统稳定时给定根的根轨迹增益，最后求系统k=0.5时的给定阶跃响应曲线。,MATLAB 程序如下：,num1=1 den1=conv(conv(1 0,1 1),0.5 1) G1=tf(num1,den1) num2,den2=pade(1,3) G=G1*tf(num2,den2) rlocus(G) axis(-8 10 8 8) k,poles=rlocfind(G),运行程序，得到结果：,带有延时环节的系统的根轨迹图,k = 0.5109 poles

7、= -3.4584 + 3.1385i -3.4584 - 3.1385i -3.9323 + 1.6703i -3.9323 - 1.6703i -0.1092 + 0.5441i -0.1092 - 0.5441i,在图形窗口中显示十字形光标，当选择根轨迹负实轴上某一点时，其相应的增益由变量k记录，与增益相关的所有的极点记录在变量ploes中。其数据如下：,num1=0.5 den1=conv(conv(1 0,1 1),0.5 1) num2,den2=pade(1,3) num,den=series(num1,den1,num2,den2) numc,denc=feedback(num

8、,den,1,1) step(num,denc,50),当k=0.5时， MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,带有延时环节的系统的阶跃响应,例6-5 某控制系统的开环传递函数如下,试绘制系统的闭环根轨迹。寻找系统临界稳定时的增益k，并绘制的系统脉冲响应作为验证。,num=1 den=conv(1 1,1 6 10) rlocus(num,den) axis(-6 1 -6 6) k,poles=rlocfind(num,den),MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,系统的闭环根轨迹,Select a point in the graphics window select

9、ed_point = -0.0201 + 4.0062i k = 101.7063 poles = -6.9955 -0.0023 + 3.9960i -0.0023 - 3.9960i,说明 当k101.7，系统稳定 验证 我们分别取 k=101、k=102、k=103 求出闭环系统的脉冲响应。,num1=101; den1=conv(1 1,1 6 10); num,den=feedback(num1,den1,1,1); figure(1) impulse(num,den,800) num1=102; den1=conv(1 1,1 6 10); num,den=feedback(num

10、1,den1,1,1); figure(2) impulse(num,den,15) num1=103; den1=conv(1 1,1 6 10); num,den=feedback(num1,den1,1,1); figure(3) impulse(num,den,600),MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,系统响应图1,系统响应图2,系统响应图3,当k=101时，闭环系统稳定,k=101时闭环系统脉冲响应,当k=102时，闭环系统临界稳定,k=102时闭环系统脉冲响应,当k=103时，闭环系统发散,k=103时闭环系统脉冲响应,频域分析法是频率特性研究线性系统的一种经典方法

11、，传统的频率分析方法是计算数据，绘制控制系统在频域中的图形曲线，并求出频域性能指标。 这种老办法要耗费大量时间、精力，而且计算数据的精确度还不一定能够得到保证。 借助于计算机及其软件，特别是利用MATLAB软件，运行它提供的频率分析函数，能够方便、简单、快捷对系统进行分析。,6.2 频域分析与奈氏图,系统的频率特性 为： 系统输入正弦信号时，系统的稳态输出与输入之比，即,其表示方法有：,（1） 幅相频率特性曲线 奈奎斯特（Nyquist）图或极坐标图，简称奈氏图 （2） 对数频率特性曲线 伯德（Bode）图 （3）对数幅相频率特性曲线 尼柯尔斯（Nichols）图或尼氏图,（1） 幅相频率特性

12、曲线 奈奎斯特（Nyquist）图或极坐标图，简称奈氏图,系统的频率特性可写成：,它可以在极坐标中以一个矢量表示，矢量的长度等于模，而相对于极坐标的转角等于相位移。当给以不同的值时，的矢量终端将绘出一条曲线。,（2） 对数频率特性曲线（伯德（Bode）图）,系统的频率特性可写成：,故系统的对数幅频特性和对数相频特性为,将系统的对数幅频特性和对数相频特性分别画在各自的坐标系中。 对数幅频特性是取 为纵坐标，单位是分贝（dB），对数相频特性以 为纵坐标，单位为度 ，横坐标为角频率 ，单位为弧度/秒（rad/s）,（3）对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯（Nichols）图或尼氏图 ）,将对数幅频特性和

13、对数相频特性画在一个图上，即以 (度)进行线性分度的横轴，以 （dB）进行分度的纵轴，以为参数绘制的 曲线,在频域分析法中，Nyquist图是利用控制系统的开环幅相频率特性判断其闭环系统的稳定性。开环系统的幅相频率特性较容易计算，且可通过实验求得，因而奈氏判据使用方便，同时物理意义明确，这个判据确定了开环系统的频率特性与闭环系统动态响应之间的联系，它不仅能判断闭环系统的稳定性，而且可利用它找到改善闭环系统动态响应的方法。,例6-6 线性时不变系统如下：,要求绘制系统的Nyquist图，判别系统的稳定性，并绘制闭环系统的单位脉冲响应进行验证。,A=-0.6 -1.044 0 0;1.044 0

14、0 0; 0 0.9578 -0.7 -0.3162;0 0 0.3162 0 B=1 0 0 0 C=0 0 0 0.3162 D=0 figure(1) nyquist(A,B,C,D) z,p,k=ss2zp(A,B,C,D) p figure(2) A1,B1,C1,D1=cloop(A,B,C,D) impulse(A1,B1,C1,D1),MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,系统Nyquist图,p = -0.3000 + 1.0000i -0.3000 - 1.0000i -0.5001 -0.1999,得到极点位置,从图可以看出：Nyquist没有包围（-1，j0）

15、而系统开环四个极点均位于左半s平面，因此闭环系统稳定，这可由图得到证实。,闭环系统的单位脉冲响应,例6-7 已知系统的开环传递函数为：,（1）,（2）,要求分别绘制系统的Nyquist图，判别系统的稳定性，并绘制闭环系统的单位脉冲响应进行验证。,num1=2; den1=1 -1; num2=2; den2=conv(1 -1,1 0); numc1,denc1=feedback(num1,den1,1,1); numc2,denc2=feedback(num2,den2,1,1); figure(1); subplot(1,2,1); nyquist(num1,den1); subplot(

16、1,2,2); impulse(numc1,denc1,10); figure(2); subplot(1,2,1); nyquist(num2,den2); subplot(1,2,2); impulse(numc2,denc2,20);,MATLAB 程序如下：,运行程序， 得到结果：,从图可以看出：Nyquist逆时针包围（-1，j0）点一圈，而系统（1）有一个开环极点均位于右半s平面，因此闭环系统稳定，这可从图中的单位脉冲响应证实。,系统（1）的Nyquist图和相应的闭环系统单位脉冲响应,从图可以看出：Nyquist顺时针包围（-1，j0）点一圈，而系统（2）有一个开环极点均位于右半

17、s平面，因此闭环系统不稳定，这可从图中的单位脉冲响应证实,系统（2）的Nyquist图和相应的闭环系统单位脉冲响应,例6-8例 某控制系统的开环传递函数为,在其输入部分加一个的采样器，采样时间分别为0.5s和2s，试绘制控制系统的Nyquist图并分析系统的稳定性。,当采样时间Ts=0.5s，MATLAB 程序如下：,num=6; den=conv(1 0,1 2); numd,dend=c2dm(num,den,0.5); figure(1); dnyquist(numd,dend,0.5); figure(2); numd1,dend1=feedback(numd,dend,1,1); d

18、impulse(numd1,dend1,30); sys1=numd+dend; roots(dend) roots(sys1),运行程序，得到结果：,系统Nyquist图,系统的单位脉冲响应,ans = 1.0000 0.3679 ans = 0.4080 + 0.7731i 0.4080 - 0.7731i,从上图可以看出：Nyquist没有包围（-1，j0）而系统开环二个极点均位于单位圆内，因此闭环系统稳定，这可由下图得到证实。,当采样时间Ts=2s时，MATLAB 程序如下：,num=6; den=conv(1 0,1 2); numd,dend=c2dm(num,den,2); fi

19、gure(1); dnyquist(numd,dend,2); axis(-5 0 100 100) figure(2); numd1,dend1=feedback(numd,dend,1,1); dimpulse(numd1,dend1,10); sys1=numd+dend; roots(dend) roots(sys1),运行程序，得到结果：,图a 系统Nyquist图,图b 系统的单位脉冲响应,ans = 1.0000 0.0183 ans = -3.0575 -0.4517,从图a可以看出：Nyquist顺时针包围（-1，j0）而系统开环二个极点均位于单位圆内，因此闭环系统不稳定，这

20、可由图b得到证实。 可见：增大采样时间对系统的稳定是不利的。,例6-9 已知系统的开环传递函数为：,要求： （1）绘制系统的Nyquist图，判定闭环系统的稳定性，求出系统的单位脉冲响应。 （2）给系统增加一个开环极点p=2，求此时的Nyquist图，判定此时闭环系统的稳定性，并求系统的单位脉冲响应。,（1）MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,k=26; z=;p=-6 1; num,den=zp2tf(z,p,k); figure(1); nyquist(num,den); numc,denc=cloop(num,den); figure(2); impulse(numc,den

21、c),从图可以看出：Nyquist逆时针包围（-1，j0）点一圈，而系统有一个开环极点均位于右半s平面，因此闭环系统稳定，这可从单位脉冲响应证实。,系统Nyquist图,系统的单位脉冲响应,（2）系统增加一个开环极点p=2，则系统的开环传递函数为：,MATLAB 程序如下：,k=26; z=;p=-6 1 2; num,den=zp2tf(z,p,k); figure(1); nyquist(num,den); numc,denc=cloop(num,den); figure(2); impulse(numc,denc,5),运行程序，得到结果：,从图可以看出：Nyquist没有包围（-1，j

22、0）点一圈，而系统有两个开环极点均位于右半s平面，因此闭环系统不稳定，这可从单位脉冲响应证实。,系统Nyquist图,系统的单位脉冲响应,6.3 Bode图分析,例6-10 已知系统的开环传递函数为：,试绘制系统的Bode图。,MATLAB程序如下：,运行程序，得到结果：,num=5*10 1; den=conv(1 0,conv(1 0.2 1,0.5 1); bode(num,den),系统的Bode图,例6-11 典型二阶系统,试（1）绘制 时，取不同值时的Bode图。 （2）绘制=0.707时， 取不同值时的Bode图。,（1）MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,wn=5;

23、 w=logspace(-1,1,100); for kc=0.1:0.1:1; num=wn2; den=1 2*kc*wn wn2; mag,phase,w=bode(num,den,w); subplot(2,1,1); hold on; semilogx(w,20*log(mag); subplot(2,1,2); hold on; semilogx(w,phase); end subplot(2,1,1); hold on;grid; title(Bode Plot); xlabel(Frequency(rad/sec); ylabel(Gain dB) subplot(2,1,2)

24、; hold on;grid; xlabel(Frequency(rad/sec); ylabel(Phase deg); hold off,时，不同系统的Bode图,可以看出：当阻尼比较小时，系统频域响应在自然频率 附近将出现较强的振荡。,（2）MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,kc=0.707; w=logspace(-1,1,100); for wn=1:1:10; num=wn2; den=1 2*kc*wn wn2; mag,phase,w1=bode(num,den,w); subplot(2,1,1); hold on; semilogx(w1,20*log10(m

25、ag); subplot(2,1,2); hold on; semilogx(w1,phase); end subplot(2,1,1); hold on;grid; title(Bode Plot); xlabel(Frequency(rad/sec); ylabel(Gain dB) subplot(2,1,2); hold on;grid; xlabel(Frequency(rad/sec); ylabel(Phase deg); hold off,可以看出：当自然频率 增加时，Bode图的带宽将增加，使得系统的时域响应速度变快。,图6-24 =0.707时， 取不同值时的Bode图,例

26、6-12 已知系统的开环传递函数为：,试绘制k=2和k=20时系统的Bode图，并求相应系统的增益裕量和相角裕量。,MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,num1=2; den1=conv(1 0,conv(1 1,0.2 1); num2=20; figure(1); margin(num1,den1); figure(2); margin(num2,den1),k=2时系统的Bode图,k=20时系统的Bode图,例6-13 已知一系统的结构图如图所示，试判定系统的稳定性。,MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,g1=tf(20 40,1 10) g2=tf(1,con

27、v(conv(1 0,1 1),1 2) h=5 sys1=feedback(g2,h) sys=sys1*g1 margin(sys),例6-14 某控制系统的开环传递函数为,在其输入部分加一个Ts=2的采样器，试求其离散系统的模型，并绘制控制系统的Bode图,MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,num=2.4 den=conv(10 1,2 1) numd,dend=c2dm(num,den,2) g=tf(numd,dend,-1) dbode(numd,dend,2) grid g,Transfer function: 0.1645 z + 0.1105 - z2 - 1.

28、187 z + 0.3012,离散系统的Bode 图,例6-15 单位反馈系统的开环传递函数分别为：,试在同一图上绘制出系统的Bode图并对其结果进行比较。,（1）,（2）,MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,num1=5,5 den=conv(conv(1 0,1 2),conv(1 3,1 4) num2=-5 5 g1=tf(num1,den) g2=tf(num2,den) bode(g1,-,g2,-.) grid,可以看出：最小相位系统和非最小相位系统具有相同的幅频特性的，最小相位系统的相角范围是最小的，而非最小相位系统相角范围总是大于最小相位系统相角范围。,6.4 N

29、ichols图分析,例6-16 某一单位反馈控制系统的开环传递函数为,试绘制出当k分别取20、10和5时系统的Nichols图并进行稳定性分析。,MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,num1=1 2;den1=1 1; sys1=tf(num1,den1); num2=1;den2=1 2 4; sys2=tf(num2,den2); sys=series(sys1,sys2); k=20,10,5; for i=1:3 nichols(k(i)*sys); hold on end ngrid axis(-200 0 -40 40),K=20,K=5,系统的Nichols图,可以看

30、出：该系统有很大的增益裕量和正的相角裕量，闭环系统是稳定的。,为了证明这一点，执行以下程序，可得到图6-31的单位阶跃响应。,MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,t=0:0.01:10; k=20,10,5; for i=1:3; num1=k(i)*1 2;den1=1 1; sys1=tf(num1,den1); num2=1;den2=1 2 4; sys2=tf(num2,den2); sys=series(sys1,sys2); sysb=feedback(sys,1); step(sysb,t); hold on end,K=20,K=5,系统的单位阶跃响应,例6-17

31、某一单位反馈控制系统的开环传递函数为：,试绘制出系统的Nichols图，从而分析闭环系统阶跃响应的特性并验证之。,MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,num=0.6,4; den=conv(conv(1 0,0.02 1),conv(0.05 1,0.1 1); sys=tf(num,den); figure(1); nichols(sys); gm,pm,wcp,wcg=margin(sys); GM=20*log10(gm); disp(gm=);disp(GM); disp(pm=);disp(pm); figure(2); sysb=feedback(sys,1); ste

32、p(sysb);,gm= 23.2970 pm= 82.6217,系统Nichols图,系统的单位阶跃响应,例6-18 某一单位反馈控制系统的开环传递函数为,绘制Nichols图试： （1）确定一个k值，使系统的增益裕量GM=20dB。 （2）确定一个k值，使系统的相位裕量 。,具体思考方法是：先在较大范围内改变k值，寻找出满足系统的小区间，然后在小区间再进行寻找。,（1）MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,num=1; den=conv(1 0,conv(0.1 1,1 1); sys=tf(num,den); k=0.5,1,1.5; for i=1:3; sys1=k(i)*

33、sys; nichols(sys1); hold on gm,pm,wcp,wcg=margin(sys1); gm1=20*log10(gm); disp(k=);disp(k(i); disp(GM=);disp(gm1); end,K=0.5、1、1.5,k= 0.5000 GM=26.8485 k=1 GM=20.8279 k=1.5000 GM=17.3060,从以上结果可见满足系统增益裕量GM=20dB要求的k值在11.5之间，再运行以下程序在小范围内寻找。,MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,num=1; den=conv(1 0,conv(0.1 1,1 1); s

34、ys=tf(num,den); for k=1:0.1:1.5; sys1=k*sys; nichols(sys1); hold on gm,pm,wcp,wcg=margin(sys1); gm1=20*log10(gm); disp(k=);disp(k); disp(GM=);disp(gm1); end,K=1、1.1、1.2、1.3、1.4、1.5,k=1 GM=20.8279 k=1.1000 GM=20 k=1.2000 GM=19.2442 k=1.3000 GM=18.5490 k=1.4000 GM=17.9053 k=1.5000 GM=17.3060,从以上结果可见满足

35、系统增益裕量GM=20dB要求的k值为1.1。系统的Nichols图如图所示。,（1）MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,num=1; den=conv(1 0,conv(0.1 1,1 1); sys=tf(num,den); k=0.5,1,2; for i=1:3; sys1=k(i)*sys; nichols(sys1); hold on gm,pm,wcp,wcg=margin(sys1); disp(k=);disp(k(i); disp(pm=);disp(pm); end,k=0.5、1、2,k= 0.5000 pm=62.9459 k=1 pm= 47.4040

36、k= 2 pm= 31.7124,从以上结果可见满足系统相位裕量 要求的k值，经过多次试探，确定k值在0.50.6之间，再运行以下程序在小范围内寻找。,num=1; den=conv(1 0,conv(0.1 1,1 1); sys=tf(num,den); for k=0.5:0.01:0.6; sys1=k*sys; nichols(sys1); hold on gm,pm,wcp,wcg=margin(sys1); disp(k=);disp(k); disp(pm=);disp(pm); end,（2）MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,K=0.50.6(步长为0.01),

37、k= 0.5000 pm= 62.9459 k= 0.5100 pm=62.5361 k=0.5200 pm=62.1314 k=0.5300 pm=61.7317 k=0.5400 pm=61.3369 k=0.5500 pm=60.9469,k=0.5600 pm=60.5617 k=0.5700 pm=60.1812 k=0.5800 pm=59.8053 k=0.5900 pm=59.4341 k=0.6000 pm=59.0673,从以上结果可见满足系统相位裕量 要求的k值为0.57,6.5 闭环频域响应特性,我们前面介绍了使用开环系统的频率特性来分析闭环系统的特性，但是在工程实践中

38、，为了进一步分析和设计系统，常常要用系统的闭环频率特性。,一个系统的闭环频率特性为,闭环幅频特性： 闭环相频特性：,描述了开环频率特性与闭环频率特性之间的关系，根据此式求出不同频率处所对应的闭环幅值和相位，即可得到系统的闭环频率特性，从而绘制出闭环幅频特性曲线和闭环相频特性曲线，如图所示，是系统的闭环幅频特性。,例6-19 系统的闭环传递函数如下：,要求画出系统的幅频特性，并求出系统的谐振峰值和谐振频率。,MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,num=4; den=1 2 4; w=0:0.01:3; g=freqs(num,den,w); mag=abs(g); for i=2:(

39、length(w)-1); if (mag(i+1)-mag(i)0; mp=mag(i); wp=w(i); end end disp(mp);disp(mp); disp(wp);disp(wp); plot(w,mag); xlabel(Frequency(rad/s); ylabel(Magnitude); grid; axis(0 3 0.5 1.2); title(闭环幅频特性曲线);,mp = 1.1547 wp = 1.4100,系统的闭环幅频特性,例6-20 在例6-19中闭环传递函数增加一个极点后，系统的传递函数为,求系统的频率响应和阶跃响应。,MATLAB 程序如下：,运

40、行程序，得到结果：,num=10; den=conv(1 2.5,1 2 4); t=0:0.02:4; c=step(num,den,t); w=0:0.01:3; g=freqs(num,den,w); mag=abs(g); subplot(2,1,1); plot(w,mag); title(闭环幅频特性曲线); xlabel(Frequency(rad/s); ylabel(Magnitude); grid; subplot(2,1,2); plot(t,c); title(阶跃响应); xlabel(Time(sec); ylabel(y(t); grid;,系统的幅频特性和阶跃响应,例6-21 一单位反馈控制系统的开环传递函数为：,试 （1）绘制k取110不同值时的系统闭环幅频特性。 （2）增加一开环零点（0.2s+1），绘制k取110不同值时的系统闭环幅频特性。,（1）MATLAB 程序如下：,运行程序，得到结果：,f