1.1导数的概念.ppt

1、1.1.1变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,微积分主要与四类问题的处理相关:,一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。,问题1 气球膨胀率,在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是,若将

2、半径 r 表示为体积V的函数, 那么,当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:,在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,探 究:,(1

3、) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,定义:,平均变化率:,式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.,令x = x2 x1 , y= f (x2) f (x1) ,则,理解： 1，式子中x 、 y的值可正、可负，但的x值不能为0， y的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， y =0 3, 变式,思考?,观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1,f(x2)-f(x1)

4、,直线AB的斜率,练习:,1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?,2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.,(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .,做两个题吧!,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的

5、平均变化率的步骤: (1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率,一、复习,1.平均变化率:,平均变化率的几何意义: 割线的斜率,理解： 1，式子中x 、 y的值可正、可负，但的x值不能为0， y的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， y =0 3, 变式,求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率,1.1.2 导数的概念,在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求 瞬时速度呢?,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间

6、上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限

7、变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1.,表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值 13.1”.,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,探 究:,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x)

8、 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:,求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值,口诀：一差、二化、三极限,题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h

9、附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.,应用： 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,练习：,2 .已知,解:,课后思考题：,1,2.函数f(x)=|x|在点x0=0处是否有导数？若有，求出来 若没有，请说明理由.,第一章 导数及其应用,1.1.3 导数的几何意义,P,

10、相切,相交,再来一次,直线PQ的斜率为,PQ无限靠近切线PT,相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：,函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,例1、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。,解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线， 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的 变化情况。,当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行 于x轴.,所以,在t=t0附近曲线比较平坦,

11、 几乎没有下降.,当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h(t1)0.,所以,在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.,(3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h(t2)0.,所以,在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.,与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.,例2、如图，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象。根据图象，估计t= 0.5,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1),0,0.2,0.1,0.4,0.6,0.5,1.1,0.7,

12、0.3,1.0,0.9,0.8,0.2,0.1,0.4,0.6,0.5,1.1,0.7,0.3,1.0,0.9,0.8,t(min),c(mg/mL),解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。,作t=0.5处的切线,它的斜率约为0,所以,作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5,所以,因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时 变化率分别为0和-1.5.,求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：,(2)求平均变化率,(3)取极限,得导数,(1)求函数的增量,回顾,例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2 （位移单位：m，时间单位：s） 求它在 t2s 时的速度.,解: 因为,从而,所以,例4、已知曲线 上一点 求：点P处的切线的斜率； 点P处的的切线方程,解: 点P处的切线的斜率即 在x=2处的导数.,因为,从而,所以,点P处的的切线方程,点P处的切线的斜率是4.,即直线,练习1、求曲线 在点M(3,3)处的 切线的斜率及倾斜角,斜率为-1,倾斜角为135,有,切线的方程为,注: 学了导数的运算后, 此类题有更简单的解法.,如果将x0改为x,则求得的是,被称为函数y=f(x)的导函数.,如果函