概率教案1-3.ppt

1、一、条件概率 许多情况下，我们会遇到在一事件发生的条件下求另一事件的概率问题，这就是条件概率问题. 我们称P(B/A)为在事件A发生的条件下事件B的条件概率。,例如：某班有40名同学,其中女同学20人,课代表同学5人,且已知20名女同学中有2名是课代表. 记 A=任取的一名为女同学; B=任取的一名为课代表同学,则在A发生的条件下事件B的条件概率： P(B/A)=2/20. 注: P(B/A)的含义为在已知任取的一位是女同学的前提下,该生又是课代表的概率.,另一方面，我们再求一下P(AB)/P(A)。,这里我们得到一个等式：,这个等式启发我们引入条件概率的定义：,定义1：设A、B是两个事件，且

2、P(A)0，称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。,二、概率乘法定理 定理：两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积 。 即：P(AB)=()(/) P(AB)=()(/),将上式变形就得到概率论中非常有名的乘法公式：,下面我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。,证明：假设试验重复了n次，事件A发生了m次，事件B 发生了k次，事件AB发生了r次，则 事件A发生的频率为：m/n 事件AB发生的频率为：r/n 在A发生的条件下事件B发生 的频率为：r/m 由于,B,由概率的统计定义, 故,B,问：P(B/A)与P(B)的样本空间一样吗？,注意

3、：上述公式还可以推广到三个及以上的情形,用条件概率解答下列问题.,解：令Ai =第i次取到黑球, Bj =第j次取到红球 i，j=1,2,3,4,例1（波里亚罐子模型)：一个罐子中装有b个黑球和r个红球，从罐中随机地摸取一球，观看颜色后再放回罐中，并且再加进c个与所取出的球具有相同颜色的球。这种过程进行四次，试求第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球的概率。,则A1A2B3B4 表示事件“第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球”，于是,说明：当c0时，每次取出球后都会增加下一次再取到同色球的概率，这其实是一个传染病模型，即每次发现一个传染病患者后都会增加下一次再传染的机会。,解：令Ai =第i

4、次拨号才接通电话, i=1,2,3,（1）拨号不超过3次而接通电话的概率。 （2）第3 次拨号才接通电话的概率,例2：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随机地拨号，假设拨过的数字不再重复，试求下列事件的概率。,（1）拨号不超过3次而接通电话可表示为：,于是：,（2）第3 次拨号才接通电话可表示为：,讨论： 用条件概率解答囚犯和看守关于处决谁是否要保密的问题. 问题： 监狱看守通知三个囚犯，在他们三人中要随机地选出一个处决，而把另外两个释放。囚犯甲请求看守秘密告诉他，另外两个囚犯中谁将获得自由。请问：就甲的求生而言，看守该如何做对甲有利？,解：设A=“甲被处决”， B=“乙被处决”， C=

5、“丙被处决”,注意:A、B、C是两两互斥事件,若看守不告诉甲： P(A)=1/3 若看守告诉甲，比如乙将获释，则：,同理：,讨论：用条件概率计算抽签问题 5个球迷得到一场精彩球赛的入场券，只好用抽签方式决定谁去。,解：记 Ai=“第i人抽到入场券”, i=1,2,3,4,5.,=“第i人没抽到入场券, i=1,2,3,4,5.,第二个人抽到意味着第一个人未抽到，于是,同理：第三个人抽到意味着前两人均未抽到,类似可得：P(A4)=P(A5)=1/5.,三、全概率公式与贝叶斯公式,1.样本空间S的一个划分 设B1,B2,Bn为样本空间的一组事件，且满足： BiBj= ,ij, i,j=1,2,.n

6、； B1B2 Bn= 这样的一组事件B1,B2,Bn 称为样本空间的一个划分。,2、全概率公式与贝叶斯公式,设B1,B2,Bn为样本空间的一个划分，则对中任意事件A，有,(1)式称为全概率公式， (2)式称为贝叶斯公式。,全概率公式,所以 A=A =A(B1B2 Bn) =AB1AB2 ABn,从而 P(A)=P(A )=P(AB1AB2 ABn),=P(AB1)+P(AB2 )+ +P(ABn ),= P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A | B2 ) + + P(Bn) P(A | Bn ),证明：由于 B1B2 Bn =,(2)贝叶斯公式,证明：,说明: 全概公式的作用在于

7、把一个事件A化为许多互斥事件ABi的和，且A至少与某个Bi一同出现。,下面看一下全概公式与贝叶斯(bayes)公式的应用。,例1：设某厂所用的晶体管是由甲、乙、丙三个厂家提供的，根据以往的记录有以下的数据：,设三个厂家的产品在仓库中是均匀混合的。 (1)在仓库中任取一只晶体管，求它是次品的概率； (2)在仓库中任取一只晶体管，发现它是次品，问它 是由甲厂生产的概率？,(1)解：设 A=“取到的一只晶体管是次品” Bi=“取到的是第i厂的产品” ，i=1,2,3.,则B1,B2,B3是样本空间的一个划分，且,P(B1)=0.15, P(B2)=0.80, P(B3)=0.05；,P(A|B1)=

8、0.02, P(A|B2)=0.01, P(A|B3)=0.03,由全概率公式:,P(A)= P(B1) P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3) P(A|B3),P(A)=0.020.15+0.010.80+0.030.05=0.0125,(2) 由贝叶斯公式,P(B1|A)=,同理 P(B2|A)=0.64 , P(B3|A)=0.12 .,所以乙厂生产的可能性最大。,例2：某发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“”与“”。由于通信受到干扰，当发出信号“”时，收报台分别以概率0.8和0.2收到信号“”与“”；当发出信号“”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“”与“”。 （）求收报台收到信号“”的概率。 （）若收报台收到信号“” ，求是由信号“”发出的概率。,解：A=发出信号“”，,显然 A，,是样本空间的一个划分,于是,=收到信号“”；,=发出信号“”；,B=收到信号“”，,例3：已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲，求此人是男人的概率。,是样本空间的一个划分,于是,=任选的一人是女人；,解：A=任选的一人是男人，,B=任选的一人是色盲，,显然 A，,例4： 甲盒中有3