概率论第三章.ppt

1、第三章 多维随机变量及其分布,到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述,在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .,它是第二章内容的推广.,一般地，我们称n个随机变量的整体 X=(X1, X2, ，Xn)为n维随机变量或随机向量.,请注意与一维情形的对照 .,3.1 二维随机变量及其分布,3

2、.1.1 二维随机变量及其分布,3.1.2 二维随机变量的联合分布函数,3.1.3 二维离散型随机变量的概率分布,3.1.4 二维连续型随机变量的概率分布,3.1. 5 几个常用分布,实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W).,说明,3.1 二维随机变量及其分布函数,随机向量),是定义在 上的随机变量,则由它们构成,的一个二维向量 称为二维随机变量(或二维,二维随机变

3、量（X,Y）,( X , Y )的联合分布函数,3.1.2、二维随机变量的联合分布函数,X,Y,x,y,Xx,Yy, , ,二维联合分布函数 区域演示图:,(x,y),定理： 的性质,（1）关于x或y非降,（4）关于x或y右连续,（2）,（3）,（5）对 ,有,(区域演示图见下页),X,Y,x1,y1,(x1,y1),x2,y2,(x2,y2),(x1,y2),(x2,y1),3.1.3 二维离散型随机变量,定义：若 只取有限对或可数对实数值 则称其为二维离散型随机变量。,二维随机变量（X,Y）,离散型,i, j =1,2, ,X和Y 的联合概率分布列,(X,Y)的联合概率分布列的表格形式如下

4、:,如何计算 ？,一般用乘法公式,P(AB)=P(A|B) P(B),例1整数X 等可能的取值：1，2，3，4 整数Y等可能的取值：1 X 求(X,Y)的联合概率分布列 .,解： P(X=i, Y=j) i=1,2,3,4 j=1,2i,P(X=1, Y=1)=,P(X=2, Y=1)=P(X=2)P(Y=1/X=2),所以 当ji时， P(X=i, Y=j)=0,当ji时,P(X=1)P(Y=1/X=1),=(1/4)*1=1/4,=(1/4)*(1/2)=1/8,可验证：非负性，规范性,二维随机变量（X,Y）,离散型,X和Y 的联合分布函数,离散型,一维随机变量X,X的分布分布函数,如例1

5、,求：,例设随机变量，随机变量,求和的联合概率分布列。,解,则,于是,于是和的联合概率分布列:,设二维连续型随机变量（X,Y）,的联合概率密度函数为 , 则,3.1.4 二维连续型随机变量,不难得出，对连续型 随机变量(X,Y)，其概率密度与分布函数的关系如下：,在 f (x,y)的连续点,例3 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值；,=c/3=1,c =3,解：(1),解: (2),求 (2) P(X3/4),P(Y1/2),注意积分限,=37/64,解: (2),注意积分限,=11/16,求 (3) P(X1/4,Y1/2), P(X=Y),解: (3),=1/16,是平面上一条直

6、线,0,1/4,例4 设(X,Y)的概率密度是,设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在G上服从均匀分布.,例,下面我们介绍两个常见的二维分布：,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作（ X,Y）N( ),1、 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)常数a的取值; (2)P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1),解 (1)由pij=1得: a=0.1,（2） P(X0,Y

7、1)=,P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1),+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2,=0.6,(3)P(X1,Y1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.75,练习：,2、 设(X,Y),试求:(1)常数 A ; (2)P X2, Y1;,解 (1),所以, A=6,=1,(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,所以,P X2,Y1=,2,1,X2, Y1,(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,3,2,2x+3y=6,

8、第二节 边缘分布,3.2.1 离散型随机变量的边缘分布,3.2.1 连续型随机变量的边缘分布,二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.,X和Y的概率分布分别称为（X,Y）关于X或Y 的边缘（概率）分布,那么要问:二者之间有什么关系呢? 可以相互确定吗？,先看如何由联合分布来确定两个边缘分布,3.2.1 离散型随机变量的边缘分布,一般，对二维离散型随机变量( X,Y )，,则(X,Y)关于X的边缘概率分布列为,X和Y 的联合概率分布列为,P(X=xi),Pi .,P(Y=yj),P. j,(j=1,2,.),P(X=xi)=,

9、同理,一般地,记:,我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,例1 袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球,求：（X,Y）的联合分布及边缘分布，分有放回和无放回 讨论,解：有放回,不放回,联合分布与边缘分布的关系：,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,对任意随机变量 (X,Y)，,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,对离散型随机变量(X,Y)，,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,对连续型随机变量(X,Y)，,X和

10、Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作（ X,Y）N( ),则X,Y的边缘概率密度分别为 XN(1,12), Y N(2,22),可以证明 若,即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是 一维正态分布，反之未必成立,注：这是 二维正态分布(X,Y)的特征， 其他分布未必成立,见例,见例,例2 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为,求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度.,解,即,同理可得,X,Y的边缘概率密度为一维正态分布.,所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布.,例设

11、随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布, 其中 D=(x,y),x2+y21,求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).,解 (1)由题意得:,-1,1,当|x|1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0,当|x|1时,所以,在这一讲中， 我们介绍了二维随机变量的边缘分布.,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,请注意联合分布和边缘分布的关系:,同理,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布,两事件 A,B 独立的定义是：,若,则称事件A,B 独立 .,将事件的独立性推广到随机变量,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念,第四节 随机变量的独立性,两个随机变量

12、独立的定义是：,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .,若 (X,Y)是离散型随机变量， 则上述独立性的定义等价于：,则称X和Y相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有,即,则称X,Y相互独立 .,对任意的 x, y, 有,若 (X,Y)是连续型随机变量 则上述独立性的定义等价于：,分别是X和Y 的边缘密度,例1 袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球,求：（X,Y）的联合分布及边缘分布，分有放回和无放 回讨论,解：有放回,不放回,有放回时，X和Y相互独立； 不放回时则不是,设 （ X,Y）N( ),X,Y相互独立吗？,证明： X,

13、Y相互独立,证：,例,因为,所以,易见,由x,y的任意性知，上式对一切x,y成立， 故X和Y相互独立,已知X和Y相互独立,解：,x0,即：,对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立,y 0,解：,0x1,0y1,故X和Y不独立 .,例 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为,(1),(2),讨论X ,Y 是否独立？,解,(1) 由图可知边缘密度函数为,显然，,故X ,Y 相互独立,(2) 由图可知边缘密度函数为,显然，,故X ,Y 不独立,判断连续型二维随机变量相互独立的 两个重要结论,设f (x,y)是连续型二维随机变量(X ,Y )的联合 密度函数，r (x), g(y)为非负可积函数，

14、且,则(X ,Y )相互独立,且,离散型随机变量X1,X2,，X n相互独立等价于联合概率分布等于边缘概率分布的乘积。,连续型随机变量X1,X2,，X n相互独立等价于联合概率密度函数等于边缘概率密度函数的乘积。,定义 称n个随机变量X1,X2,，X n相互独立, 有 PX1b1,X2b2,X nb n= PX1b1PX nb n,特别,随机变量独立性的概念不难推广到两个以上随机变量的情形:,定理1 若连续型随机向量（X1, ,Xn）的概率密度函数f(x1, ,xn)可表示为n个函数g1, ,gn之积，其中gi只依赖于xi，即 f(x1, ,xn)= g1(x1) gn(xn) 则X1, ,X

15、n相互独立,且Xi的边缘密度fi(xi)与gi(xi)只相差一个常数因子.,最后我们给出有关独立性的两个结果：,定理2 若X1, ,Xn相互独立,而 Y1=g1(X1, ,Xm), Y2=g2 (Xm+1, ,Xn) 则Y1与Y2独立 .,若两个随机变量相互独立, 且又有相同 的分布, 不能说这两个随机变量相等. 如,X ,Y 相互独立，则,注意,这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念. 给出了各种情况下随机变量相互独立的条件。,第五节 二维随机变量的函数分布,3.5.1 和的分布,3.5.1.1 离散型随机变量和的分布,3.5.1.2 连续型随机变量和的分布,3.

16、5.2 一般函数 的分布,3.5.4 最大值、最小值的分布,在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的分布?,一、离散型分布的情形,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,和的分布：Z =

17、 X + Y,解：依题意,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r=0,1，,例3 设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p), 求Z=X+Y 的分布.,回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:,我们给出不需要计算的另一种证法:,同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.,若X B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.,故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p,于是Z是以（n1+n2，p）

18、为参数的二项随机变量,即:,若X与Y相互独立，XB(n1,p)，B(n,p)， 则X+YB(n1+n2,p),二项分布的可加性,类似已知:若X,Y相互独立,XP(1),YP(2), 则 X+YP(1+2),Possion分布的可加性,例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度,解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,一、连续型分布的情形,和的分布：Z = X + Y,化成累次积分,得,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式是两个随机变量和的概率密度

19、的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,即,如图示:,于是,解法二 从分布函数出发,当z 0 时，,可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布,当0 z 1 时，,当1 z 2 时，,z-1,当2 z 时，,例6 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人

20、到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？,解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45), YU(0,60),所求为P( |X-Y | 5) 及P(XY),甲先到 的概率,由独立性,先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟 的概率,解一：,P(| X-Y| 5),=P( -5 X -Y 5),=1/6,=1/2,P(XY),解二：,P(X Y),=1/6,=1/2,被积函数为常数， 直接求面积,=P(X Y),P(| X-Y| 5),类似的问题如：,甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能

21、的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.,把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的概率.,例7 设随机变量X1和X2相互独立,且均服从标准正态分布N(0,1),求Y= X1+X2的概率密度函数.,解 由题意得,X1和X2相互独立,故,结论: 两个独立的正态分布的随机变量的和 仍服从正态分布.,X1+X2N(1+ 2,12+ 22),正态分布的可加性,.即:若X1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2独立,则,有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,推论: 有限个独

22、立的正态分布的线性函数 仍服从正态分布.,即:若XiN(i,i2), (i=1,2,.n), X1,X2, .Xn相互 独立,实数a1,a2,.,an不全为零,则,特别, 若X1,X2, .Xn独立同正态分布N(,2) ,则,记:,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,求M=max(X,Y) 及N=min(X,Y)的分布函数.,设X，Y是两个相互独立的随机变量，,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，,故有,P(Mz)=P(Xz,Yz),又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),即有 FM(z)= FX(z)FY(z),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,下面进行推广,即有 F