第四章 材料科学研究中的数值分析方法

1、.,第四章 材料科学研究中的数值分析方法,.,在科学技术和工程领域，对于许多力学问题和物理问题人们已经得到了它们应遵循的基本方程（微分方程）和相应的定解条件。但只有少数性质比较简单、边界比较规整的问题能够通过精确的数学计算得出其解析解，而大多数问题则很难得到解析解。 解决这类问题通常有两种途径： 对方程和边界条件进行简化从而得到问题在简化情况下的解答，过多的简化会引起误差甚至得到错误的结论。 采用数值解法 常用的数值分析方法大致可分为两大类：有限差分法和有限元法。,.,第一节 有限差分法,.,一、概述,有限差分方法就是以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的

2、过程，从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。 主要步骤 构成差分格式 求解差分方程 对所得到的数值解进行精度与收敛性分析和检验,.,二、差分方程的建立,导出差分方程的途径 从微分方程出发，以泰勒级数截断，从有限差分的数学含义去建立有限差分和差分方程； 从由网格所划分的单元体的能量平衡分析出发，由积分方程去建立差分方程，又称单元体平衡法。 在建立差分方程前，均需对所论区域进行离散化。 合理选择网格布局及步长 将微分方程转化为差分方程,.,1、合理选择网格布局及步长,将自变量x、y分别沿轴向连续变化，形成离散化网格 离散化网格的布局，要根据所要求的问题的性质及求解要求确定。

3、 网格焦点称为结点（node） 离散点之间的距离，或离散化单元的长度称为步长，步长的大小可以是常量也可以是变量,.,网格划分原则,对于均质、形状简单规则、物理量变化不剧烈的物体，或求解精度要求不高时，可采用等步长、大步长，即采用粗匀网格 对于形状复杂、组分不同、物理量变化剧烈的物体，或求解精度要求较高时，则采用小步长、变步长,.,2、将微分方程转化为差分方程,差分：就是某物理量的有限增量。 向前差分 向后差分 中心差分 差商：为函数的差分与自变量差分之比,.,三、差分方程的解法,直接法精度高、重复工作量小，但计算程序复杂，对计算机资源占用较多，适用于求解较复杂、结束较低的方程组 间接法即迭代法

4、，优点是计算程序简单，占用内存小，但重复工作量较大，计算精度取决于迭代次数对于大多数二阶差分格式收敛较快，误差不一定比直接法大。,.,解方程组,线性方程组求解是工程计算中碰到的最普通的代数题之一。其一般形式是： 方程若有唯一解，则其充分条件是其系数矩阵的行列式不等于零。解方程组的方法可分为直接法和迭代法两大类型。,.,1). 高斯消元法-直接法,使方程组中的一个方程式只含有一个未知数，后面依次每一个方程式也只含有一个新增加的未知数。 如果手算，虽然对一些方程组凭技巧可简捷些，但对大多数方程组来说是困难的，而用计算机就可建立一套系统的解题方法。高斯消元法就是这样的一种方法。,.,高斯消元法步骤,

5、1）由a11除第一个方程式的每一个系数(方程1/ a11)，使方程1标准化。 2）再把这第1个方程(方程1/a11)分别乘以其它每一个方程的最前项系数ai1，并与该方程逐个相减； (方程1/a11 ai1方程i)，其结果是除第一个方程以外，所有其它方程的第1个变量均被消去。 3）接着用余下的方程并采取同上的步骤，消去方程中第2个变量（除第一外）。以上步骤重复n-1次，得到以下形式的方程组。,.,该方程组和以前的方程组是等价的。在消去过程的第k步中，第k个方程新的标准化系数是：,.,而此方程式以后的各个方程中的新系数是： bij=aij-aikbkj ik 在完成这一过程中，必须记住：每一步的计

6、算都使得各方程的系数aij发生变化。因此，每一步所得系数bij成为用于下一步的系数aij。,.,.,解联立线性方程组的迭代法是基于将方程写成如下形式。其中n个变量中的每一个分别单独位于方程式的左边，其形式如下：,2). 高斯塞德尔迭代法,.,下面举例题来说明： 例：用高斯塞德尔迭代法解方程组,（a）,(b),.,可用方程组（b）作为计算方程组（a）的迭代公式，赋x2和x3以任意的初值，并由方程组（b）的第1方程求出x1 ，将这个x1值和x3的初始值一起代入第2方程，求得新的x2 。同样，用新的x1, x2 代入第3方程。又可求出x3的新值。 这样迭代重复进行几次。当两次连续的迭代中，若每一变量

7、相邻的两个数值之差的绝对值小于指定的允许范围，就可以认为这个方程收敛。,.,令x2和x3的初始值0，应用方程（b）进行迭代得到方程组的近似解的序列为：,.,显然，经5次迭代后得出方程准确解为x1=2, x2 =1, x3=1。 下面是高斯赛德尔算法框图，其中m为最大选代次数，q是判定收敛的检验值。 高斯赛德尔迭代法也存在收敛问题。因此使用它是受一定限制的。即使如此，我们还认为它是有相当大的实际用途。迭代法还往往用来解非线性方程组的数值解。如在设计热处理箱式炉的炉墙时，多层炉墙传热的热平衡方程式就是一个非线性方程组。用迭代法来解，只需进行4至5次迭代，就可得到相当精确的值。,.,m,i-方程个数

8、； j-未知数个数； n-迭代次数; m-最大迭代次数.,.,四、计算误差分析,将离散化的i+1，i-1结点的函数值ui+1,ui-1分别按talor级数展开,各级talor级数截断产生的误差成为截断误差,一阶,二阶,.,五、有限差分法解题示例,.,采用正方形网格剖分，内结点按如图。设内结点总数为n，对于每一个(xi,yj) d0利用数值微分公式,.,.,.,.,第二节 有限元法,有限元法（又称为有限单元法、有限元素法）是20世纪50年代初才出现的一种新的数值分析方法，最初它只应用于力学领域中，20世纪70年以来被应用到传热学计算中，有限元法的准确性和稳定性都比较好，且由于其单元的灵活性，使它

9、更适应于数值求解非线性热传导问题以及具有不规则几何形状与边界特别是要求同时得到热应力场的各种复杂导热问题。 有限元法在传热学中的应用正处于开拓与发展阶段。迄今为止，其应用已波及热传导、对流传热及换热器设计与计算。,.,有限元程序的结构和特点,有限元法的实现必须通过计算机，全部有限元法的计算原理和数值方法集中反映在有限元法的程序中，因此有限元法的程序极为重要。它应具有分析准确可靠计算效率高、使用方便、易于扩充和修改等特点。 有限元法程序总体可分为三个组成部分 前处理部分、有限元分析本体程序、后处理部分。 有限元分析本体程序是有限元分析程序的核心，它根据离散模型的数据文件进行有限元分折。,.,有限

10、元法,有限元分析的原理和采用的数值方法集中于此，因此它是有限元分析准确可靠的关键。选用计算方法的合理与否决定了有限元分析程序的计算效率和结果的精度及可靠性。 离散模型的数据文件主要应包括： 离散模型的结点数及结点坐标 单元数及单元结点编码 载荷信息 对于一个实际的工程问题，离散模型的数据文件十分庞大，靠人工处理和生成一般是不可能的。 不可避免地出现数据错误，包括数据精度的不足。 前处理程序是根据使用者提供的对计算模型外形及网格要求的简单数据描述，自动或半自动地生成离散模型的数据文件，并要生成网格图供使用者检查和修改。,.,有限元法,有限元分析程序的计算结果也是针对离散模型得到的。 例如对静力平

11、衡问题可以得到离散模型各结点的位移、各单元的应力等。输出的文本文件量很大，但却不易得到所分析对象的全貌，例如位移哪里最大、应力集中发生在什么部位以及变化趋势如何。 因此一个使用方便的有限元分析程序不仅要有可供选择输出内容的文本文件，还需有结果的图形显示，如位移图、等应力线图或截面应力分布图等。 这部分程序称后处理程序，与前处理程序相似，对程序使用的方便性有举足轻重的作用。,.,有限元法,有限元分析程序的三个组成部分对于一个较好的用于实际问题分析的有限元程序来说，前后处理的程序量常常超出有限元分析的本体程序。 前后处理功能越强，程序的使用就越方便。 有限无分析程序中前后处理程序一般可占全部程序条

12、数的2/34/5。 有的近期发展的通用程序更注重程序的“包装”和使用功能，有限元分析本体程序以外部分的比例更高。,.,有限元软件简介,sap（sturctural analysis program）美国加州大学伯克利分校的线性静、动力学结构分析程序 nastran（nasa structural analysis）美国国家航空和宇航局（nasa）的结构分析程序。 adina（a finite element program for automatic dynamic incremental nonlinear analysis）美国麻省理工学院机械工程系的自动动力增量非线性分析有限元程序。 a

13、nsys （analysis system）世界著名的大型通用有限元分析软件 ideas （intergrate design engineering analysis system）美国sdrc公司的机械通用软件，集成化设计工程分析系统。集设计、分析、数控加工、塑料模具设计和测试数据为一体的工作站用软件。 algor美国algor公司在sap5和adina有限元分析程序的基础上针对微机平台开发的通用有限元分析系统。,.,ansys简介,1、ansys程序自身有着较为强大三维建模能力，仅靠ansys的gui(图形界面)就可建立各种复杂的几何模型；此外，ansys还提供较为灵活的图形接口及数据接

14、口。因而，利用这些功能，可以实现不同分析软件之间的模型转换。“上海二十一世纪中心大厦”整体分析曾经由日本某公司采用美国etabs软件计算，利用他们已经建好的模型，读入ansys并运行之，可得到计算结果，从而节省较多的工作量。,.,2、ansys功能,（1）结构分析 （2）ansys热分析 （3）ansys电磁分析 （4）ansys流体分析 （5）ansys耦合场分析,.,（1）结构分析,静力分析 - 用于静态载荷. 可以考虑结构的线性及非线性行为，例如: 大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等. 模态分析 - 计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析 是模态分析的扩展，用于计算由于随

15、机振动引起的结构应力和应变 (也叫作 响应谱或 psd). 谐响应分析 - 确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应. 瞬态动力学分析 - 确定结构对随时间任意变化的载荷的响应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 特征屈曲分析 - 用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状. (结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分析.) 专项分析: 断裂分析, 复合材料分析，疲劳分析用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.它的显式方程求解冲击、碰撞、快速成型等问题，是目前求解这类问题最有效的方法.,.,（2）ansys热分析,热分析之后往往进行结构分析,计算由于热膨胀或收缩

16、不均匀引起的应力. ansys功能: 相变 (熔化及凝固), 内热源 (例如电阻发热等) 三种热传递方式 (热传导、热对流、热辐射),.,（3）ansys电磁分析,磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、磁力、磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等. 静磁场分析 - 计算直流电（dc)或永磁体产生的磁场. 交变磁场分析 - 计算由于交流电(ac)产生的磁场. 瞬态磁场分析- 计算随时间随机变化的电流或外界引起的磁场 电场分析 用于计算电阻或电容系统的电场. 典型的物理量有电流密度、电荷密度、电场及电阻热等。 高频电磁场分析 用于微波及rf无源组件，波导、雷达系统、同轴连接器等分析。,.,（4）ansys流体分析,流体分析 用于确定流体的流动及热行为. 流体分析分以下几类：cfd - ansys/flotran 提供强大的计算流体动力学分析功能，包括不可压缩或可压缩流体、层流及湍流，以及多组份流等。 声学分析 - 考虑流体介质与周围固体的相互作用, 进行声波传递或水下结构的动力学分析等。 容器内流体 分析 - 考虑容器内的非流动流体的影响. 可以确定由于晃动引起的静水压力. 流体动力学耦合分析 - 在考虑流体约束质量的动力响应基础上，在结构动力学分析中使用流体耦合单元。,.,（5）ansys耦合场分析,耦合场分析 考虑两个或多个物理场之间的相互作用。如