弹性力学-第七章 平面问题的直角坐标解答.ppt

1、第七章 平面问题的直角坐标解答,弹性力学 主讲 邹祖军 第七章 平面问题的直角坐标解答,7-1 平面应变问题,7-2 平面应力问题,7-3 平面问题及体积力为常量时的特性,7-4 应力函数,7-5 平面应力问题的近似性质,7-6 自由端受集中力作用的悬壁梁,7-7 受均布荷载作用的简支梁,7-8 三角形水坝,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-1 平面应变问题,7-1 平面应变问题,A. 几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。柱体所占空间V, 近似认为无限长,B. 外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长

2、度 z 方向不变化。,在oxy平面内构成平衡力系,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-1 平面应变问题,C. 变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x，y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,(7.1),满足条件(7.1)及以上特征的弹性力学问题称为平面应变问题,(3.13),将(7.1)代入几何方程(3.13),(7.2),(a),在平面应变问题中，独立的应变分量只有三个,在平面应变问题中，独立的应变分量只有三个,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-1 平面应变问题,(5.26b),(7.3),因 由胡

3、克定律,(b),六个应力分量中独立的也只有三个,(7.4),(7.5),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-1 平面应变问题,应力分量只是x,y的函数,且Z方向体积力为0,则平衡方程变为,(7.6),和 是x,y的函数,应变协调方程(3.34c)中五个自动满足,剩下一个为,(7.7),将物理方程(7.4)代入上式得,(3.34c),(c),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-1 平面应变问题,(7.6),对平衡方程(7.6)中的两式分别相对于x和y求导,相加得,(d),利用式(d)消去式(c)中的剪应力得,(7.8),(e),式(7.8)是应力表示的协调方程,边界条件为,(7.9),式中 是二

4、维Laplace算子,平面应变问题:二个位移分量,三个应变分量和三个应力分量.满足几何方程(7.2),本构关系(7.4)和平衡方程(7.6)共八个方程及边界条件(7.9),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-1 平面应变问题,三种可以按平面应变问题求解的情况,第一种:在z=0和z=L的两端有边界条件,(7.10),以上条件平面应变问题是精确满足的.如图7.1a,第二种:柱体很长.除两端外,w=0,侧面上z向外力也为零.也可按平面应变问题求解,如图7.1b,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-1 平面应变问题,第三种:柱体很长.高应力区远小于低应力区,且低应力区的应力近似为零.除两端外,也可按平

5、面应变问题求解,如图7.1c,7-2 平面应力问题,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-2 平面应力问题,A. 几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。, 平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,B. 受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-2 平面应力问题,C. 应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,应变分量、

6、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,(7.11),(7.12),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-2 平面应力问题,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-2 平面应力问题,(5.26b),独立的应变分量也只有三个.平面应力问题的胡克定律为,因 ,由(5.26b)左边前两式相加得,(a),由(5.26b)第三式得,(7.13),由,得,(b),(7.14),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-2 平面应力问题,平面应力问题:二个位移分量,三个应变分量和三个应力分量.满足几何方

7、程(7.2),本构关系(7.14)和平衡方程(7.6)共八个方程及边界条件(7.9),Z方向的位移,(c),不考虑刚体位移,(7.15),必须满足协调方程(3.34c).有三个自动满足,剩下三个,(d),其中A,B,C是常数,(7.16a),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-2 平面应力问题,若解 是x,y的线性函数,则平面应力问题的解是精确解,对于h很小的薄板,z方向对应力的影响很小,即使(7.16)不满足,仍可近似按平面应力问题求解.,(7.16b),同样可得平面应力问题的应力协调方程为,(7.17),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-3 平面问题及体积力为常量时的特性,7-3 平面问

8、题及体积力为常量时的特性,平面应力问题,平面应变问题,基本方程中,平面应力问题和平面应变问题在数学上完全相同,统称为 弹性力学平面问题,当体力为常量时，应力协调方程（7.8）和（7.17）简化为,(7.18),上式及平衡方程、应力边界条件也与弹性常数无关。,重要结论：对单连通的应力边值问题，如果物体的几何形状及 外力相同，则不管什么材料和什么平面问题，物体内的应力分量 的大小及分布都相同。,但位移、应变及 不一定相同。这个结论对做试验相同重要,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-3 平面问题及体积力为常量时的特性,(c),在S上,在A中,(a),在常体积力下，对单连通的应力边值问题，可用等效面

9、力来替换 体积力。,则基本方程为,(b),先求(b)、(c)的解 ,再由(a)求出,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-4 应力函数,7-4 应力函数,以应力为未知量求解下面的的平衡方程和应力协调方程,(b),(a),平面应力,平面应变,并使 满足边界条件,对多连通还应满足位移单值条件,设体积力为有势力.则,(7.19),则平衡方程和协调方程为,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-4 应力函数,(c),(d),平面应力,平面应变,(c)的第一式可写为,是全微分,则必存在P,(e),同理由(c)的第二式,必存在Q,(f),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-4 应力函数,(g),将(g)代回(e

10、)和(f)则:,(7.20),(7.20)式是平衡方程(c)的通解,函数 被称为Airy应力函数,则必存在函数,将(7.20)代入应力协调方程得应力函数协调方程,平面应力,平面应变,(7.21),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-4 应力函数,将(7.20)代入应力边界条件(7.9)得,(7.22),当体积力为常数时,应力即可用(7.20)表示,也可用下式表示,(7.23),(7.24),(7.25),满足上式的 是双调和函数,当 是调和函数时,则(7.21)为,平面问题的应力边值问题为在边界条件(7.22)下求解(7.21),（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假

11、设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（7.25）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。, 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,半逆解法,位移分量求解：,（1）,将已求得的应力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量,表达式；,由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-4 应力函数,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-5 平面应力问题的近似特性,7-5 平面应力问题的近似特性,第七章 平面问题的直角坐标

12、解答 7-5 平面应力问题的近似特性,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-5 平面应力问题的近似特性,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-5 平面应力问题的近似特性,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-5 平面应力问题的近似特性,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-5 平面应力问题的近似特性,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-5 平面应力问题的近似特性,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-5 平面应力问题的近似特性,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-6 自由端受集中力作用的悬臂梁,7-6 自由端受集中力作用的悬臂梁,如图7.2的悬臂梁,属平面应力问题,以应力为未知量,假定不计体力,按半逆解

13、法求解,由上下边界上的 假定整个梁中 .由平衡方程(7.6)得,(7.6),积分,(e),积分,(f),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-6 自由端受集中力作用的悬臂梁,将 代入应力协调方程(7.18),(7.18),上式对任意x成立,必有,积分,(g),由边界条件,(7.9),对上下边界有,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-6 自由端受集中力作用的悬臂梁,对左边界有,(h),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-6 自由端受集中力作用的悬臂梁,由上式第一式得,(j),由圣维南原理,(d),(i),将求出的常数代入(g)得,(7.31),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-6 自由端受集中力

14、作用的悬臂梁,位移的求法:将应力分量(7.31)代入平面应力本构关系(7.14)得应变分量,再将应变分量代入几何方程(7.2).有,是梁截面的惯性矩,(7.31)与材力相同,积分,(k),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-6 自由端受集中力作用的悬臂梁,要使上式恒成立,必有,(l),a是待定常数,积分上式,得,b,c是待定常数,将上式代入(k),得,(m),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-6 自由端受集中力作用的悬臂梁,利用固定端位移条件,在(l,0)处,式(m)代入上式得,最后位移为,(7.32),y=0,得梁的挠度方程(与材力一致),7-7受均布载荷作用的简支梁,要点, 用半逆解法求

15、解梁、长板类平面问题。,1. 应力函数的确定,(1),分析：, 主要由弯矩引起；, 主要由剪力引起；,由 q 引起（挤压应力）。,又 q =常数，图示坐标系和几何对称，不随 x 变化。,推得：,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,(a),(b), 任意的待定函数,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,(3),由 确定：,代入相容方程：,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,方程的特点：,关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。,由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：,对前两个方程积

16、分：,(c),此处略去了f1(y)中的常数项,对第三个方程得：,积分得：,(d),第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,(d),将(c) (d) 代入 (b) ，有,(e),此处略去了f2(y)中的一次项和常数项,式中含有9个待定常数。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,(e),2. 应力分量的确定,(f),(g),(h),3. 对称条件与边界条件的应用,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,（1）对称条件的应用：,由 q 对称、几何对称：, x 的偶函数, x 的奇函数,由此得：,要使上式对任意的 y 成立，须有：,

17、第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,（2）边界条件的应用：,(a) 上下边界（主要边界）：,由此解得：,代入应力公式,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,( i ),( j ),( k ),(b) 左右边界（次要边界）：,（由于对称，只考虑右边界即可。）, 难以满足，需借助于圣维南原理。,静力等效条件：,轴力 N = 0；,弯矩 M = 0；,剪力 Q = ql；,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,可见，这一条件自动满足。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,(p),截面上的应力分布：,4

18、. 与材料力学结果比较,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,(7.33),4. 与材料力学结果比较,材力中几个参数：,截面宽：b=1 ,截面惯矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将其代入式 ( p ) ，有,（7.33a）,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,比较，得：,（1）,第一项与材力结果相同，为主要项。,第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正。,（2）,为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。,（3）,与材力中相同。,注意：,按式（7.33a），梁的左右边界存在水平面力：,说明式（7.33a）在两

19、端不适用。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,解题步骤小结：,（1）,（2）,（3）,根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式。,由 与应力函数 的关系式（7.25），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。,（4）,（5）,将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中的待定函数形式。,由 与应力函数 的关系式（7.25），求得应力分量 。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,应力

20、函数法求解平面问题的基本步骤：,求解方法：,逆解法,假设各种满足相容方程（7.23）的(x,y) 的形式；,（2）,然后利用应力分量计算式（7.25），求出 （具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件式（7.22），来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁, 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（7.25）计算出 并让其满足边界条

21、件和位移单值条件。,半逆解法,位移分量求解：,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,附：,应力函数确定的“材料力学方法”,要点：,利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。,适用性：,直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。,应力函数常可表示为：,设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其代入 确定另外一个函数。,材力中，应力分量与梁内力的关系为：,式中：,M(x) 弯矩方程；,Q(x) 剪力方程。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ，,同时，横向分布力

22、q(x)的挤压作用时，对轴向应力 也产生影响。,应力分量与梁内力的关系可表示为：,然后由：,确定应力函数 的具体形式。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,例：,悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：应力函数 及梁内应力。,解：,(1) 应力函数的确定,取任意截面，其内力如图：,取 作为分析对象，可假设：,（a）, f(y)为待定函数,由 与应力函数 的关系，有：,（b）,对 x 积分一次，有：,对 y 再积分一次，有：,其中：,（c）,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,（c）,由 确定待定函数：,（d）,要使上式对任意的x，y成立，有,（e）

23、,（f）,由式（ e）求得,（g）,由式（ f）得,（h）,（i）,积分式（ h）和（i）得,（j）,（k）,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,( l ),包含9个待定常数，由边界条件确定。,(2) 应力分量的确定,( m ),(3) 利用边界条件确定常数,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,( o ),代入可确定常数为：,代入式（m）得,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,注：,也可利用 M（x）= 0，考虑,进行分析。此时有：,为待定函数，由相容方程确定。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的

24、简支梁,剪力：,可假设剪应力：,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-7受均布荷载作用的简支梁,7-8 三角形水坝,要点,半逆解法（因次或量纲分析法）,问题的提法：,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水压作用：,（水的容重）；,自重作用：,（楔形体的容重）；,求：楔形体应力分布规律 。,1. 应力函数及应力分量,(1) 分析：,(a), 的量纲为：,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为 x、y 的三次函数。,应力函数可假设为：,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-8 三角形水坝,(2) 应力分量,考虑到：fx= 0，fy = （常体力）,(a),显然，上述应力函数满足相容方程。,2. 边界条件的

25、利用,(1) x=0 （应力边界）：,代入式（a），则应力分量为：,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-8 三角形水坝,(b),(2) （应力边界）：,其中：,将(b)代入，有,代入，可求得：,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-8 三角形水坝,代入式（b），有：,(7.34), 李维（Levy）解答,沿水平方向的应力分布,与材力结果比较：, 沿水平方向不变，在材力中无法求得。, 沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。, 沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-8 三角形水坝,结果的适用性：,（1）,当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，

26、其结果误差较大。,（2）,假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。,（3）,实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。, 三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。,工程应用：, 求使坝稳定时的角度 ，称为安息角。,沿水平方向的应力分布,第七章 平面问题的直角坐标解答 7-8 三角形水坝,平面问题的直角坐标解答,一、多项式解答,逆解法,二、梁、长板类弹性体应力函数方法,第七章 平面问题的直角坐标解答,三、三角形板、楔形体的求解方法,因次分析法（量纲分析法）：,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水压作用：,（水的溶重

27、）；,自重作用：,（楔形体的溶重）；,分析思路：,(a), 的量纲为：,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为 x、y 的三次函数。,应力函数可假设为：,第七章 平面问题的直角坐标解答,例一：,图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k、q为常数。,解：,(1),应力分量：,边界条件：,显然，上下边界无面力作用。,上下边界,(2),第七章 平面问题的直角坐标解答,左边界,右边界,结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。,第七章 平面问题的直角坐标解答,例二：,图示矩形截面简支梁，长为 l ，高为 h ，受有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其

28、应力分布。,解：,（1）应力函数形式的确定,梁截面上弯矩和剪力为：,由材料力学方法可确定应力分量的分离变量形式：,取应力分量 分析，,取应力分量 与应力函数的关系：,对此式积分：,第七章 平面问题的直角坐标解答,为待定函数,（2）由相容方程确定待定函数,代入,第七章 平面问题的直角坐标解答,要使上述方程对任意的 x 成立，有,(a),(b),(c),积分式（a），得,将上式代入（b）积分，得,积分式（c），得,(d),(e),(f),将求得的,代入应力函数，有,第七章 平面问题的直角坐标解答,（3）计算应力分量,(g),(h),第七章 平面问题的直角坐标解答,（3）利用边界条件确定待定常数,上

29、边界：,(i),(j),(k),第七章 平面问题的直角坐标解答,下边界：,(l),(m),(n),第七章 平面问题的直角坐标解答,左边界：,右边界：,(o),(p),(q),(r),(s),(t),联立求解式（i）（t）,可得具体的应力分量。,注：位移边界条件转化为应力边界条件。,第七章 平面问题的直角坐标解答,弹性力学平面问题的基本理论小结,一、两类平面问题及其特征,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不变化。,z 方向的尺寸远小于板面内的尺寸（等厚度薄平板）,z 方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）,第七章

30、 平面问题的直角坐标解答,二、平面问题的基本方程,（1）平衡微分方程,（7.6）,（假定：小变形、连续性、均匀性）,（2）几何方程,（7.2）,（假定：小变形、连续性、均匀性）,（3）物理方程,(7.14),（平面应力）,(7.4),（平面应变）,（假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）,第七章 平面问题的直角坐标解答,三、平面问题的基本求解方法及基本方程,思路：,（1）按位移求解,以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程：,（6.9）,位移表示的平衡方程,（6.10）,（6.4）,位移表示的应力边界条件,位移边界条件,第七章 平面问题的直角坐标解答,（2）按应力求解,思路：,以应力 为基本未