高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化课后练课后习题新人教A版选修4

1、名校名 推荐四 渐开线与摆线 课时作业 a 组基础巩固 1半径为3 的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()a b 2c 12d 14解析：当 t 0 时， x 0 且 y 0. 即点 (0,0) 在曲线上答案： cx 3 3sin ，( 为参数 ) ，则该摆线一2已知一个圆的摆线的参数方程是y 3 3cos 个拱的高度是 ()a 3b 6c 9d 12解析：由圆的摆线的参数方程x3 sin( 为参数 ) 知圆的半径r 3，所以摆线一个拱的高度是y3cos32 6.答案： b3圆x 10cos ，( 为参数 ) 的渐开线方程是 ()y 10sinx 5cos 5 sin ，a. 5

2、 cos( 为参数 )y 5sinx 5cos 5 sin ，b. 5 cos ( 为参数 )y 5sinx 10cos 10 sin ，c. 10 cos( 为参数 )y10sinx 10cos 10 sin ，d.( 为参数 )y10sin 10 cos 解 析 ： 由 圆 的 参 数 方 程 知 圆 的 半 径 为 10 ， 故 其 渐 开 线 方 程 为x 10cos 10 sin，( 为参数 ) y 10sin 10 cos答案： c4有一个半径为8 的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点与圆盘中心的距离为m1名校名 推荐3，则点 m的轨迹方程是 ()x 8 sin x8 3sin

3、，a.cosb.y 8y 8 3cos x 3 sin x3 8sin ，c.cosd.y 3y 3 8cos 解析：易知点m的轨迹是摆线，圆的半径为3. 故选 c.答案： c5当 2 时，圆的渐开线x6 sin( 为参数 ) 上的点是y6sin cos()a (6,0)b (6,6 )c (6 ， 12 )d ( ， 12)解析：当 2 时，x6cos 2 2 sin 26，故选 c.y6sin 2 2 cos 2 12 .答案： c6半径为 5 的圆的摆线的参数方程为 _解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为x 5 sin( y 5cos为参数 ) 答案：x 5 sin ( 为参

4、数 )y 5cos7已知圆的渐开线的参数方程是x cos sin，( 为参数 ) ，则此渐开y sin cos 线对应的基圆的直径是_，当参数 4时对应的曲线上的点的坐标为_解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.222求当 4 时对应的坐标只需把 4 代入曲线的参数方程， 得 x 28，y 222222.8 ，由此可得对应的点的坐标为2 8， 2 8答案： 222，2282822名校名 推荐8给出直径为8 的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程解析： 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系又圆的直径为 8，

5、所以半径为 4，从而圆的渐开线的参数方程是x4cos 4 sin ，y4sin 4 cos ( 为参数 ) 以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，x 4 4sin ，所以摆线的参数方程为( 为参数 ) y 4 4cos 9求摆线x2 t sinty 2cos(0 t 2 ) 与直线 y2 的交点的直角坐标t3解析：当 y 2 时，有 2(1 cos t ) 2， t 2或 t 2 .当 t 2 时， x 2；3当 t 2 时， x 3 2.摆线与直线 y 2 的交点为 ( 2,2) ， (3 2,2) b组能力提升 x 5t t sint1 t 时，圆的渐开线t

6、 t cos上的点的坐标为 ()y5 sinta ( 5,5 )b ( 5， 5)c (5,5 )d (5 ， 5 )解析：将 t 代入参数方程易得x 5， y 5 . 故选 a.答案： ax 2 sin( 为参数 ) ，该摆线一个拱的宽2已知摆线的参数方程为cosy 2度与高度分别是 ()a 2， 2b 2， 4c 4， 2d 4， 4解析：方法一由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r 2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2 r 4 ，摆线的拱高等于圆的直径为4.方法二 由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x 轴两个相邻交点的距离， 令 y 0，即 1cos 0，解得 2

7、k ( k z) ，不妨分别取 k0,1 ，得 0， 2 ，代入参数12方程，得 x10， x2 4，所以摆线与x 轴两个相邻交点的距离为4 ，即摆线一个拱的宽3名校名 推荐度等于 4；又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取( x1, 0) ， ( x2, 0) 的中点，此时 1 2| y| 2(1 cos ) 4. ，所以摆线一个拱的高度为2答案： d3渐开线x 6 sin( 为参数 ) 的基圆的圆心在原点，把基圆y 6 sin cos 的横坐标伸长为原来的2 倍得到的曲线的两焦点间的距离为_解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则其圆的方程为 x2 y2 36，把横坐标伸长为原来的

8、 2 倍，得到的椭圆方程x22x2y23， 0) y 36，即1，对应的焦点坐标为 (6414436和( 6 3， 0)，它们之间的距离为123.答案： 1234已知圆的渐开线的参数方程是x 8cos 8 sin ，y 8sin 8 cos( 为参数 ) ，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数 4 时对应的曲线上的点的坐标为_解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直线为 16，求当 4 时对应的坐标只需把 4 代入曲线的参数方程， 得 x 42 2， y 4 22 ，由此可得对应的坐标为(4 2 2 ， 4 2 2 ) 答案： 16(4 2 2 ，

9、42 2 )5已知一个圆的平摆线过一定点(4,0) ，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程解析：令 y 0 得 r (1 cos ) 0，即得 cos 1，所以 2k ( k z) 2则 xr (2 k sin 2 k) 4，即得 r k( k z) 又 r 0，易知，当 k 1 时， r2取最大值为 .2圆的渐开线的参数方程是：x siny 2 cos ( 为参数 ) 4名校名 推荐x 1 6cos ，6已知圆c 的参数方程是( 为参数 ) 和直线 l 对应的普通方程y 2 6sin是 x y 6 2 0.(1) 如果把圆心平移到原点 o，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2) 写出平移后圆的渐开线方程62解析：(1