几何与代数课件：lec22-相似矩阵

1、,几何与代数,2010年国家级精品课程,教学内容和学时分配,第五章 特征值与特征向量,1) 相似的矩阵 A,B 有什么性质 ?,3) 任何一个方阵都与对角阵相似吗 ?,若不是，如何判别一个方阵是否与对角阵相似?,思考题：,2) 相似关系下的不变量和最简形是什么 ?,计算A的特征值、特征向量、通项Fn，,问题式预习及思考题,求斐波那契数列的通项,二阶递推公式,因此,求斐波那契数列的通项,由,由,问题的提出：设 A 是n阶方阵 , 求Ak ?,分析：,(1) 若A是对角阵，则易求 Ak =k.,(2) 当方阵A可与对角阵相似时，即存在n阶可逆阵P, 使得 P1AP =(对角阵 )时, 易求方阵Ak

2、.,相似的应用：易求方阵Ak，从而易求 f(A),问题：1) 相似的矩阵 A,B 有什么性质 ?,2) 任何一个方阵都与对角阵相似吗 ?,3) 若不是，如何判别一个方阵是否与对角阵相似?,4) 是否有一类特殊的方阵必与对角阵相似?,5.2 相似矩阵,一. 矩阵的相似,设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P1AP=B, 则称矩阵A与B相似. 记为AB. P为相似变换矩阵.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,证明：,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,5.2 相似矩阵,一. 矩阵的相似,设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P1AP=B, 则称矩阵A与B

3、相似. 记为AB. P为相似变换矩阵.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,例1.,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,P(i,j)1 = P(i,j),(P(i(k)1 = P(i(1/k),P(i,j(k)1 = P(i,j(k),A,P(i,j),P(i,j),P(i(k),P(i(1/k),P(i,j(k),P(j,i(k),设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P1AP=B, 则称矩阵A与B相似. 记为AB. P为相似变换矩阵.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,注2: 反身性: AA; 对称性: AB BA; 传递性: AB, BC

4、 AC.,矩阵间的相似关系是一种等价关系,P1AP =B,PBP1 =A,相抵关系下的不变量：矩阵的秩,相似关系下的不变量：,矩阵的秩,5.2 相似矩阵,一. 矩阵的相似,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,性质2: 设AB, f 是一个多项式, 则f(A) f(B).,证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+a1x+a0, 则,P 1f(A)P,= anP1AnP+a1P1AP+a0 P1EP,= an(P1AP)n+a1P1AP+a0E,= P1( anAn+a1A+a0E )P,= anBn+a1B+a0E,= f(B).,P1AP =B,性质1: 若AB, 且A可

5、逆, 则 A1B1.,A =PBP1,A1 =PB1P1,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,定理5.2. 若n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式和特征值.,设P1AP = B, 则 |E B| = |E P1AP | = |P1|E A|P| = |E A|.,注: 特征多项式相同的矩阵未必相似.,例2.,它们的特征多项式都是(1)2.,但是若有P 1AP = B, 则A = PBP1 =E=B.,矛盾!,= |P1(E)P P1AP |,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,定理5.2. 若n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式和特征值.,注: 特征多项式相同的

6、矩阵未必相似.,例2.,它们的特征多项式都是(1)2.,但是若有P 1AP = B, 则A = PBP1 =E=B.,矛盾!,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,证法2：,若A,B相似,则 A E与B E相似.,r(AE)=1r(BE)=0,矛盾!,特征多项式相同是相似的必要而非充分的条件.,注3. 方阵A与B相似特征多项式和特征值相同, tr(A) = tr(B), |A| = |B|, r(A) = r(B),相似关系下的不变量为：,特征值, 迹, 行列式, 秩,相抵关系下的不变量为：,秩,相抵关系下的最简形为：,相抵标准形,相似关系下的最简形为？ ,都只是必要条件,5.2 相似矩

7、阵,第五章 特征值与特征向量,第五章 特征值与特征向量,5.2 相似矩阵,A =,= P 1AP (P 可逆),1 0 0 0 2 0 0 0 n,P = (p1, , pn)可逆, p1, , pn线性无关,P 1AP = AP = P, (Ap1, , Apn) = (1p1, , npn), A pi = i pi , i =1, , n,定理5.3. n阶方阵A与对角矩阵相似 A有n个线性无关的特征向量.,5.2 相似矩阵,二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件,注1： 若n阶方阵A有l (n)个线性无关的特征向量，则A不与对角矩阵相似.,(但是若有P 1AP = B, 则A = PBP1

8、 =E=B.,矛盾!),证3: 1=2 =1, n r = 1 2, A不与对角阵B相似.,第五章 特征值与特征向量,定理5.3. n阶方阵A与对角矩阵相似 A有n个线性无关的特征向量.,二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件,方阵A的相似对角化问题: 求可逆阵P, 使P 1AP=diag(1,n).,相似关系下的不变量：,相抵关系下的不变量：矩阵的秩,相抵关系下的最简形：相抵标准形,相似对角化下的最简形：,=diag(1,n),P =(p1,pn), pi为对应于i 的特征向量.,注2： 不是每个方阵都与对角矩阵相似.,特征值, 迹, 行列式, 秩,定理5.3. n阶方阵A与对角矩阵相似 A有n

9、个线性无关的特征向量.,P =(p1,pn), pi为对应于i 的特征向量.,注2： 不是每个方阵都与对角矩阵相似.,问题的提出：如何判断A是否有n个线性无关的特征向量？,方阵A的相似对角化问题: 求可逆阵P, 使P 1AP=diag(1,n).,定理5.3. n阶方阵A与对角矩阵相似 A有n个线性无关的特征向量.,注1： 若n阶方阵A有l (n)个线性无关的特征向量，则A不与对角矩阵相似.,1, 2 A的特征向量,1, 2 A的互异的特征值,结论:,条件:,1, 2线性无关,k11 + k22 = ,A(k11 + k22) = ,k1A1 + k2A2 = ,k121 + k222 = ,

10、k111 + k222 = , k1(12)1 = , k1(12) = 0, k1 = 0, k22 = , k2 = 0,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,问题的提出：如何判断A是否有n个线性无关的特征向量？,第五章 特征值与特征向量,5.2 相似矩阵,定理5.4.,1, 2, , s A的特征向量,1, 2, , s A的互异的特征值,1, 2, , s线性无关,1,1,2,2,第五章 特征值与特征向量,5.2 相似矩阵,1, 2, , s A的特征向量,1, 2, , s A的互异的特征值,定理5.4:,设k11 + k22 + + ks1s1 + kss = ,A(k11+

11、k22+ ks1s1+kss) = ,k1A1+k2A2+ks1As1+ksAs = ,k1s1+k2s2+ ks1ss1+ksss = ,k111+k222+ ks1s1s1+ksss = , k1(1s)1+k2(2s)2+ks1(s1s)s1=, k1(12) = k2(23) = = ks1(s1s) = 0, k1 = k2 = = ks1 = 0, kss = , ks = 0,证: s=2 ,设k = s1 时成立，下证k = s 时成立.,1, 2, , s线性无关,第五章 特征值与特征向量,5.2 相似矩阵,定理5.4.,1, 2, , s A的特征向量,1, 2, , s

12、A的互异的特征值,1, 2, , s线性无关,推论5.4. Ann有n个互异的特征值1, 2, , n,定理5.3. n阶方阵A与对角矩阵相似 A有n个线性无关的特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.2 相似矩阵,例3. 若A = 相似于对角阵, 求a,b,c,x,y,z.,a x y 0 b z 0 0 c,(aEA)x = 有3个线性无关的解,故3 r(aEA) = 3,即r(aEA) = 0,即 x = y = z = 0.,1. 当a,b,c互不相同时，A相似于对角阵,由A 相似于对角矩阵，可知,2. 当a=b=c时，, = a (3重特征根),定理. n阶方阵A与对角阵相似 A有

13、n个线性无关的特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.2 相似矩阵,2. 当a=b=c时，, = a (3重特征根),解2：,A 相似于对角阵,P 1AP =,于是 A = P(aE)P 1,a 0 0 0 a 0 0 0 a,= aE.,= aPP 1,= aE.,即 x = y = z = 0.,则存在3阶可逆阵P使得,例3. 若A = 相似于对角阵, 求a,b,c,x,y,z.,a x y 0 b z 0 0 c,1. 当a,b,c互不相同时，A相似于对角阵,定理. n阶方阵A与对角阵相似 A有n个线性无关的特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.2 相似矩阵,2. 当a=b=c时，

14、, = a (3重特征根),5. 当b=ca时，,x = y = z = 0.,例3. 若A = 相似于对角阵, 求a,b,c,x,y,z.,a x y 0 b z 0 0 c,1. 当a,b,c互不相同时，A相似于对角阵,定理. n阶方阵A与对角阵相似 A有n个线性无关的特征向量.,3. 当a=bc时，,4. 当a=cb时，,思考题,定理5.5.,1, 2, , s 互不相同,1,1,s l.i.,1, , r l.i.,2,1, , s, 1, , r线性无关,l.i.,l.i.,l.i.,线性 无关,Th5.4. A对应于不同特征值的特征向量线性无关.,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与

15、特征向量,1,1,s l.i.,1, , r l.i.,2,1, , s, 1, , r线性无关,Th5.4. A对应于不同特征值的特征向量线性无关.,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,证明: 设k11+kss+l11+ +lr r = (1), k1 = = ks = l1 = = lr = 0,+ = , 线性相关,若,则,分别为对应于的1,2特征向量.,此时, 线性无关.,矛盾.,所以=,=.,定理5.5.,1, 2, , s 互不相同,1,1,s l.i.,1, , r l.i.,2,1, , s, 1, , r线性无关,l.i.,l.i.,l.i.,线性 无关,Th5.4.

16、 A对应于不同特征值的特征向量线性无关.,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,解: |EA| = (+1)( 2)2. 所以A的特征值为1= 1, 2= 3= 2. (EA)x = 的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于1= 1的特征向量为k1p1 (k10). (2EA)x = 的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零).,例6. 求,的特征值和特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,二重,一重,一个,二个,解: |EA| = (2)(1

17、)2. 所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2, 求得(2EA)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于1=2的特征向量为k1p1 (k10). 对于2=3=1, 求得(EA)x = 0 的基础解系: p2=(1, 2,1)T. 对应于2=3 =1的特征向量为k2p2 (k20).,例7. 求,的特征值和特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,二重,一重,一个,一个,所以矩阵A 不能相似对角化，即不存在可逆阵P使得 P1AP = .,定理5.6 n阶方阵A与对角矩阵相似 A的每个ni重特征值i有ni个线性无关的特征向量, 即r(i

18、EA) = nni , i=1,t.其中n1+ n2+nt = n.,推论5.4. 若n阶方阵A有n个不同的特征值, 则A与对角矩阵相似.,定理5.4-5. A的属于不同特征值的线性无关的特征向量合在一起仍线性无关.,代数重数,几何重数,等于,i的 ，特征值i,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,定理5.3. n阶方阵A与对角矩阵相似 A有n个线性无关的特征向量.,求|EA| = 0的根,A可以相似对角化,r(iEA) = nni?,A不能相似对角化,注:特征向量要与特征 值的顺序相对应,相 似 对 角 化 问 题 解 题 步 骤,An与相似 i(ni重), 有r(iEA) = nni

19、,5.2 相似矩阵,第五章 特征值与特征向量,解: |EA| = (+1)( 2)2. 1= 1, 2=3= 2.,例8. 设, 求可逆阵P和对角阵, 使得 P1AP = .,(2EA)x=0 的基础解系: 1=(1,0,4)T, 2=(0,1,1)T. 当1= 1, (EA)x =0 的基础解系: 3=(1,0,1)T,当2= 3= 2,使得 P1AP = .,解:,例8续,求可逆阵P和对角阵, 使得 P1AP = . 并求出Ak .,使得 P1AP = ., Ak =(PP1)k =PkP1,P1AP = A =PP1,1) 相似的矩阵 A,B 有什么性质 ?,5.2 相似矩阵,相似是相抵

20、的特例: 相似必相抵,反之不然.,相似则特征多项式相同，但反之不然.,若A,B都可相似对角化，且特征多项式相同，则A,B相似吗？,对. A,B都与同一个对角阵相似,相似是一等价关系,不变量为特征值,迹,行列式,秩,相似对角化下的最简形为, = diag(1,2, ,n).,注：不变量都只是必要条件，而非充要条件.,AB, 则多项式f(x), f(A) f(B)., tr(f(A) = tr(f(B), |f(A)| = |f(B)|,r(f(A) = r(f(B),A,B相似 可逆阵P, s.t.P1AP =B.,5.2 相似矩阵,二. 方阵的相似对角化,一.相似矩阵的定义,相似是一等价关系,

21、不变量为特征值,迹,行列式,秩,相似对角化下的最简形为, = diag(1,2,n).,A A有n个线性无关的特征向量,A(复) r(iEA) = nni , 对任意特征值i,A有n个不同特征值 A.,P 1AP=diag(1,n),A属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关.,AB, 则多项式f(x), f(A) f(B).,可逆阵P, s.t.P1AP =B.,求斐波那契数列的通项,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ,一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数的式子表达，这是十分意外的结果。,斐波那契数列与黄金分割,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ,一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数的式子表达，这是十分意外的结果。,“黄金分割”比喻