数学物理方法课件：5_1 奇点零点_第1页
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文档简介

1、第五章 留 数,孤立奇点 零点与极点的关系 无穷远点领域的讨论 留数 在无穷远点处的留数 留数在定积分计算上的应用,留数是复变函数的重要内容，集中体现了复变函数微分学、积分学的主要理论； 奇点是留数的基础； 要求：理解奇点的概念；掌握奇点的分类,孤立奇点 零点与极点的关系 无穷远点领域的讨论,奇点分类：孤立和非孤立奇点,例1：讨论下列函数在0点及其附近的解析性以及奇点的类型。,奇点z=0是孤立奇点； 存在0，当0|z|时，函数解析,奇点z=0是非孤立奇点； 对任意的0，在0|z|圆环内，总存在奇点,孤立奇点的分类,将下列函数在环域0|z|内展开为罗朗级数,观察z的负幂项,孤立奇点的类型是通过罗

2、朗级数的负幂项来定义的！,思考：为什么采用这个分类标准？ 一个前提是，在孤立奇点的去心圆域，函数总可以展开为罗朗级数。,孤立奇点的分类,讨论：函数在三类孤立奇点处的极限分别取什么值？,结论：可去奇点（常数），极点（无穷大），本性奇点（无极限）,无穷远点,R可以任意大,无穷远孤立奇点的分类,注意：对于任意函数，无穷远点都被认为是奇点！,判断：无穷远点是否为孤立奇点？,无穷远孤立奇点的分类标准是函数在无穷远点的极限。,例：判断下列函数奇点（包括无穷远点）的类型： 孤立奇点（可去、极点、本性奇点），非孤立奇点,方法一：根据罗朗级数判断,方法二：根据极限判断,奇点,非孤立奇点,孤立奇点,可去奇点,极点,本性奇点,判断孤立奇点类型的方法,零 点,例：函数f(z)=z(z-1)3的零点有哪些？,例：函数f(z)=sin(z)+cos(z)的零点有哪些？并判断它们是几级零点。,零点和极点的关系,简而言之：f(z)的m级极点是1/f(z)的m级零点。,例：指出下列函数的极点，说明它们是几级的？,小结: 奇点的分类与判别,方法三：f(z)的m级极点是1/f(z)的m级零点。,方法一：根据罗朗级数判断,方法二：根据极限判断,奇点,非孤立奇点,孤立奇点,可去奇点,极点,本性奇点,孤立奇点,孤立奇点的分类方

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