11 5幂级数的应用

1、第五节的应用函数的幂级数展开式一、近似计算二、计算定积分三、微分方程的幂级数解法四、小结一、近似计算A = a1 + a2A a1 + a2+ L + an + L,+ L+ an ,Q= an+1+ an+2+ L.误差 rn两类问题:1. 给定项数,求近似值并估计精度;2. 给出精度,确定项数.关健:通过估计余项,确定精度或项数.常用方法:1. 若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;2. 若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.计算e的近似值,使其误差不超过10-5.例1Qex = 1 + x + 1 x2 + L+1 xn + L,解2!

2、n!得 e 1 + 1 + 1 + L +1 ,令 x = 1,2!n!余和:111(n + 1)!1n + 2r+ L=(1 + L)n(n + 1)!(n + 2)! 1(1 + 1+ 1+ L) = 1(n + 1)!n + 1(n + 1)2n n!1欲使 r 10-5 , 10-5 ,只要nn n!即n n! 105 ,而8 8!= 322560 105 ,e 1 + 1 + 1 + 1 + L + 1 2.718282!3!8!x 3利用sin x x -并估计误差.0计算sin 9 的近似值,例23! p- 1 ( pp20解sin 90 = sin)3 ,206201 ( p

3、)5= 1 1 1(0.2)5r 10-5 ,23750003000005!20120 0.156433sin 90 0.157079 - 0.000646其误差不超过10-5 .二、计算定积分2sin x例如函数e- x,1, 原函数不能用初等xln x函数表示,难以计算其定积分.解法定积分的近似值被积函数逐项积分展开成幂级数sin xx1,精确到10-4.例3dx 的近似值计算0Q sin x = 1 - 1 x2+ 1 x4 - 1 x6 + Lx (-,+)解xdx = 1 -3! 13 3!5!7! 1sin xx 11+-+ L收敛的交错级数5 5!7 7! 10-4 ,017 7

4、!1第四项3000取前三项作为积分的近似值,得sin xx 13 3! 15 5!1dx 1 -+ 0.94610三、微分方程的幂级数解法dy = x 2+ y2 ,例如dx解不能用初等函数或其积分式表达.寻求近似解法:幂级数解法;1、dy = f (x, y)特解求法dx求 dy =y问题f ( x, y) 满足 y的特解.x= x00dx其中 f ( x, y) = a00 + a10 ( x - x0 ) + a01 ( y - y0 )+ L + alm ( x - x0 ) ( y - y0 ).lm假设所求特解可展开为x - x0的幂级数,y = y+ a( x - x) + a(

5、 x - x+ L)201020其中a1 , a2 ,L, an ,L为待定的系数.求dy = x + y2 满足y |= 0的特解.例4x=0dxQ x0= 0y0= 0,解设 y = a x + a+ a+ L+ a+ L,x2x3xn123ny = a+ 2a+ L+ naxn-1 + L,x1 + 3ax2123n将 y, y 的幂级数展开式代入原 方程a+ 2ax + 3ax2x2+ 4ax3+ L1234= x + (a x + a+ ax3+ ax4+ L)21234= x + a2 x2 + 2a ax3+ (a2 + 2a a)x4 + L112213比较恒等式两端x的同次幂

6、的系数, 得a= 1 ,1, L,a= 0,a= 0,a= 0,a=12345220所求解为 y = 1 x 2 +1+ L.x5220无初始条件求解注:可设 y = C + an=1xn(C是任意常数)n2、二阶齐次线性方程幂级数求法如果方程y + P( x) y + Q( x) y = 0中的系数定理P( x)与Q( x)可在- R x R内展为x 的幂级数,那么在- R x R内原方程必有形如y = an=0xnn的解.设解为 y = a作法xn ,nn=0将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x - x0 的幂级数比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.求方程 y -

7、xy - y = 0的解.例5设方程的解为 y = a解xn ,nn=0则 y = nan=0xn-1 ,ny= n(n - 1)axn-2= (n + 2)(n + 1)axn ,nn+ 2n=1n=0将 y, y, y 代入 y - xy - y = 0,(n + 2)(n + 1)an=0xn- x nan=0xn-1-n=0= 0,axnn+2nn(n + 2)(n + 1)a- (n + 1)axn 0,n+ 2nn=0an=n = 0,1,2,La,n+ 2n + 2a0= a0= a0=a,a,a,2 kk! 2ka14282= a1= a1=a,a,a,2 k +1(2k +

8、1)!35315k = 1,2,3,L原方程的通解x2n+1x2nn=0n=0y = a+a(2n + 1)!(a0 , a1是任意常数)012n!n四、小结、近似计算,求不可积类函数的定积分，2、,求不可积类函数的定积分，3、微分方程的幂级数的解法思考题利用幂级数展开式, 求极限 lim x - arcsin x .sin3 xx0思考题解答1 32 4x3x512arcsin x = x + L,( x 1)351 33 - 3- 335sin3 x =-+ L,x3x5( x )4 3!5!将上两式代入 lim x - arcsin x ,sin3 xx01 32 4x3x512x - x + L35原式= lim1 33 - 3- 335x0x-+ L35x4 3!5!- 1 x3 + o( x3 )= - 1 .= lim 6+ o( x3 )x36x0练习题一、利 用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值: 1、ln 3 (精确到0.0001 )； 2、cos 2o (精确到0.0001 ).二、利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分arctan xx0.50.001dx (精确到)的近似值 .0三、将 函数e xx 的幂