可逆矩阵一课件

1、5.2 可逆矩阵,一、教学内容,1、可逆矩阵的定义,2、可逆矩阵的性质,3、矩阵可逆的条件(矩阵乘积的行列式),4、逆矩阵的求法(初等变换与初等矩阵),5、矩阵乘积的秩,二、教学目的,掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的条件及逆 矩阵的求法。,了解初等变换与初等矩阵。,三、重点难点,逆矩阵的求法。,那么，在解矩阵方程，AX=B时，是否也存在 一个矩阵，用这个矩阵同乘矩阵方程两端，就 得所求矩阵方程的解呢？,注意到对任意n阶矩阵A，都有IA=AI=A，这里 I是n阶单位矩阵，从乘法角度看，I类似于1在 数域F中的地位。,我们将这种思想应用到矩阵上,引入逆矩阵的 概念。,一、可逆矩阵的定义,1、定义1 对

2、于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵 B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵(或A可逆)， 而B称为A的逆矩阵。,例如对于n阶单位矩阵In，由于,对于n阶零矩阵0，因为对任何同阶方阵B， 都有B0=0B=0（B与0是同阶方阵），所以0 不是可逆矩阵。,问题：若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵是否唯一？,事实上，若B、C都是A的逆矩阵，则有：,AB=BA=I， AC=CA=I,从而 B=,我们把矩阵A的唯一的逆矩阵记作A-1。,BI=,B(AC)=,(BA)C=,IC=C。,2、说明(理解),(1)存在可逆矩阵；,(2)一个n阶矩阵未必可逆；,(3)若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一确定。,二、可逆

3、矩阵的性质,1、 可逆矩阵A的逆矩阵A-1也可逆，并且,这是因为由AA-1=A-1A=I，知A与A-1互为逆矩阵。,2、 两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且,这是因为,3、 可逆矩阵A的转置矩阵A也可逆，并且,这是因为由A可逆有,各端求转置可得,这表明,前面我们已经看到一些可逆矩阵和不可逆矩阵 的例子。我们想要知道：什么样的矩阵是可逆 矩阵？如果A可逆，怎样求A-1？,三、矩阵可逆的条件,1、 矩阵乘积的行列式,根据行列式依行展开，有,进一步有,事实上,一般地，利用数学归纳法可以证明：,(1)引理1,进一步，还可以证明：,(2)引理2,如前所述，对于n阶方阵,相应的行列式,称为方阵A的行

4、列式，记为,对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？,例如：,(3)定理1(P197定理5.2.5),设A、B是任意两个n阶方阵，那么这两个方阵 的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积，即,证明：设,则根据引理1可知2n阶行列式,现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，,再把行列式D的第n+2行乘以a12加到第一行，,继续下去可得,继续下去可进一步得,根据引理2可得,若n阶矩阵A可逆，则存在n阶矩阵B使得AB=BA=I， 从而AB=I ，即AB =1，所以 A0。,反之，若n阶矩阵A的行列式A0，A是

5、否 一定可逆呢？,回答是肯定的，为了证明这一点，需要引进一个 概念。,2、 伴随矩阵,(1)定义2 对于n阶矩阵,称为矩阵A的伴随矩阵，记为,解：因为,试问：例1中,利用行列式按一行(列)展开的定理可以得到:,(2)性质,由定义得，A是可逆矩阵，并且,3、 矩阵可逆的条件,综上可得如下定理：,定理2给出了判断一个矩阵是否可逆的一种 方法，并且也给出了求逆矩阵A-1的一种方法 伴随矩阵法。,于是得,检验：,小结,一、可逆矩阵的定义,定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵 B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵(或A可逆)， 而B称为A的逆矩阵。,(2)一个n阶矩阵未必可逆；,(3)若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一确定。,(1)存在可逆矩阵；,说明(理解),二、可逆矩阵的性质,1、 可逆矩阵A的逆矩阵A-1也可逆，并且,2、 两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且,3、 可逆矩阵A的转置矩阵A也可逆，并且,三、矩阵可逆的条件,1、 矩阵乘积的行列式,定理1(P197定理5.2.5),设A、B是任意两个n阶方阵，那么这两个方阵 的乘积的行列式等于它们