控制工程基础-第五章

1、2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,1,第五章 线性系统的根轨迹法 5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,2,本章重点,根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 根轨迹的基本绘制规则 等效传递函数的概念 根轨迹的简单应用,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,3,一、一个例子,5.1 根轨迹的基本概念,系统的闭环特征方程：,特征方程的根是：,设 的变化范围是0, ,解,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,4,当 时,当 时, 与

2、 为不相等的两个负实根；,当 时， 为等实根；,该系统特征方程的根，随开环系统参数k从0变到时，在S平面上变化的轨迹如图所示。,当 时， 共轭复根。,性能,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,5,二、根轨迹与系统性能,稳定性 当增益K1由0 ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益。,稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差

3、要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。,动态性能 当 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 当 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 当 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,6,设系统的开环传递函数为:,为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数),三、根轨迹的概念,其中:,可得到系统的闭环特征方程式为:,即：,2020/10/7,北京科技大学

4、自动化学院自动化系,7,根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系统某一参数由0变化到时在S平面上留下的轨迹。 由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为：,幅值条件:,相角条件:,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,8,我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程的根即闭环极点。,注：因为 变化，因此不论什么s值,总有一个 存在,使幅值条件得到满足,所以,实际上只要满足相角条件的s值就是闭环极点,而由此s值,再由幅值条件可确定此时系统对应的 值。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,9,规则一 根轨迹

5、的起点,此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点称为根轨迹的起点。,5.2 根轨迹的绘制规则,通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为普通根轨迹（或 180根轨迹），简称根轨迹。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,10,规则二 根轨迹的终点,由根轨迹的幅值条件可知：,结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点 。,当 时，必有 此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把开环零点称为根轨迹的终点。,如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n 条根轨迹起始于

6、S平面的无穷远处。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,11,规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性,根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点） 在s平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。,由例5-1 看出，系统开环根轨迹增益 （实变量）与复变量s有一一对应的关系。,当 由0到连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。,由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。,结论：根轨迹的分支数等于系统的

7、闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,12,规则四 实轴上的根轨迹,实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分别为：,则:,即右侧开环零,极点数的和为奇数时,该段为根轨迹。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,13,规则五 渐近线,当开环极点数 n大于开环零点数m时, 系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-m条, 且它们交于实轴上的一点。,渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为:,2020/10/7,北京科技大学自动化学

8、院自动化系,14,（1）根轨迹渐近线的倾角 根据幅角条件： 当 时，零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等 得到 所以渐近线的倾角： 因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,15,（2）渐近线与实轴的交点 幅值条件： 当 ，则对应于 ，此时 ，上式可写成： 上式左边展开： 上式右边展开 比较对应 s 幂项系数相等，求得： 所以渐近线相交于同一点,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,16,已知系统的开环传递函数,试画出该系统根轨迹的渐近线。,例5-2,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系

9、,17,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,18,规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点,根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点和会合点处必有闭环特征重根,令闭环特征方程为:,如果令,即可求得,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,19,故在重根处有:,因为：,所以：,即：,分离点/会合点:,和,以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,20,事实上，分离点还可由下式确定 因为 即 其中 即 所以,-,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自

10、动化系,21,一般来说: 如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点)之间；则出现分离点(会合点) 。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。,四重分离点 复数分离点,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,22,的单位负反馈系统的(180)根轨迹。,绘制开环系统传函数为,例5-3,1）此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为：,2）渐近线： 根据规则可知，系统根轨迹有三条分支，当 分别从开环极点 出发， 时趋向无穷远处，其渐近线夹角为：,解,渐近线与实轴的交点为,2020/10/7,北京科技大学自动

11、化学院自动化系,23,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,24,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,25,规则七、根轨迹的出射角和入射角,由相角条件可直接得到,出射角:,入射角：,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,26,规则八 根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。 (1) 用 代入特征方程可得,令此方程中虚部为零，即可求得 根轨迹与虚轴的交点处的频率为 。用 代入实部方程，即可求出系统开环根轨迹临界值 。,(2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则

12、应取劳斯表中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,27,规则九、根轨迹的走向 当n-m2满足时，随着Kg增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。 开环传递函数： 特征方程： 当满足n-m2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通常把 称为极点的“重心”。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,28,当 Kg变化时，极点的重心保持不变。所以，为了平衡“重心”的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动。 例,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,29,规则

13、十、 根轨迹上kg值的计算 根轨迹上任一点S1处的kg可由幅值条件来确定。即 =,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,30,绘制根轨迹图的法则,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,31,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,32,系统开环传递函数为 试绘制根轨迹图 解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j 开环零点：-2，3个无限零点 (1)渐近线：应有n-m=4 -1=3条渐近线，渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点：,(2) 实轴上的根轨迹：0 -2，- -3,例5-4,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,33,(3)极点-p3

14、的出射角 ：不难求得极点-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分别 、 、 ,有限零点-z1到p3的幅角为 所以 同理不难求得极点-p4处的出射角： (4)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,34,实部方程： 虚部方程： 解得： 方法二：由劳斯阵列求： 列出劳斯阵列 令s1行为零，即 得Kg =7，再根据 行s2得辅助方程：,(舍去),2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,35,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,36,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,37,5.3 广义根

15、轨迹,前面介绍的根轨迹绘制法则,只适用于以放大系数 为参量的情况,如果变化参数为其它参数情况将如何处理？,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,38,是一样的,我们将具有相同闭环特征方程的开环传递函数称为相互等效的开环传递函数（简称为等效传递函数）。,具有相同的闭环特征方程,则随T从 变化,其根轨迹,总有一种等效开环传递函数,可将变化参数位于放大系数 的位置.这时就可利用前面的规则了。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,39,解,(4) 为使系统对速度输入的稳态误差为零,加怎样的环 节可使系统稳定。,绘制,的根轨迹，确定:,例5-6,(3) 在该系统中增加一个怎

16、样的环节,可使系统不论 怎样变化都稳定。,为何值系统非振荡稳定,振荡稳定,不稳定? (2) 求使系统闭环主导极点具有阻尼比 ,确定 。,(1)分离点:,渐近线:,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,40,与虚轴交点:,分离点处 的值,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,41,(一般a0,d0为好,是最小相位系统),(4)如果使系统速度输入误差为零,则系统应是II型的,那么从开环零,极点分布图上可见:应该附加两个零点, 系统才可能完全稳定下来。渐近线:,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,42,解,开环传递函数为：,绘制根轨迹, 并证明有一段根轨迹

17、为圆（a,p为实数)。,例5-7,根据相角条件可知：,令 两边取正切变换：,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,43,下面验证半径是零点到分离点或汇合点的距离：,分离点：由 ，得,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,44,5.4 零度根轨迹,如果系统的开环传递函数的放大系数 为负,设开环传递函数为：,其闭环特征方程为:,对应的即是零度 根轨迹。,相角条件为:,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,45,在绘制 根轨迹时，只需在 根轨迹的画法规则中，与相角条件有关的规则作相应的修改。,规则三 实轴上的根轨迹,实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数

18、之和为偶数，则此线段为根轨迹的一部分。,规则四 渐近线,渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为：,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,46,规则六、根轨迹的出射角和入射角,入射角：,由相角条件可直接得到:,出射角:,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,47,由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是由0至+线段和由-1至-2线段。 由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向的夹角分别是: 0(k = 0)、120(k = 1)、-120 (k = 2)。 渐近线与实轴的交点为-1。,解,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,48,由规则五求出的

19、极值方程的解有两个，即 ， ， 由于是正反馈，实轴上的根轨迹改变了。因为 不在实轴根轨迹上，舍去。可见，虽然规则五没改变，但在确定分离点时应考虑规则三变化。,根轨迹如图所示。可看出，有一条从起点到终点全部位于S平面右半部的根轨迹，这意味着无论Kr为何值，系统都存在S平面右半部的闭环极点，表明系统总是不稳定的。在开环传递函数相同的情况下，负反馈系统的稳定性比正反馈系统好。,2020/10/7,北京科技大学自动化学院自动化系,49,5.5 系统性能分析,一、闭环主导极点的概念,在工程实际中，常常用主导极点的概念对系统进行分析，这样可使系统分析简化。下面研究闭环传递函数的系统。,闭环主导极点指的是闭环极点中离虚轴最近，而附近有无其它闭环零、极点或闭环偶极子的实数或共轭复数极点。,闭环偶极子 是一对彼此相近的闭环零点和闭环极点，偶极点若不十分靠近坐标原点，即可以认为零点和极点的影响彼