控制系统校正的根轨迹方法

1、控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S平面上通过希望的闭环极点。根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统

2、调节时间。等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。根轨迹超前校正计算步骤如下。(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点在S平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差；计算公式为： (1)此相角差表明原根轨迹不过主导极点。为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。(4)根据相角差，确定微分校正装置的零极点位置；微分校正装置的传递函数为： (2)例题：已知系统开环传递函数： 试设

3、计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv4.6，闭环主导极点满足阻尼比=0.2，自然振荡角频率n=12.0rad/s，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。解： 由得kc=2计算串联超前校正环节的matlab程序如下：主函数:close;num=2.3;den=conv(1,0,conv(0.2,1,0.15,1);G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数num,den=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性s=roots(den);s1=s(1);kc=2; %增益kcGc=cqjz_ro

4、ot(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,b,3.5); %校正后单位阶跃响应hold onstep(Gy_close,r,3.5); %校正前单位阶跃响应grid;gtext(校正前的);gtext(校正后的);figure(2);impulse(Gx_close,b,3.5); %校正后单位冲激响应hold onimpulse(Gy_close,r,3.5); %校正前单位冲激响应g

5、rid;gtext(校正前的);gtext(校正后的);figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图grid;gtext(校正前的);gtext(校正后的);为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即，式中，M是校正前系统在处的幅值，是对应的相角。令，代入得解得；从而计算串联超前环节参数子函数为:function Gc=cqjz_root(G,s1,kc)numG=G.num1;,DenG=G.den1;ngv=polyval(numG,s1);dgv=polyval(denGs1);g=ngv/dgv;theta_0=angle(

6、g); %相角0theta_1=angle(s1); %相角1M1=abs(g); %幅值M1M0=abs(s1); %幅值M0Tz=(sin(theta_1)-kc*M0*sin(theta_0-theta_1)/(kc*M0*M1*sin(theta_0);Tp=-(kc*M0*sin(theta_1)+ sin(theta_0-theta_1)/(M1*sin(theta_0);Gc=tf(Tz,1,Tp,1);运行结果：校正前系统开环传递函数：Transfer function: 2.3-0.03 s3 + 0.35 s2 + s超前校正传递函数：Transfer function:1

7、.016 s + 1-0.0404 s + 1校正后系统开环传递函数：Transfer function: 4.672 s + 4.6-0. s4 + 0.04414 s3 + 0.3904 s2 + s校正前系统闭环传递函数：Transfer function: 2.3-0.03 s3 + 0.35 s2 + s + 2.3校正后系统闭环传递函数：Transfer function: 4.672 s + 4.6-0. s4 + 0.04414 s3 + 0.3904 s2 + 5.672 s + 4.6得到以下图形：图1-系统校正前后的单位冲激响应图图2-系统校正前后的单位阶跃响应图3-系统校正前后的根轨迹曲线根据系统校正前后的单位阶跃响应可以得到校正前超调量1=17.3%，校正后超调量 2=31.7%，如图4图4-超调量根据系统校正前后的单位阶跃响应可以得到校正前调节时间ts=2.92s，校正后调节时间 ts=2.3s，如图5图5-调节时间根据系统校正前后的单位阶跃响应可以得到校正前上升时间tr=0.58s，校正后上升时间 tr=0.123s，如图6图6-上升时间由上可知，虽然系统的超调量