数学一第一套答案续

1、二、选择题7、答案：d考点：空间直线之间的位置关系解析：分别求出的方向量，利用向量之间的关系加以判断。8、答案：d考点：一元函数单调性的应用解析：由的正负可以判断函数的单调性，但无法判断出在某一处位置是否为正。9、答案：b考点：梯度、散度公式解析：故 10、答案：c考点：级数收敛解析：不收敛于零，否则由莱不尼茨交错级数收敛定理可知 所以 对于前一项 后一项 故 级数绝对收敛。11、答案：b考点：多元连续函数求极值解析：依题意有距离：由拉格朗日乘数法：求得：为：12、答案：c考点：初等矩阵与相似矩阵解析：计算即得13、答案：b考点：向量组的线性相关性解析：考虑分量时，整体相关，则部分相关；部分无

2、关，则整体无关。14、答案：c考点：随机变量的函数的数学期望解析：因 解得入选。三、解答题15、考点：单变量微分学解析：由于，故又因为在（a , b）内有连续一阶导数，所以且 令则内二次可薇，且而于是 又故处取极大值，且上是凸的，因此，也是内的最大值，于是对任意有 即 16、考点：第二类曲线积分解析：解法一 用高斯公式补上有向平面方向与z轴正向一致，方向与z轴负向一致，构成闭曲面，围成的空间区域为，高斯公式中规定的正侧是外侧，而本题拟定为内侧，方向相反，故三重积分前加负号。 解法二：由曲面的方程故 17、考点：幂级数收敛半径，求和解析：（1）分别求级数的收敛半径。由于，故第一个级数的收敛半径因

3、为所以第二个幂级数的收敛半径因此，原幂级数的收敛半径为于是收敛区间为 当时，级数成为由于 都绝对收敛，故原级数在处也绝对收敛。当时，因为而收敛，所以级数绝对收敛，又级数绝对收敛，因此，原级数在处也绝对收敛，从而原级数的收敛域为（2）设和函数为在收敛区间内任意次可微，于是 令 则 故因此，和函数的导函数为18、考点：空间解析几何及向量运算解析：设反射线的方向量为，而入射线l的方向向量为平面的法向量为由入射角等于反射角，应有 又因同在一个垂直于平面上，根据共面的充要条件，应有由（4）可得进而由（3）式得 （5）化简（5）式得 解得 （另一组解为，依题意应舍去）由对称式可写出反射线的方程为：19、考

4、点：拉格朗日中值定理、罗尔定理解析：由拉格朗日中值定理易知，存在使，由此可联想去凑一个等式，化为未求导的形式即证明：由罗尔中值定理，存在作函数由于又由罗尔中值定理知存在即化简并代入得 20、考点：相似矩阵、正交阵解析：（1）由于a，b相似，故于是 即得 又由于相似矩阵的特征多项式也相同，故即 展开左边得于是，得 而从而（2）由（1）知并且a有特征值0，1，2，分别代入方程可得与3个特征值相应的解分别为并单位化它们得到它们对应的特征值不同，故互相正交。作正交矩阵则有21、考点：系数矩阵、增广矩阵的秩与线性方程组的解的关系解析：（1）设由线性表示为 则即 （*）即 解得 即 时，可由惟一地线性表示。（2）要表达式不惟一，则应有（*）式的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，但要小于3，于是 由上题的结论，得 由于时，增广矩阵 秩为3，而系数矩阵的秩为2，不合要求。可验证时，可由线性表示，但不惟一。22、考点：二维随机变量函数的分布，随机变量的独立性解析：（1）当时，当时 所以 当时，当时， 所以 注意到 两者不相等，故x与y不独立。（2）积分区域如图所示。23、考点：参数估计解析：要得到的估计，可将参数