高等数学习题：极限导数微分习题

1、极限与连续1、设，均为非负数列，且，则必有（ D ）（A）对任意n成立； （B）对任意n成立；（C）极限不存在； （D）极限不存在。2、设数列单调增，单调减，且，则（ A ）（A）、均收敛 （B）收敛，发散（C）发散，收敛 （D）、均发散3、设，证明数列收敛，并求4、设，证明数列的极限存在，并求此极限。 用归纳法证,进一步证,再证5(1) (2)6、当时，与是同阶无穷小，则n= 4 。7、若时，与是等价无穷小，则= -4 。8.当时，是同阶无穷小，则= 3 。6、当时，是比高阶的无穷小,而是比高阶的无穷小，则n= 2 (1,3) 。9设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是

2、(A) (A) (B) (C) (D)10、设在处连续，则 1 ， 2 。11、设在处连续，则= -2 。12、设，则在 0 处间断，其类型是 第一类 间断点。13、= （ D ）（A）2 （B）0 （C） （D）不存在但也不为14、设，则是的 C （A）连续点 （B）第一类（非可去）间断点（C）可去间断点 （D）第二类间断点15、设函数，则（ D ）（A），都是的第一类间断点； （B），都是的第二类间断点；（C）是的第一类间断点，是的第二类间断点； （D）是的第二类间断点，是的第一类间断点。16函数的间断点 是第 一 类间断点.17、= 2 。18。 19、 20、极限= 。21、= 。22

3、、= 。23、讨论函数的连续性,，并判定其间断点的类型。导数定义1、设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数( D )（A）在处左极限不存在 （B）有跳跃间断点（C）在处左极限不存在 （D）有可去间断点2、设，且在处连续， ，则 D （A） （B） （C）0 （D）不存在3、设=，则在内（ C ）（A）处处可导 （B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点4、设，其导函数在处连续，则的取值范围是 。5、设函数，其中在处连续，则是在处可导的( A )（A）充分必要条件 （B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件 （D）既非充分也非必要条件6、设函数，且存在，试确定常数7

4、、设，则使存在的最高阶导数的阶数n为( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）38、已知函数在的某个邻域内连续，则在处 D （A）不可导 （B）可导且（C）取得极大值 （D）取得极小值9、设函数= （1）求的表达式；（2）讨论的连续性和可导性。导数计算1、若，其中可导，则= 。2、设，其中可导，则= 。3、，求 4、设函数由方程所确定，则= 。5、设函数是由方程确定的隐函数，求6、设函数是由方程确定的隐函数，二阶可导,求7、设，求8、，求，9、设，则= 。10、设，当时，= 或 。11。设求12、设，则 。13、已知，则= 。14、设函数由参数方程确定，则曲线在处的法线与轴交点的横坐标是（ A

5、 ）（A） （B） （C） （D）15. 设函数是由方程所确定的隐函数,求曲线在点处的切线方程. 16、已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。 17、一飞机在离地面2km的高度，以200km/h的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞到该目标正上方时，摄影机转动的角速度。 y 2km o x18、落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是6m/s，问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？微分1、函数在点处可导，且，则当时，是 B （A）与等价的无穷小 （B）与同阶但非等价的无穷小 （C）比低阶的无穷小 （D）比高阶的无穷小

6、2、若，当时，是关于的（ C ）。（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶无穷小 （D）等价无穷小3、设，则 。4、函数由确定，则 。5、设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为0.1，则= ( D )（A）-1 （B）0.1 （C）1 （D）0.5中值定理1、设在上二阶可导，且，试证至少存在一个,使得2、设在上连续，在（）内可导，且，证明：至少存在一点，使3、设函数在上连续，在（）内可导，且，证明：，使得5、已知函数在上连续，在（）内可导，且,证明：（1）存在，使；（2）存在两个不同的点，使(1)零点定理;(2)在,并利用(1)的结果6、设函数在内有界且可导，则(

7、 B )（A）当时，必有（B）当存在时，必有（C）当时，必有（D）当存在时，必有7、以下四个命题中，正确的是（ C ）（A）若在内连续，则在内有界；（B）若在内连续，则在内有界；（C）若在内有界，则在内有界；（D）若在内有界，则在内有界。8，则（ B ）（A）当时，使；（B）对，有； （C）当时，使；（D），使.9、函数在处的带Lagrange余项的三阶Talor公式为 。10、函数在处的带Lagrange余项一阶Talor公式为 。11、函数在处的三阶带拉格郎日余项的泰勒公式为 。12、的麦克劳林公式中项的系数是 。LHospital法则1、当时，与为等价无穷小，则C= 。2、当时，与是等价

8、无穷小，则 。3、设，则当= 时，在处连续。4、 5、 6、 7、 8、 9、求 =导数应用1、函数在区间 内单调减少。2、方程在（）内恰有 A （A）一个实根 （B）二个实根 （C）三个实根 （D）五个实根3、函数在（）内的零点个数为 A （A） 0 （B）1 （C）2 （D）34、当取下列哪个值时，函数恰有两个不同的零点。（ B ）（A）2 （B）4 （C）6 （D）85、设对，有，且在内，则在内（ C ）。（A） （B）（C） （D）6、设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有（ C ）（A）一个极小值点和两个极大值点； （B）两个极小值点和一个极大值点；（C）两个极小值点和两个极大

9、值点； （D）三个极小值点和一个极大值点。 O 7.设函数在定义域内可导， 的图形如图所示，则导 函数的图形为（ D ） （A） （B） （C） （D）8、设，下列命题中正确的是（ B ）（A）是极大值，是极小值； （B）是极小值，是极大值；（C）是极大值，也是极大值； （D）是极小值，也是极小值。9、求证：当时，10、试证：当时，11. 设 ,求证 .12、试确定方程的根的个数，并指出每一根所在的范围。13、试就的不同取值，讨论方程的实根的个数。14、讨论曲线与的交点个数。15.试证：（1）设，方程在时存在唯一的实根；（2）当时，是无穷小量，且是与等价的无穷小量。16、在椭圆上求一点，使得它与另外两点，构成的三角形的面积最小。17、求曲线的切线，使切线与直线所围成的图形的面积最大。18、设某银行中的总存款量与银行付给储户年利率的平方成正比。若银行以20%的年利率把总存款的90%贷出，问银行给储户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？19、设曲线 ，则该曲线 （A）没有渐近线 （B）仅有水平渐近线（C）仅有垂直渐近线 （D）既有水平渐近线，又有垂直渐近线20、曲线的斜渐近线方程