概率论2_3常用的离散型分布

1、23 常用的离散型分布,一、退化分布,二、两点分布,三、n个点上的均匀分布,四、二项分布,五、几何分布,六、超几何分布,七、泊松(Poisson)分布,一、退化分布,退化分布 一个随机变量X以概率1取某一常数 即 PXa1 则称X服从a处的退化分布,退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定的 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数,说明 由定理23的推论3知 X服从退化分布的充要条件是DX0 且若X服从a处的退化分布 则EXa,说明,二、两点分布,两点分布 一个随机变量只有两个可能取值 设其分布为 PXx1p PXx21p 0p1 (236) 则称X服从x1 x2处参数为p的两点分布,

2、两点分布的期望和方差 EXpx1(1p)x2 (237) DXp(1p)(x1x2)2 (238),说明,二、两点分布,特殊的两点分布 如果X只取0 1两个值 其概率分布为 PX1p PX01p 0p1 (239) 则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机变量 此时 EXp DXp(1p) (240),在一次试验中 观察A是否发生 记A发生的次数为X 则X要么取值为1 要么取值为0 于是X服从参数为p的01分布,(1) 0 1 分布,注 其分布律可写成,常用0 1分布描述，如产品是否格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.,三、n个点上的均匀分布,n个点上的

3、均匀分布,n个点上的均匀分布的期望和方差,说明,三、n个点上的均匀分布,n个点上的均匀分布,说明,三、n个点上的均匀分布,n个点上的均匀分布,说明,四、二项分布,二项分布,设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数 事件A发生的概率为p(0p1) 则Xb(n p),四、二项分布,二项分布,二项分布的期望和方差,设Xb(n p) 则 EXnp (247) DXnpq (249) 其中q1p,证法二:,设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,例218 一个袋子中装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球(N1N2N)每次从中任取一球 查看完其颜色后再放回去 一共取n次 求取到的白球数X的分布

4、,每次取球看成是一次试验 n次取球看成是n重伯努利试验,解,例一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.,解 :由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验,说明,五、几何分布,如果随机变量X的概率分布为 PXkq k1p k1 2 (2.50) 其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为Xg(k p),几何分布,在独立重复试验中 事件A发生的概率为p 设X为直到A发生为止所进行的试

5、验的次数 则Xg(k p),五、几何分布,如果随机变量X的概率分布为 PXkq k1p k1 2 (2.50) 其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为Xg(k p),几何分布,几何分布的期望和方差,说明,例219 设X服从几何分布 则对任何两个正整数m n 有 PXmn|XmPXn (254),证明,同理 有,于是得,PXnqn,PXmnqmn,式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了,六、超几何分布,超几何分布,一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布

6、为,以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布,在实际中 当N很大时 且N1和N2均较大 而n相对很小时 通常将不放回近似地当作放回来处理 从而用二项分布作为超几何分布的近似 即,六、超几何分布,超几何分布,一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为,以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布,超几何分布的期望和方差,可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布,N很大，n很小，可用二项分布近似计算。,n10p=0.9q=0.1,例 一大批种子的发芽率为90，从中任取10粒，求播种后，(1)恰有8粒发芽的

7、概率(2)不少于8粒发芽的概率。,提示,七、泊松分布,泊松分布(Poisson),如果一个随机变量X的概率分布为,其中0为参数 则称X服从参数为的泊松分布 记作XP(),泊松分布的期望和方差,EX (261),DX (262),如果一个随机变量X的概率分布为,其中0为参数 则称X服从参数为的泊松分布 记作XP(),泊松分布的期望和方差,七、泊松分布,泊松分布(Poisson),EX (261),DX (262),泊松分布中只有一个参数,记k-1=m,则,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,应用场合常见于稠密性问题，如：,电话总机接到的电话次数；,一个容器中的细菌数；,放

8、射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印刷错误的个数等等,某一地区发生的交通事故的次数,市级医院急诊病人数；,例220 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用参数为10的泊松分布来描述 为了以95%以上的概率保证不脱销 问商店在月底应存多少件该种商品(设只在月底进货)？,设该商店每月销售该商品的件数为X 月底存货为a件 则当Xa时就不会脱销 据题意 要求a使得 PXa095 由于已知X服从参数为10的泊松分布 上式即为,由附录的泊松分布表知,于是 这家商店只要在月底保证存货不低于15件就能以95%以上的概率保证下个月该种商品不会脱销,定理24(泊松定理) 在n重伯努利试验中 事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常数) 则对任意给定的k 有,由该定理 我们可以将二项分布用泊松分布来近似 当二项分布b(n p)的参数n很大 而p很小时 可以将它用参数为np的泊松分布来近似 即有,说明,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布,产品数量很大，可用二项分布计算，n100，,由于n较大，p很小，可用Poisson分布代替二项分布。,误差不超过10,例221 纺织厂女工照顾800个纺锭 每一纺锭在某一短时间内发生断头的概率为0005