高职数学典型例题及训练

1、第一篇 一元函数微分学第1章函 数1. 函数的概念 设有两个变量x 和 y，变量x的变域为 D，如果D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作 ， x自变量，y因变量，变域D为定义域，记为 ，y取值的集合称为函数的值域，记作 函数概念的两要素：定义域： 自变量x的变化范围（若函数是解析式子表示的，则使运算有意义的实自变量值的集合即为定义域） 对应关系： 给定x值，求y值的方法。典型例题1.1 下列各函数对中，（）中的两个函数是相等的。 解：选项A中，前者，但 后者x可取1，即两者定义域不相同； 选项B中， 对应关系不同； 选项C中， 两者定义

2、域不同； 选项D中， 对任意 。故应选D解题指导 给定的两个函数，当且仅当其定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数。强化训练1 下列各对函数中，（）中的两个函数相等。A. 与B. 与C. 与 D. 与强化训练2 下列各对函数中，（）中的两个函数相等。 A. 与 B. 与 C. 与 D.与强化训练3 下列各函数对中，（）中的两个函数是相等的。 典型例题1.2 设 ，则=（ ） A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于，说明表示运算：，因此再将代入，得=故应选D强化训练4 若函数，则()A-2 B-1 C-1.5 D1.5强化训练5 函数 则（ ）A. B.

3、 C. D. 强化训练6 若， 则 典型例题1.3 ，则 解法1 将代入原式有： 解法2 令则由题设有：,解题指导 函数的表示法只与定义域和对应关系有关，而与用什么字母表示无关，即 简称函数表示法的“无关特性”。这是由的表达式求解的表达式的有效方法。强化训练7 若，则f(x) = ( )。A. B. C. D. 强化训练8 若函数，则= ( ) 。 A. B. 2 C. 2 D. 2强化训练9 若函数，则2. 函数定义域的求法 函数的定义域使函数有意义的自变量取值范围。它是函数两要素之一。求定义域要注意以下几点： （1）分母不能为零。 （2）负数的偶次方根没有意义。 （3）零和负数无对数。 （

4、4）由多项表达式的代数和构成的函数，其定义域为各表达式的定义域的交集。 （5）应用函数的定义域由实际问题确定（如产量是非负的）。记住下列简单函数的定义域典型例题1.4求函数的定义域。解： 这函数是两项之和，由第一项有： 由第二项有：， 取两者之交集即为所求之定义域：解题指导 求复杂函数的定义域，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。强化训练10 函数的定义域是强化训练11 函数的定义域是 .强化训练12 函数的定义域是 .典型例题1.5 若函数的定义域是0，2，则的定义域是( ) 。 A. B. C. D. 解：由 有 得的定义域为故应选C强化训练13 若函数的定义域是0，1，则的

5、定义域是 强化训练14 若函数的定义域是(0，1，则的定义域是 强化训练15 若函数的定义域是0，1，则的定义域是 。3. 函数的奇偶性 设在定义域上对称于原点， 若：，则为偶函数，图形对称于y轴； 若：，则为奇函数，图形对称于原点。判断函数是奇函数，或是偶函数，可以用定义去判断；也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用如下的性质来判断： 奇函数奇函数、奇函数偶函数仍为奇函数偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数典型例题1.6 下列函数中，（）是偶函数 A B C D 解：根据奇函数的定义以及“奇函数奇函数是偶函数“的性质，可以验证选项A中和都是奇函数，故它们的乘积是偶函数因此选项

6、A是正确其它的选项是错误的强化训练16 下列函数中的偶函数是（）(A) (B) (C) (D) 强化训练17 下列函数中的奇函数是（）(A) (B) (C) (D) 强化训练18下列函数中为奇函数的是（）A B C D典型例题1.7 设，试证是奇函数.证 因为 所以是奇函数.强化训练19 下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 强化训练20 下列函数中（）是偶函数. A. B. C. D. 强化训练21 设是偶函数，是奇函数，则下列必为奇函数的是（ ）4. 分段函数 了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。典型例题1.8 的定义域是 解 这是分段函数，其定义域应是两段

7、函数定义域的并集，即为：强化训练22 设，则的定义域是 强化训练23 设,则的定义域是 强化训练24 设,则的定义域是 典型例题1.9 设 求：（1） （2） （3）解 （1） （2）， （3）， 强化训练25 若函数，则()成立 Af (-1) = f (0) Bf (0) = f (1) Cf (-1) = f (3) Df (-3) = f (3)强化训练26 若，则.强化训练27 设函数，则()成立 A= BC D=5. 应用：经济分析中常见的函数 了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。市场均衡价格需求函数：供给函数： 价格函数：，是需求函数或供给函数的另一形式。 收入

8、函数：（收入=销量价格） 成本函数：，其中为固定成本。 称为平均成本。利润函数：使，即的点为保本点（盈亏平衡点）。典型例题1.10 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求： (1) 生产件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出件该种产品的总收入； (3) 若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？解（1） 生产件该种产品的总成本为 （元）； 平均成本为： （元/件） （2） 售出件该种产品的总收入为： （元） （3） 生产件该种产品的利润为： = =（元）强化训练28 已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中p

9、为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 强化训练29 已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为强化训练30 某产品的成本函数为，那么该产品的平均成本函数 6. 综合杂例 复合函数：，中间变量的值域部分或全部包含于的定义域中。典型例题1.11 下列函数中，（ ）不是基本初等函数A B C D 解 因为是由，复合组成的，所以它不是基本初等函数正确答案：B强化训练31 函数的值域是.A. B. C. D. 强化训练32 下列结论中，（）是正确的 A基本初等函数都是单调函数 B偶函数的图形关于坐标原点对称 C奇函数的图形关于坐标原点对

10、称 D周期函数都是有界函数强化训练33 若，则（ ）成立 。A. B. C. D. 典型例题1.12 将复合函数分解成简单函数。解 令，则； ，则所以，函数由简单函数复合而成。典型例题1.13 某厂产品日产量为1500吨，每吨定价为150元，销售量不超过1000吨的部分按原价出售，超过1000吨的部分按9折出售，若将销售总收入看作销售量的函数，试写出函数表达式.解 设销售量为吨，销售总收入为元，那么 销售量不超过1000吨的部分按每吨定价为150元出售，销售总收入为；超过1000吨的部分按9折出售，销售总收入为. 所以，销售总收入函数为：第1章 强化训练题解答1.D 2.A 3.C 4.A 5

11、.A 6. 7.B 8.C 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.B 17.A 18.C 19.B 20.B 21.D 22. 23. 24. 25.D 26. 27.C 28. 29.3.6 30. 31.D 32.C 33.C笫2章 极限、导数与微分1.极限的概念 数列极限 函数极限 双边极限： 单边极限： 极限存在的充要条件： 典型例题2.1 若，则在点处( ) A有定义 B没有定义 C极限存在 D有定义，且极限存在解 函数在一点处有极限与函数在该点处有无定义无关正确答案：C强化训练1 函数在x = 2点() A有定义 B.有极限 C没有极限 D既无定义又无极限典型

12、例题2.2 设函数，求在处的左、右极限并讨论 在处是否有极限存在？分析 函数是个分段函数，且是函数的分段点，即，根据左右极限的定义和极限存在的充分必要条件判定。解 左极限；右极限因为函数在处的左右极限存在但不相等，所以在处极限不存在。强化训练2 设 则强化训练3 下列极限存在的是（）. A. B. C. D. 强化训练4 设则*2.无穷小量与无穷大量 定义 为无穷小量 为无穷大量 性质 无穷小量（0除外）的倒数为无穷大量。无穷大量的倒数为无穷小量。 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。有限个无穷小量的和、差、积均为无穷小量。典型例题2.3 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. B. C.

13、D. 分析 根据无穷小量的定义进行判别。解 选项A中：因为 时，故 ，不是无穷小量； 选项B中：因为时，故是无穷小量； 选项C中：因为 时，故；但是时， ，故，因此当时不是无穷小量。 选项D中：因为，故当时，不是无穷小量。 因此正确的选项是B。强化训练5 当时，下列变量中（ ）是无穷大量 A. B. C. D. 强化训练6 当时，下列变量中的无穷小量是（）(A) (B) (C) (D) 强化训练7 当时，下列变量中的无穷小量是（）(A) (B) (C) (D) 强化训练8 当时，下列变量中的无穷小量是（）(A) (B) (C) (D) 典型例题2.4 极限 解 因为当时，是无穷小量，是有界变量

14、故当时，仍然是无穷小量 所以 0 正确答案：0强化训练9 强化训练10 强化训练11 .3.极限的四则运算法则 极限的四则运算法则：若 则 典型例题2.5 计算极限 分析 对于分式求极限问题，首先要看分母的极限是否为0，若是，再看分子的极限是否为0，如果分子、分母的极限都为0，且分子分母都是的多项式，则利用分解因式的方法将函数变形，再用除法法则求极限。解 。可能出现的错误： 。解题指导 当分母的极限为0时，一定不能直接用极限的除法法则，必须对函数进行适当的变形，例如这道题目中的变形是分解因式，消去为零的因式。强化训练12 计算极限 强化训练13 计算极限 强化训练14 计算极限 典型例题2.6

15、 计算极限 分析 此题也是当时，分母的极限为0，且分子的极限也为0，而且分子中含有无理根式，这样就不能用前一题的分解因式的方法求解。对于这类题目是采用根式有理化的方法，利用公式：，将分式的分子、分母同乘，即注意到，变形后的分式，当时，分母的极限不为0，于是可以用极限的除法法则求解。解 可能出现的错误：，因为分子、分母的极限都是0。强化训练15 计算极限 强化训练16 计算极限强化训练17 典型例题2.7 计算极限解 先通分，然后消去零因子，再四则运算法则进行计算即 = 强化训练18 计算极限 强化训练19 计算极限 强化训练20 计算极限 典型例题2.8 计算极限 解 当时分式的分子、分母的极

16、限都不存在，不能用极限的除法法则，由教材中公式（2.2.4）可直接得到结果，即强化训练21计算极限强化训练22 计算极限强化训练23 计算极限4.两个重要极限两个重要极限的一般形式： 典型例题2.9 极限 解 利用第一个重要极限的扩展形式，有正确答案：2强化训练24 当时，下列变量是无穷小量的有（ ）A B C D强化训练25 已知，若为无穷小量，则的趋向必须是（）. A. B. C. D. 强化训练26 已知，当（ ）时，为无穷小量. A. B. C. D. 典型例题2.10 解 。解题指导可能出现的错误答案为0，原因是将视为第一个重要极限。的确，形式上很象第一个重要极限，但是，仔细注意一下

17、，第一个重要极限是，它们的自变量的变化趋势不同，而是无穷小量乘以有界变量，故，强化训练27 强化训练28 极限等于 强化训练29 当时，下列变量中不是无穷小量的有()A B C D典型例题2.11 计算极限解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算即 = = 解题指导 当时分式的分子、分母的极限都为0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化。强化训练30 计算极限强化训练31 求极限强化训练32 求极限典型例题2.12 计算极限：解 先将分子分解因式，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算即 =强化训练33 求极限强化训练34 求极限强化训

18、练35 求极限强化训练36 求极限典型例题2.13 求极限分析 利用极限的加法法则，此极限为两个极限的和，且为无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，再利用第一个重要极限求解。解 解题指导可能出现的错误：将也视为第一个重要极限，于是。强化训练37 求极限 强化训练38 求极限 典型例题2.14 求极限 解 利用第二重要极限计算，即 。强化训练39强化训练40 下列极限计算正确的是（ ）A BC D强化训练41 下列极限计算正确的是（ ）A. B. C. D.典型例题2.15 求极限 分析 利用指数运算法则，其中可以利用第二个重要极限求解，但要进行适当的变形，使其成为第二个重要极限的扩展形式；而。解

19、。解题指导 可能出现的错误：（1）（没有记清第二个重要极限的扩展形式，它只在指数上乘2、除2,但忽视了底应为，所以必须在指数上同乘同除）。（2）错误计算的结果为11，所以。强化训练42 求极限 强化训练43 求极限 强化训练44 求极限 典型例题2.16 求极限 解 先进行恒等变形，在利用第2个重要极限。即 强化训练45 求极限强化训练46 求极限 强化训练47 设，则 5.函数的连续性和间断点 在连续：在处间断，是指出现下列三种情况之一： （1）在处无定义。 （2）在处极限不存在。 （3）在处有定义，且存在，但初等函数在其定义区间内都连续。典型例题2.17 函数的连续区间是（ ）A BC D

20、分析 根据函数连续性的结论，“初等函数在其定义区间内都是连续的”进行判别。解 因为函数是初等函数，所以其定义区间就是连续区间。又函数的定义域为，所以B选项正确。强化训练48强化训练49 函数的连续区间是（ ）A. B. C. D. 典型例题2.18 求下列函数的间断点分析 函数的间断点即为不连续的点，在这样的点上，一定有。对于题中的函数在处有，且，所以是间断点。解 因为，所以是间断点。解题指导 可能发生的错误：因为在处没有定义，所以是间断点。错误在于函数在是有定义的， ，所以是间断点。错误在于没有指明极限值不等于函数值。强化训练50 函数的间断点是.强化训练51 强化训练52 典型例题2.19

21、 当k 时，在处连续解 由连续函数的定义，函数在处连续的充分必要条件是 在题目中且即当1时，有，即在连续正确答案：强化训练53 已知，若在内连续，则 .强化训练54 函数 在x = 0处连续，则k = ()A-2 B-1 C1 D2 强化训练55 强化训练56 若在点处连续，则（ ）A B C D 典型例题2.20 当k 时，在处仅仅是左连续解 因为函数是左连续的，即 若 即当1时，在不仅是左连续，而且是连续的 所以，只有当时，在仅仅是左连续的正确答案：强化训练57 设，若在处连续，则_。强化训练58 当k 时，在处仅仅是右连续强化训练59 当（ ）时，在处连续 A0 B 1 C2 D 1强化

22、训练60 设，若在处连续，则 6.导数的定义 导数定义：典型例题2.21 设，则（ ）A B C1 D4分析 极限式是在处导数的定义式，解 又因为，则，所以正确选项为D。解题指导 函数在某点处的导数一定是一个数值，而不是函数，所以不能选择A。强化训练61 设，则（ ）。 AB. C. D. 不存在强化训练62 设在处可导，且，则( )。 A.不存在B. C.0D. 任意强化训练63 则强化训练64 典型例题2.22 若，则（ ） A B0 C D分析 这个极限的表达式正是函数在x处导数的定义,且 是常数函数，常数函数是可导的，而且它的导数是0解由导数定义可得 = 0 所以，正确的选项是B强化训

23、练65 设，则（）。 A不存在 B.C. D. 强化训练66 极限 A. 1 B. cosx0C. sinx0 D.不存在强化训练67 若函数，则= 7.导数的几何意义 的几何意义是表示曲线在处的切线斜率，其切线方程为：典型例题2.23 曲线在点（1，0）处的切线是（ ） A B C D 解 由导数的定义和它的几何意义可知， 是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 ，即故正确的选项是A强化训练68 曲线在处切线的斜率是（ ）A. B. C. D.强化训练69 曲线在点处的切线斜率是.强化训练70 曲线y = sinx在点(0, 0)处的切线方程为（ ） A. y = x B. y =

24、2x C. y = x D. y = -x强化训练71 函数在处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 强化训练72 强化训练73 曲线在点（4, 2）处的切线方程是8.导数基本公式和导数的四则运算法则 求导公式（见教材P95），法则（见教材P96）典型例题2.24 设函数， 求解 因为 所以 解题指导 求导数时，要先观察函数，看看能否将函数化简，若能，应将函数化简后再求导数，简化计算过程强化训练74 设，求 强化训练75 已知，求典型例题2.25 求函数的导数：分析 利用导数基本公式。解 解题指导 可能发生的错误：，这是将等同于，而；或，原因是公式用错了。强化训练76 已知，则= . 强化

25、训练77强化训练78 设，则 9.复合函数求导法则 复合函数求导数要注意下面两步： 分清函数的复合步骤，明确所有的中间变量； 依照法则依次对中间变量直至自变量求导，再把相应的导数乘起来典型例题2.26 （）。 A. B. C. D. 解 根据复合函数求导法则，得=故正确选项应是A。强化训练79 强化训练80 强化训练81 若可导，且，则下列不等式不正确的是( )。 A. B. C. D. 典型例题2.27 已知 求分析 函数的复合过程为，利用复合函数求导法则求导。解 解题指导可能出现的错误:函数的复合关系搞错，出现的情形。强化训练82 已知 求强化训练83 已知 求强化训练84 已知，求强化训

26、练85 设，求y典型例题2.28 计算函数的导数分析 这是两个复合函数相乘构成的函数，在求导时，应先用导数的乘法法则，而后在分别用复合函数的求导法则和导数公式求导。解 解题指导 可能出现的错误：将函数乘积的导数错记为函数导数的乘积。即没有将看作复合函数，即。强化训练86 若，则=（ ）A. 2 B. 1 C. -1 D. -2强化训练87 设，求典型例题2.29 求函数的导数分析 利用导数的加法法则求导，且的复合过程为，的复合过程为，他们的导数分别为:。解 =。解题指导 可能出现的错误：分不清和的复合过程，造成求导的错误； =强化训练88 设，求 强化训练89 已知，求；强化训练90 设强化训

27、练91 *10.隐函数求导的方法 典型例题2.30 设函数由方程确定，求 解 方程两边对自变量求导，视为中间变量，即 整理得 解题指导 依照隐函数求导法则，第一步：方程两边对自变量求导，视为中间变量；第二步：整理方程，解出。注意:在第一步完成时，可以得到一个关于的一次方程，第二步是解方程，是解方程求出的；在求导时，要清楚是的函数，在对的函数求导时，一定不要忘记对求导，又因为是的隐函数，所以，对导数只能写成。可能出现的错误：（）不会求；（）对的函数求导时，忘记对求导。强化训练9 由方程确定是的隐函数，求 强化训练9设函数由方程确定，求强化训练9 由方程确定是的隐函数，求. 强化训练9设函数由方程

28、确定，求。强化训练9设方程确定函数，求。典型例题2.3设函数由方程确定，求 解 方程两边对x求导，得 当时，所以，强化训练9设 ，求强化训练9强化训练9设函数由方程确定，求 11.高阶导数 二阶导数：的一阶导数的导数为二阶导数 高阶导数：二阶及二阶以上的各阶导数统称为高阶导数。典型例题2.32 设 求 解 强化训练100 若，则（ ）.A0 B1 C 4 D-4 强化训练101 已知，则= .强化训练102 已知，则=（ ） A. B. C. D. 强化训练103 若，则（ ） A B C D强化训练104 设，则 12.微分的概念及运算法则 微分：由微分的定义知微分的计算可归为导数的计算。典

29、型例题2.33 下列等式正确的是（ ）A. B. C. D. 解 由右向左，直接利用微分计算的公式计算： ， ， ， 正确答案：B强化训练105 下列等式中正确的是（） (A) (B) (C) (D) 强化训练106 下列等式正确的是（ ）A. B. C. D. 强化训练107 下列等式不成立的是（ ） A B C D. 强化训练108 下列等式中（）是正确的. A. B. C. D. 典型例题2.34 已知函数y = f(x)的微分dy = 2xdx, 则y=( )。 A.0 B.2x C.2 D.x2解 由于函数y = f(x)的微分为dy = 2xdx，即，于是y2。故正确的选项是C。强

30、化训练109 设 则 强化训练110强化训练111设是可微函数，则（ ）A. B. C. D. 强化训练112 若，则=（）. A. B. C. D. 典型例题2.35 设 ，求解 利用导数除法法则 解题指导 运用导数的除法法则求函数的导数时一定要注意除法法则的构成，计算时要细心。强化训练113 强化训练114 设 y，求dy 强化训练115 已知y =，求dy 强化训练116 设，求强化训练117 设，求dy典型例题2.36 设， 求解 因为 且 强化训练118 设，求。 强化训练119 设，求强化训练120 设，求强化训练121 设，求强化训练122 设，求dy典型例题2.37 ，求。分析

31、 依照隐函数求导法则，第一步：方程两边对自变量求导，视为中间变量；第二步：整理方程，解出，再由，求出。解 整理得 解题指导 可能出现的错误：不会求；对的函数求导时，忘记乘以对求导；忘记。强化训练123 由方程确定是的隐函数，求强化训练124 由方程 确定 y = f (x) ，求 dy强化训练125 由方程 确定 y = f (x) ，求 dy强化训练126 由方程确定是的隐函数，求 13.综合杂例 典型例题2.38 ，则。分析这个题目是求函数值的问题，解法应是将中的换之以，而。解 。可能出现的错误答案为:，或。强化训练127 设，则 强化训练128 设，则 强化训练129 若，则（ ）。A B C D典型例题2.39 需求量q对价格的函数为，则需求弹性为解 强化训练130 已知某商品需求函数为 ，则需求弹性值=（ ）。A. B. C. D. 强化训练131 已知需求函数为，其中p为价