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文档简介

1、河北省衡水中学2020届全国高三第一次联合考试数学(理)试题河北省衡水中学2020届全国高三第一次联合考试理科数学一、选择题1.若集合,则( )A.B.C.D.2.已知为虚数单位,若为实数,且,则( )A.B.C.D.3.如图,网格纸上每个小正方形的边长为,粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图,则该蛋糕的体积为( )A.B.C.D.4.已知,且,则( )A.B.C.-2D.25.在的展开式中,的系数为( )A.20B.10C.-10D.-206.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 7.摆线最早出现于公元1501年出版的包威尔的一本书中,摆线是这样定义的:一个圆沿一条直线缓

2、慢地滚动,则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线.圆滚动一周,动圆上定点描画出摆线的第一拱;再向前滚动一周,动圆上定点描画出第二拱;继续滚动,可得第三拱、第四拱、设圆的半径为,圆滚动的圈数为,摆线的长度为1,执行如图所示程序框图,若输入的,则输出摆线的长度为( )A.B.C.32D.968.在中,分别为角的对边,,则的值为( )A.B.C.D.9.某车站在某一时刻有9位旅客出站,假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为,且各位旅客之间互不影响.设在这一时刻9位旅客中恰好有人骑行共享单车的概率为,则( )A.B.C.D.10.在边长为8的等边中,分别为,的中点.现将沿折起到的位置,使得,直线,直线

3、与底面所成的正弦值为( )A.B.C.D.11.已知抛物线的焦点为,为抛物线上异于顶点的一点,点的坐标为(其中满足).当最小时,恰好为正三角形,则( )A.1B.C.D.212.已知函数,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题13.已知向量,若,则实数_.14.函数的图象在点处的切线方程为_.15.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得函数的图象向右平移1个单位长度,最后得到的图象对应的函数设为,则在区间上的所有零点的和为_.16.已知双曲线的左、右焦点分别为、,过的直线与交于(其中点在轴上方)两点,且满足.若的离心率为,直线的倾斜角为

4、,则实数的值是_.三、解答题(一)必考题17.已知等比数列是递减数列,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.如图,在多面体中,四边形是菱形,四边形是直角梯形,.证明:平面.若平面平面,为的中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关,某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名,然后对200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计.规定:分数不小于240分为“优秀”,小于240分为“非优秀”.根据题意,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有

5、关.性别优秀非优秀总计男生35女生75总计用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生,然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考生,设抽到的3名学生中女生的人数为,求的分布列及数学期望.附:,其中.0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,直线和椭圆交于,两点,当直线过椭圆的焦点,且与轴垂直时,.(1)求椭圆的方程;(2)设直线过点且倾斜角为钝角,为弦的中点,当最大时,求直线的方程.21.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,求证:.22

6、.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),点的坐标为.(1)当时,设直线与曲线交于,两点,求的值;(2)若点在曲线上运动,点在线段上运动,且,求动点的轨迹方程.一、选择题1.B【解析】因为,所以.故选B.2.D【解析】,故选D.3.C【解析】该蛋糕是由上下两个圆柱形小蛋糕组合而成,其体积为.故选C.4.B【解析】由,得,即,又,所以,从而,即.故选B.5.C【解析】因为的展开式的通项公式为,所以当时,的系数为.故选C.6.A【解析】由为奇函数,可排除C和D;当时,可排除B.故选A.7.C【解析】,适合;,不适合,此时

7、输出.故选C.8.D【解析】由余弦定理,得,即,利用正弦定理可得.故选D.9.A【解析】由题意得,.因为,所以.因为,所以.故选A.10.B【解析】取的中点,连接,.在中,由可得.在中,由,可得.由可得.又因为,所以底面,即为直线与底面所成角.在中,.故选B.11.C【解析】设的准线为,过点作,为垂足.当且仅当,即点共线时,最小,此时点的坐标为.考虑到为正三角形和抛物线的定义,则有,从而点的坐标为.因此,解得.故选C.12.A【解析】将函数的图像向左平移2个单位长度,得到函数的图像,画出函数,的图像如图所示,注意到直线与曲线切于点,且直线在曲线的上方.根据对称性,直线与曲线切于点,且直线在曲线

8、的上方.而曲线的最低点的坐标为,故若满足,即对任意的恒成立,则,即.故选A.二、填空题13.【解析】由题得.由,得,解得.14.【解析】因为当时,所以.因为函数是偶函数,所以.又,所以函数的图像在点处的切线方程为,即.15.【解析】由题意知,令,则,,可得零点为和,故所求零点的和为.16.【解析】由,得直线与双曲线的右支交于两点,设,则.根据双曲线定义,.在中,由余弦定理,得;在中,由余弦定理,得.并整理,得.三、解答题17.解:(1)设等比数列的公比为,则,解得或又因为数列是递减数列,所以,不合题意,故故数列的通项公式为.(2)由(1)得,故.18.(1)证明:(方法一)因为四边形是菱形,所

9、以.又因为,所以平面平面.因为平面,所以平面.(方法二)取的中点,连接,如图,由题意知且,所以四边形为平行四边形,即且.又因为四边形是菱形,所以四边形为平行四边形,即有.又平面,平面,所以平面.(2)解:取的中点,在菱形中,,可得.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.以为坐标原点,以,的方向分别为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示.故,.设平面的一个法向量为,则有,即令可得.易知平面的一个法向量为.设平面与平面所成的锐二面角为,则,即所求二面角的余弦值为.19.解:(1)填写列联表如下:性别优秀非优秀总计男生3565100女生2575100总计60140200因为,所以没有以上

10、的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关.(2)利用分层抽样的方法,抽到男生的人数为,抽到女生的人数为.若从12人中任意抽取3人,则女生被抽到的人数,.故抽到女生的人数的分布列为0123.20.解:(1)由题意知,又,解得,故椭圆的方程为.(2)设,直线:.联立方程,得,故.设,则,所以直线的斜率.设直线,的倾斜角分别为,则,.因为,所以,即,所以.当且仅当时,等号成立.所以当最大时,直线的斜率,此时直线的方程为.21.(1)解:函数的定义域为,.当时,,则在区间内为增函数,在区间内为减函数;当时,令得或,令得,所以在区间内为增函数,在区间内为减函数,在区间内为增函数;当时,令得,令得或,所以在区间内为减函数,在区间内为增函数,在区间内为减函数.(2)证明:由,得,即.设,则当时,;当时,.所以在区间内是增函数,在区间内是减函数,所以是的极大值点,也是的最大值点,即.设,则.当时,;当时,.所以在区间内是减函数,在区间内是增函数,所以是的极小值点,也是的最小值点,即

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