河北省衡水中学2020届全国高三第一次联合考试数学理试题.docx

1、河北省衡水中学2020届全国高三第一次联合考试数学（理）试题河北省衡水中学2020届全国高三第一次联合考试理科数学一、选择题1.若集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知为虚数单位，若为实数，且，则（ ）A.B.C.D.3.如图，网格纸上每个小正方形的边长为，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为（ ）A.B.C.D.4.已知，且，则（ ）A.B.C.-2D.25.在的展开式中，的系数为（ ）A.20B.10C.-10D.-206.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 7.摆线最早出现于公元1501年出版的包威尔的一本书中，摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓

2、慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线.圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、设圆的半径为，圆滚动的圈数为，摆线的长度为1，执行如图所示程序框图，若输入的，则输出摆线的长度为（ ）A.B.C.32D.968.在中，分别为角的对边，,则的值为（ ）A.B.C.D.9.某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为，且各位旅客之间互不影响.设在这一时刻9位旅客中恰好有人骑行共享单车的概率为，则（ ）A.B.C.D.10.在边长为8的等边中，分别为,的中点.现将沿折起到的位置，使得,直线,直线

3、与底面所成的正弦值为（ ）A.B.C.D.11.已知抛物线的焦点为,为抛物线上异于顶点的一点，点的坐标为（其中满足）.当最小时，恰好为正三角形，则（ ）A.1B.C.D.212.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题13.已知向量，若，则实数_.14.函数的图象在点处的切线方程为_.15.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为，则在区间上的所有零点的和为_.16.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与交于（其中点在轴上方）两点，且满足.若的离心率为，直线的倾斜角为

4、，则实数的值是_.三、解答题（一）必考题17.已知等比数列是递减数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.如图，在多面体中，四边形是菱形，四边形是直角梯形，.证明：平面.若平面平面，为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计.规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”.根据题意，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有

5、关.性别优秀非优秀总计男生35女生75总计用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考生，设抽到的3名学生中女生的人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线和椭圆交于，两点，当直线过椭圆的焦点，且与轴垂直时，.（1）求椭圆的方程；（2）设直线过点且倾斜角为钝角，为弦的中点，当最大时，求直线的方程.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：.22

6、.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为.（1）当时，设直线与曲线交于，两点，求的值；（2）若点在曲线上运动，点在线段上运动，且，求动点的轨迹方程.一、选择题1.B【解析】因为，所以.故选B.2.D【解析】，故选D.3.C【解析】该蛋糕是由上下两个圆柱形小蛋糕组合而成，其体积为.故选C.4.B【解析】由，得，即，又，所以，从而，即.故选B.5.C【解析】因为的展开式的通项公式为，所以当时，的系数为.故选C.6.A【解析】由为奇函数，可排除C和D；当时，可排除B.故选A.7.C【解析】，适合；，不适合，此时

7、输出.故选C.8.D【解析】由余弦定理，得，即，利用正弦定理可得.故选D.9.A【解析】由题意得,.因为,所以.因为，所以.故选A.10.B【解析】取的中点,连接,.在中，由可得.在中，由,可得.由可得.又因为,所以底面,即为直线与底面所成角.在中，.故选B.11.C【解析】设的准线为，过点作，为垂足.当且仅当，即点共线时，最小，此时点的坐标为.考虑到为正三角形和抛物线的定义，则有,从而点的坐标为.因此，解得.故选C.12.A【解析】将函数的图像向左平移2个单位长度，得到函数的图像，画出函数，的图像如图所示，注意到直线与曲线切于点，且直线在曲线的上方.根据对称性，直线与曲线切于点，且直线在曲线

8、的上方.而曲线的最低点的坐标为，故若满足，即对任意的恒成立，则，即.故选A.二、填空题13.【解析】由题得.由，得，解得.14.【解析】因为当时，所以.因为函数是偶函数，所以.又，所以函数的图像在点处的切线方程为，即.15.【解析】由题意知，令，则，,可得零点为和，故所求零点的和为.16.【解析】由，得直线与双曲线的右支交于两点，设，则.根据双曲线定义，.在中，由余弦定理，得；在中，由余弦定理，得.并整理，得.三、解答题17.解：（1）设等比数列的公比为，则，解得或又因为数列是递减数列，所以，不合题意，故故数列的通项公式为.（2）由（1）得，故.18.（1）证明：（方法一）因为四边形是菱形，所

9、以.又因为,所以平面平面.因为平面，所以平面.（方法二）取的中点,连接,如图，由题意知且,所以四边形为平行四边形，即且.又因为四边形是菱形，所以四边形为平行四边形，即有.又平面,平面,所以平面.（2）解：取的中点，在菱形中，,可得.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.以为坐标原点，以,的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示.故,.设平面的一个法向量为，则有,即令可得.易知平面的一个法向量为.设平面与平面所成的锐二面角为，则，即所求二面角的余弦值为.19.解：（1）填写列联表如下：性别优秀非优秀总计男生3565100女生2575100总计60140200因为，所以没有以上

10、的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关.（2）利用分层抽样的方法，抽到男生的人数为，抽到女生的人数为.若从12人中任意抽取3人，则女生被抽到的人数,.故抽到女生的人数的分布列为0123.20.解：(1)由题意知，又，解得，故椭圆的方程为.（2）设，直线：.联立方程，得，故.设，则，所以直线的斜率.设直线，的倾斜角分别为，则,.因为，所以，即，所以.当且仅当时，等号成立.所以当最大时，直线的斜率，此时直线的方程为.21.（1）解：函数的定义域为,.当时，,则在区间内为增函数，在区间内为减函数；当时，令得或，令得，所以在区间内为增函数，在区间内为减函数，在区间内为增函数；当时，令得，令得或，所以在区间内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数.（2）证明：由，得，即.设，则当时，；当时，.所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以是的极大值点，也是的最大值点，即.设，则.当时，；当时，.所以在区间内是减函数，在区间内是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即