四川省成都市龙泉驿区第二中学校2020届高三3月市“二诊”模拟考试数学理试题含

1、成都龙泉第二中学2015级高三下学期“二诊”模拟考试试题数学（理工类）第卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则集合等于（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由条件得，。选b。2. 复数，则复数的虚部是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由题意可得：，则复数的虚部是 故选a3. 在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】在展开式中，二项式系数的最大值为 a，a=20展开式中的通项公式：tr+1=，

2、令6r=5，可得r=1含x5项的系数为b=12，则故选：b4. 下列命题中真命题的个数是（ ）函数，其导函数是偶函数；“若，则”的逆否命题为真命题；“”是“”成立的充要条件；命题：“，”，则命题的否定为：“，”a. 0 b. 1 c. 2 d. 3【答案】d【解析】因是偶函数，故是正确的；又因是真命题，其逆否命题也是真命题，故不正确；因当“”时，“”成立，反之不成立，故是错误的；依据命题的否定的格式可知命题是正确的。综合有三个命题是正确的，应选答案d。5. 偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为 （ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4【答案】b【解析】偶函数，=，

3、f（x）=asin（x+）=acosx，把它的图象向右平移个单位得到y=acos（x）=acos（x）的图象，再根据所得图象关于原点对称，则 可以等于2，故选：b6. 如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为( ) a. b. 3 c. 4 d. 【答案】c【解析】几何体为一个四棱锥,高为4,底面是边长为3的正方形,设内切球的半径为,则,因此内切球的表面积为 选c.点睛:利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值7. 规定：对任意的各位数字不全相同

4、的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”如图，若输入的，则输出的为（ ）a. 2 b. 3 c. 4 d. 5【答案】c【解析】由题意知：输入的，则程序运行如下：当时，当时，当时，当时，此时程序结束，输出，故选c8. 若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有（ ）个a. b. c. d. 【答案】d【解析】由题设中提供的信息可知：和为10四位数字分别是（0,1,2,7），（0,1

5、,3,6），（0,1,4,5）（0,2,3,5），（1,2,3,4）共五组；其中第一组（0,1,2,7）中，7排首位有种情形，2排首位，1、7排在第二位上时，有种情形，2排首位，0排第二位，7排第三位有1种情形，共种情形符合题设；第二、三组中3,、6与4、5分别排首位各有种情形，共有种情形符合题设；第四、五组中2、3、5与2、3、4分别排首位各有种情形，共有种情形符合题设。依据分类计数原理可符合题设条件的完美四位数共有种，应选答案d。点睛：分类计数原理与分步计数原理是排列组合中的重要数学思想和方法。求解本题时，充分借助题设中的完美四位数的定义，巧妙运用分类计数原理与分步计数原理进行分析求解，从

6、而使得问题巧妙获解。9. 设变量y满足约束条件则z|x3y|的最大值为( )a. 8 b. 4 c. 2 d. 【答案】a【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数z=|x3y|，平移直线y=x可知，当直线经过点a（2，2）时，z=|x3y|取得最大值，代值计算可得zmax=|232|=8故选：a10. 已知正三棱锥的外接球半径，分别是上的点，且满足，则该正三棱锥的高为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】设正三棱锥的底边边长为, 侧棱长为,其外接球的球心 在该正三棱锥高上,且到四个顶点的距离相等.在正三角形中, ,在 中,由余弦定理求出,故,在 中,求出,又

7、,由勾股定理有,求得,设顶点 在底边上射影为 ,在中, ,而 ,算出 ,所以该正三棱锥的高.选a.点睛:本题考查了利用外接球的半径求正三棱锥的高,属于中档题. 本题思路: 由已知条件分别求出的表达式,解出之间的关系,再利用外接球的球心到各顶点距离相等,求出的值,再求出正三棱锥的高.11. 已知函数（0且1）的图像恒过定点a，若直线（）也经过点a，则3m+n的最小值为（ ）a. 16 b. 8 c. 12 d. 14【答案】b【解析】由题意，函数f（x）=loga（x+4）1（a0且a1），令x+4=1，可得x=3，带入可得y=1图象恒过定点a（3，1）直线（m，n0）也经过点a，即那么：3m+

8、n=（3m+n）（）=2+5=8（当且仅当n=m=2时，取等号）3m+n的最小值为8故选：b点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.12. 已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，则弦的中点到轴的距离为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由题意知过点的直线方程为，联立方程消去得：. 设，则，所以弦的中点的横坐标为，故到轴的距离为，故选

9、d第卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13. 已知向量，若向量与的夹角为，则实数的值为_【答案】【解析】,显然 ,所以.14. 若，满足约束条件则的最小值为_【答案】-4【解析】由题意可知，线性区域是如图的阴影部分，由，则为直线的截距，由图可知，当时，取到最小值.15. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在20,60)元的样本，其频率分布直方图如右图，其中支出在50,60)元的同学有30人，则n的值为_【答案】100【解析】由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）10=0.7，支出在50，60）

10、元的频率为10.7=0.3，n的值=100；故答案为：100点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和16. 已知在平面四边形中，则四边形面积的最大值为_【答案】【解析】设 ,则在 中,由余弦定理有,所以四边形面积 ,所以当 时, 四边形面积有最大值 .点睛: 本题主要考查解三角形, 属于中档题. 本题思路: 在 中中,已知长,想到用余弦定

11、理求出另一边的表达式,把 四边形面积写成 这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当 时, 四边形面积有最大值 .三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）17. 已知函数.（）求函数在的单调递减区间；（）在锐角中，内角，的对边分别为，已知，求的面积.【答案】(1) 函数在的单调递减区间为和 (2) 【解析】试题分析：（）结合诱导公式及二倍角公式化简函数得，求减区间，只需即可，结合求交集即可；（）由，结合锐角，可得，由正弦定理将转化为，进而可求面积.试题解析：（）由已知得 .，又函数在的单调递减区间为和. （）由（1）知锐角， 又，即.又 .18. 某职称晋级评定机构

12、对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（参考公式：，其中）（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望【答案】(1) (2) 有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关(3)见解析【解析】试题分析：（1）根据频率和为1，列方程求出a的值；（2）由频率分布直方图计算晋级成功的频率，填写列联表，计算观测值k2，对照临界值

13、得出能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由晋级失败的频率估计概率，得xb（4，），计算对应的概率，写出x的分布列，计算数学期望值试题解析：()由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故.()由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，故晋级成功的人数为（人），故填表如下假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关（iii）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为，故可视为服从二项分布，即， 故 ， ， ， ， ，故的分布列为01234 或（.1

14、9. 如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面aa1c1c底面abc，aa1=a1c=ac=2，ab=bc且abbc，（）求证：aca1b；（）求二面角aa1cb的余弦值【答案】(1) 见解析(2)【解析】试题分析：（）作ac的中点o，由a1a=a1c，且o为ac的中点，得a1oac，再由面面垂直的性质可得a1o底面abc，以o为坐标原点，ob、oc、oa1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，由=0，可得aca1b；（）求出平面aa1c与平面a1cb的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角aa1cb的余弦值试题解析：（）证明：作ac的中点o，a1a=a1c，且o为

15、ac的中点，a1oac，又侧面aa1c1c底面abc，其交线为ac，且a1o平面aa1c1c，a1o底面abc，以o为坐标原点，ob、oc、oa1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知得：o（0，0，0），a（0，1，0），a1（0，0，），c（0，1，0），c1（0，2，），b（1，0，0）则有：，=0，aca1b；（）解：平面aa1c的一个法向量为设平面a1cb的一个法向量，由，取z=1，得cos=二面角aa1cb的余弦值为点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的

16、法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆的离心率，两焦点分别为，右顶点为，. （）求椭圆的标准方程； （）设过定点的直线与双曲线的左支有两个交点，与椭圆交于两点，与圆交于两点，若的面积为，求正数的值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（）由已知，可得，又，即可得解.（）由可得，结合直线与双曲线的左支有两个交点，必有. .可得.试题解析：（）由已知，不妨设，即，又， ，椭圆的标准方程为.（）依题设，如图，直线的斜率存在，设，由得，即，点到直线的距离为,整理得，解得或， 又由直线与圆相交，

17、有，解得，依题设，直线与双曲线的左支有两个交点，必有. .此时， 正数.点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解21. 设a 0，已知函数(x0)()讨论函数的单调性；()试判断函数在上是否有两个零点，并说明理由【答案】(1)见解析(2) 函数没有

18、两个零点【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）假设2个零点，推出矛盾即可试题解析：（），设，则，当时，即，在上单调递增；当时，由得，, 可知，由的图象得：在和上单调递增； 在 上单调递减 （）解法：函数在上不存在两个零点假设函数有两个零点，由（）知，因为，则，即，由知，所以，设，则（）， 由，得，设，得，所以在递增，得，即，这与（）式矛盾， 所以上假设不成立，即函数没有两个零点请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。22. 选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线c：sin2=2acos（a0），已知过点p（2，4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线 与曲线c分别交于m，n（1）写出曲线c和直线l的普通方程；（2）若|pm|，|mn|，|pn|成等比数列，求a的值【答案】(1) y2=2ax，y=x2 (2) a=1【解析】试题分析：（1）根据将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程，根据加减消元得直线l的普通方程；（2）由等比数列条件得(t1t2