第三章――傅里叶变换

1、第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数可由三角函数的线性组合来表示，若的周期为，角频率，频率，傅里叶级数展开表达式为各谐波成分的幅度值按下式计算 其中狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即等于有限值。（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即其中其中为从到的整数。（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于为偶函数，所以为奇函数，则所以，在偶函数

2、的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。（2） 奇函数由于为奇函数，所以为奇函数，则 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（） 半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。（四） 傅里叶有限级数与最小方均误差吉布斯现象：在用有限项傅里叶级数合成原周期函数时，当选取傅里叶有限项级数愈多时，在所合成的波形中出现的峰起愈靠近的不连续点。当所选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象通常称为

3、吉布斯现象。3.2傅里叶变换（一）定义傅里叶正变换：傅里叶逆变换：式中是的频谱函数，它一般是复函数，可以写作习惯上把和曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。（二）典型非周期信号的傅里叶变换1 单边指数信号其 ， ， 2 双边指数信号其 ， ， 3 符号函数其 ， ， 3.3周期信号的傅里叶变换(一) 正弦、余弦信号的傅里叶变换 由欧拉公式：和可知(二) 一般周期信号的傅里叶变换已知周期信号的周期为，角频率为，可以将其展开成傅里叶级数其中傅里叶级数的系数为则该周期信号的傅里叶变换为 式表明：周期信号的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些周期信号位于信号的谐频处，每个冲击的强度等于的傅里叶级数相应系数

4、的倍。例 若单位冲激函数的间隔为，用符号表示周期单位冲激序列，即求单位周期冲激序列的傅里叶级数和傅里叶变换。解 因为是周期函数，所以可以把它展开成傅里叶级数其中于是由上式知所以（三）周期性脉冲序列的傅里叶级数与单脉冲的傅里叶变换的关系 已知周期信号的傅里叶级数是其中，傅里叶系数从周期性脉冲序列中截取一个周期，得到所谓的单脉冲信号，该单脉冲信号的傅里叶变换等于比较周期性脉冲序列的傅里叶级数的系数和单脉冲的傅里叶变换可以得到 式表明：周期性脉冲序列的傅里叶级数的系数等于单脉冲的傅里叶变换在频率点的值乘以。例 已知周期矩形脉冲信号的幅度为，脉宽为，周期为，角频率为，求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数与傅

5、里叶变换。解 已知矩形脉冲信号的傅里叶变换等于由上式可以求出周期矩形脉冲信号的傅里叶系数这样，的傅里叶级数为再由上式便可以得到的傅里叶变换，它是3.4抽样定理（一） 时域抽样信号的傅里叶变换假设连续信号的傅里叶变换为 ；抽样脉冲序列的傅里叶变换为 ；抽样后信号的傅里叶变换为 。现经分析计算得该式表明：信号在时域被抽样后，它的频谱是连续信号频谱的形状以抽样频率为间隔周期地重复而得到，在重复的过程中幅度被的傅里叶系数所加权。（二） 频域抽样信号的傅里叶变换 已知连续频谱函数，对应的时间函数为。若在频域中被间隔为的冲激序列抽样，那么抽样后的频谱函数所对应的时间函数与的关系如下：该是表明：若的频谱被间隔为的冲激序列在频域中抽样，则在时域中等效于以为周期而重复。（三） 时域抽样定理一个频谱受限的信号，如果频谱只占据的范围，则信号可以用等间隔的抽样值唯一地表示，而抽样间隔必须不大于奈奎斯特间隔（其中），或者说，最低抽