数学人教版九年级上册垂直于弦的直径.ppt

1、24.1圆的有关性质（第2课时） 垂直于弦的直径,九年级上册,你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m,赵州桥主桥拱的半径是多少？,回忆： 圆的有关概念,1、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.小于半圆的弧叫做劣弧，如 （用两个大写字母表示）；大于半圆的弧叫做优弧，如 或,O,A,B,C,D,（用三个大写字母表示）,2、连接圆上任意两点间的线段叫做弦，如弦AB,能够完全重合的两条弧叫做等弧,3、经过圆心的弦叫做直径，如直径CD 注意：直径是弦，但弦不一定是

2、直径 半圆是弧，但弧不一定是半圆 半圆既不是劣弧，也不是优弧,活动一：请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重复做几次，你发现了什么？,O,可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴,O,A,B,C,D,E,活动二：巧手做一做,1、取出准备好的圆形纸片，记为O，折出这个圆的一条对称轴（直径CD所在的直线） 2、用折叠的方法在O上找到两个点A、B,使这两个点关于直径CD对称。 观察上面的过程，你发现了哪些相等的线段和弧？,AE=BE,线段： 弧：,条件 结论,D,B,直径,平分弦,O,A,C,E,垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,CD是直径，CDAB

3、,几何语言：,AE=BE,AC=BC,AD=BD.,直径垂直于弦,平分弦所对的优弧,平分弦所对的劣弧,证明：连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAE和RtOBE中,OA=OB，OE=OE，,RtOAERtOBE.,AE=BE.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,如何证明？,已知：在O中，CD是直径，AB是弦， CDAB，垂足为E求证：AEBE，ACBC，ADBD,活动三 利用新知 解决问题,例1、如图，在O中，直径AB=10，弦CDAB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长.,解：连结OC AB=2OC=10 OC=5,又CDAB OE=3,

4、CD=2CE,CD=8,1如图，在O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为3 cm，求O的半径,O,A,B,E,解：,答：O的半径为5 cm.,在RtAOE中,过点O，作OEAB，连接AO,OEAB AB=8,变式训练,2、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,解：连接OA, CD是直径，OEAB, AE= AB=5,设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得,解得：x=13, OA=13, CD=2OA=26,即直径CD的长为26.,例2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：ACBD。,证明：过O作O

5、EAB，垂足为E，,E,想一想,则AEBE，CEDE,AECEBEDE。,ACBD,例3.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,r,D,O,A,B,C,37.4m,7.2m,问题回解,r,D,O,A,B,C,37.4m,7.2m,解：如图，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高., AB=37.4m，CD=7.2m, AD= AB=18.7m，

6、OD=OC-CD=r-7.2,解得r=27.9（m）,即主桥拱半径约为27.9m.,例4、O半径为10，弦AB=16，CD=12，ABCD.求AB与CD之间的距离.,拓广探索,解；圆心O在AB、CD同侧时,过点O，作OEAB交AB于点E，延长线交CD于点F,连接OC，OA,E,F,O,O,E,F,ABCD OFCD,又AB=16，CD=12AE= AB=8, CF= CD=6,在RtAOE中 OE=,在RtCOF中 OF=,EF=86=2,解；圆心O在AB、CD之间时,EF=8+6=14,1.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,巩固练习,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理:,这节课你学到了哪些？有什么体会？,技巧：重要辅助线是过圆心