医用高等数学课件：6 定积分 1

1、定 积 分,曲边梯形的面积,曲边三角形面积,已知的面积计算方法,区域分割法,1. 分割曲边三角形,2. 逐块取近似值（大）,3. 逐块取近似值（小）,4. 面积估计,5. 继续细分,5.继续细分,猜测面积： 1000 + 1000 /2=0.3333335,6. 归纳前法,6. 归纳前法,7. 求前式极限,同理可证：,综合两者得到：= 1 3,同法求曲边梯形面积,将区间,等分为段,1. 取右端点函数值,区域面积近似值,1. 取右端点函数值,1.取右端点函数值,2. 区域面积,当=()为连续函数时， 设其在区间,上围成的 曲边梯形面积为，则有 下面的极限等式成立：,过渡到定积分的定义,在每个区间

2、内任意取一点 （不限于只能取左右端点）,过渡到定积分的定义,同样有：,过渡到定积分的定义,若对任意 的选取方式 极限始终存在且相等， 则称=()在区间 ,上可积，并记其值 () ,类属黎曼积分,Bernhard Riemann（黎曼）,September 17, 1826 July 20, 1866,1. 师从高斯，深受高斯好评。 2. 在分析、数论、微分几何等领域 有杰出贡献。 3. 黎曼几何深刻影响广义相对论。 4. 黎曼猜想是数学界最重要的猜想， 其重要性远高于哥德巴赫猜想。,定积分（直观形象）,定积分（直观形象）,定积分的性质,定积分的性质,定积分的性质,定积分的性质,定积分的性质,定

3、积分的性质,微积分基本定理,1. 变限积分函数(),变上限积分函数,微积分基本定理,2. 变限积分函数的导数,微积分基本定理,原函数存在定理,()为连续函数，则 是其原函数。,变限积分函数的导数,例1. 计算,的导数。,解：由原函数存在定理,变限积分函数的导数,例2. 计算,的导数。,解：将函数()视为以下两个函数的复合,所以,变限积分函数（辨析）,积分号内不是积分变量构成的函数都可视作常量。,是积分变量（形式变量），不得与积分上下限变量名相同。,变限积分函数的导数,例3. 设()连续，,，求 。,分析：直接对函数()求导是困难的，因为被积函数含有。 要先分解被积函数，将非积分变量 的部分视为

4、常量， 提到积分号之外。,解：,变限积分函数的导数,例3. 设()连续，,，求 。,续：,变限积分函数的导数,例3. 设()连续，,，求 。,续：,微积分基本定理,牛顿-莱布尼兹公式,定理 设()在 , 上连续， 是 在 , 上的一个原函数， 则,微积分基本定理,牛顿-莱布尼兹公式,证明： 由()在 , 上连续，所以其必有原函数 ，其中,若 也是 的一个原函数，由Lagrange中值定理推论， 与()的差为常数，即,由 =0可知， =,下面计算的值,微积分基本定理,牛顿-莱布尼兹公式,这个公式的重要性在于，它将不定积分与定积分紧密联系起来。,定积分,()是()的原函数（不定积分）,微积分基本定理,微积分基本定理,习 题 时 间,1. 计算= cos 在 0, 2 上与轴围成区域的面积,解：,习 题 时 间,1. 求,使得,解：,注意到,是常数，,设,因此,