初一数学绝对值典型例题精讲

1、.第三讲 绝对值内容概述绝对值是有理数中非常重要的组成部分， 它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。绝对值的定义及性质绝对值简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义及性质绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。绝对值的性质：（ 1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a| 0，这是绝对值非常重要的性质；a（ a 0）（ 2）|a|=0（ a=0）（代数意义）-a(a 0)（ 3） 若 |a|=a，则 a 0；若 |a|=-a，则 a 0；（

2、4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a| a，且 |a| -a；（ 5） 若 |a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；（几何意义）（ 6） |ab|=|a| |b|； | a |= | a | （ b0）；b| b |（ 7）|a| 2 =|a 2 |=a 2 ；（ 8）|a+b| |a|+|b|a-b| |a|-|b|a|+|b| |a+b|a|+|b| |a-b|. 例 1（ 1）绝对值大于 2.1而小于 4.2 的整数有多少个？（ 2）若 ab|ab|，则下列结论正确的是（）a.a 0，b 0b.a 0， b 0c.a 0， b 0d.ab 0（ 3）下列

3、各组判断中，正确的是（）a 若 |a|=b，则一定有 a=bb. 若 |a| |b|,则一定有 abc. 若 |a|b，则一定有 |a| |b|d. 若|a|=b，则一定有 a 2 =(-b) 2（ 4） 设 a， b 是有理数，则 |a+b|+9 有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（ 1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1 而小于 4.2的整数有 3， 4，有 4 个（ 2）答案 c 不完善，选择 d.在此注意复习巩固知识点3。（ 3）选择 d。（ 4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b| 0，则 |a+b| 9，有最小值 9 巩固 绝对值小于3.1 的整数有哪些？它们的和为多少？：绝对

4、值小于3.1 的整数有0， 1， 2， 3，和为 0。 巩固 有理数 a 与 b 满足 |a|b|，则下面哪个答案正确（）a.a bb.a=bc.abd. 无法确定分析：选择d 。 巩固 若|x-3|=3-x ，则 x 的取值范围是 _分析：若 |x-3|=3-x ，则 x-3 0，即 x 3。对知识点3 的复习巩固 巩固 若 a b，且 |a|b|，则下面判断正确的是（）a.a 0b.a 0c.b 0d.b 0分析：选择c 巩固 设 a， b 是有理数，则 -8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？分析： |a-b| 0， -8-|a-b| -8，所以有最大值-8 例 2（ 1）（竞

5、赛题）若 3|x-2|+|y+3|=0 ，则 y 的值是多少？x（ 2）若 |x+3|+(y-1) 2 =0，求 (4 )n 的值yx.分析：（ 1） |x-2|=0， |y+3|=0 ， x=2， y=-3 ， y =3x2244（ 2）由 |x+3|+ （ y-1 ） =0，可得 x=-3， y=1 。=-1yx 13n 为偶数时，原式 =1； n 为奇数时，原式 =-1小知识点汇总： （本源 |a| 0 b 2 0）22且 x-b=0；若 (x-a) +(x-b) =0, 则 x-a=0若 |x-a|+(x-b)2=0, 则 x-a=0 且 x-b=0 ；若 |x-a|+|x-b|=0

6、，则 x-a=0 且 x-b=0 ；当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0简单的绝对值方程【例 3】（ 1） 已知 x 是有理数，且 |x|=|-4|，那么 x= （ 2） 已知 x 是有理数，且 -|x|=-|2|，那么 x= （ 3） 已知 x 是有理数，且 -|-x|=-|2| ，那么 x= （ 4）如果 x， y 表示有理数，且x，y 满足条件 |x|=5， |y|=2 ， |x-y|=y-x ，那么 x+y的值是多少？分析：（ 1）4， -4（2） 2， -2， （ 3） 2，-2（ 4）x= 5， y= 2，且 |x-

7、y|=y-x ， x-y 0；当 x=5 ， y=2 时不满足题意；当 x=5 ， y=-2 时不满足题意；当 x=-5 ， y=2 时满足题意； x+y=-3 ；当 x=-5 ， y=-2 时满足题意， x+y=-7 。【巩固】巩固 |x|=4， |y|=6，求代数式 |x+y|的值分析：因为 |x|=4，所以 x= 4，因为 |y|=6 ，所以 y= 6当 x=4， y=6 时， |x+y|=|10|=10 ； 当 x=4， y=-6 时， |x+y|=|-2|=2;当 x=-4， y=6 时， |x+y|=|2|=2 ； 当 x=-4 ， y=-6 时， |x+y|=|10|=10【例

8、4】.解方程：（ 1） 3 | x 5 | 502（ 2） |4x+8|=12（ 3） |3x+2|=-1（ 4）已知 |x-1|=2，|y|=3，且 x 与 y 互为相反数，求1x2xy 4 y 的值3分析：（ 1）原方程可变形为：|x+5|= 10 ，所以有 x+5= 10 ，进而可得： x=- 5， -25 ；3333（ 2）4x+8= 12， x=1 ，x=-5（ 3）此方程无解（ 4） |x-1|=2， x-1= 2，x=3 ， x=-1 ， |y|=3， y= 3，且 x 与 y 互为相反数，所以x=3 ，y=-3 ， 1 x2xy 4 y 243【例 5】 若已知 a 与 b 互

9、为相反数，且 |a-b|=4，求 aabb 的值a 2ab1分析： a 与 b 互为相反数，那么a+b=0。aab bab ab0 abb |4, a b4,a 2ab 1=ab,| aa(a b) 1 a 0 1当 a-b=4 时，且 a+b=0，那么 a=2， b=-2 ， -ab=4；当 a-b=-4 时，且 a+b=0，那么 a=-2， b=2， -ab=4；aabb综上可得2ab=4a1化简绝对式【例 6】（ 1）已知 a=- 1，b=-1 ，求 | 2a4b |42的值23(a2b) 2| a 2b | 4b 3 | 2a3 |（ 2） 若 |a|=b，求 |a+b|的值（ 3）

10、化简： |a-b| 14|42183分析：（ 1）原式 =212)2143 |7(3| |3 | 12233（ 2）|a|=b，我们可以知道 b 0，当 a0 时， a=-b，|a+b|=0；当 a0 时， a=b，|a+b|=2b（ 3）分类讨论。.当 a-b 0 时，即 ab， |a-b|=a-b；当 a-b=0 时，即 a=b， |a-b|=0；当 a-b 0 时，即 ab， |a-b|=b-a。【巩固】化简：（ 1） |3.14- |（2） |8-x|（ x 8）分析：（ 1） 3.14， 3.14- 0， |3.14- |= -3.14（ 2） x 8， 8-x 0， |8-x|=x

11、-8 。【例 7】有理数a， b， c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|cb 0a分析： |b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（ a+c） -（c-b） =2b-2c【巩固】已知a， b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a0cb分析： |a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a， b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|a0b分析： |a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|=-（ a+b） +（ b-a） +b- （

12、-2a） =b【例 8】（ 1）若 a-b 且 a0 ，化简 |a|-|b|+|a+b|+|ab|b（ 2）若 -2 a 0，化简 |a+2|+|a-2|（ 3）已知 x00,|y|z|x|, 求 |x+z|+|y+z|-|x-y| 的值分析：（ 1）若 a-b 且 a0 ，a0,b0,a+b0b|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a(2)因为 -2 a 0，所以 a+2 0， a-2 0， |a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4(3)由 x00 可得： y0|z|x|,可得： yxz; 原式 =x+z-y-z-x+y=0【巩固】如果0m10 并且

13、 m x 10，化简 |x-m|+|x-10|+|x-m-10|分析： |x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x【例 9】（ 1）已知 x-3,化简 |3+|2-|1+x|2a|3a |（ 2）若 a0，试化简| 3a |a |分析：（ 1）当 x-3 时， |3+|2-|1+x|=|3+|2+1+x|=|3+|3+x|=|3-3-x|=|-x|=-x.2a| 3a | 2a3a=5a5（ 2）=4a=-| 3a | a | | 3a a |4【例 10】若 abc 0，则 abc的所有可能值| a | b | c |分析：从整体考虑：（ 1） a，

14、 b， c 全正，则abc| a | b |=3；| c |（ 2） a， b， c 两正一负，则（ 3） a， b， c 一正两负，则abc| a | b |=1；| c |abc| a | b |=-1 ；| c |abc（ 4） a， b， c 全负，则| b |=-3| a | c |【巩固】有理数a， b， c， d，满足 | abcd |1，求 | a |b |c | d | 的值分析：有 | abcd |abcdabcd1 知 abcd0，所以 a， b， c， d 里含有 1 个负数或3 个负数：abcd（ 1） 若含有 1 个负数，则（ 2） 若含有 3 个负数，则【例 11

15、】化简 |x+5|+|2x-3| a | | b | | c | d |abc=2；d| a | | b | | c | d |abc=-2d分析：先找零点。x+5=0 ， x=-5 ； 2x-3=0 ， x= 3 ，零点可以将数轴分成几段。2当 x 3 ， x+5 0,2x-3 0， |x+5|+|2x-3|=3x+2 ；2当 -5 x 3 ， x+5 0,2x-3 0， |x+5|+|2x-3|=8-x ；2当 x-5 ， x+50,2x-3 ， |x+5|+|2x-3|=-3x-2【巩固】化简：|2x-1|分析：先找零点。2x-1=0 ， x= 1 ，依次零点可以将数轴分成几段12（ 1

16、）,2x-10 ， |2x-1|=（ 2x-1） =1 2x；x 1 ，2x-10 ， |2x-1|=2x-1 。也可将（ 2）与（ 1）合并写出 果2【例 12】求 |m|+|m-1+|m-2| 的 分析：先找零点，m=0， m-1=0 ， m-2=0 ，解得 m=0,1,2依 三个零点将数 分 四段：m 0,0 m 1,1 m 2， m 2。当 m0 ，原式 = m （ m-1） -（ m-2） =-3m+3当 0 m 1 ，原式 =m- （ m-1） -（ m-2） =-m+3当 1 m 2 ，原式 =m+ （ m-1） -（ m-2） =m+1当 m2 ，原式 m+(m-1)+ （ m

17、-2） =3m-3 几何意 的 用|a|的几何意 ：在数 上，表示 个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意 ：在数 上，表示数a，b 数 上两点 的距离【例 13】求 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7| 的最小 分析：由上 可知，本 中的式子 x 所 的点分 到3,5,2， -1， -7 所 的点距离和。通 数 可以看到，当x=2 ，五段距离的和有最小 16。 里我 可以把小学奥数中的相关知 系到一起 解：【小学奥数相关 目】如 ， 在接到上有a 、b、c、d 、e 五 居民楼， 在 立一个 筒， 使五 楼的居民到 筒的就努力之和最短， 局 立于何 ？ab cde分析

18、：我 来分析以下a 、e 两个点，不 个 筒放在ae 之 的哪一点，a 到 筒的距离加上 e 到 筒的距离就是ae 的 度。也就是 筒放在哪不会影响 两个点到 筒的距离之和。那么我 就使其他的3 个点到 筒的距离之和最短，再看 了使b、d 两个到 筒的距离之和也是不 的，等于bd 。最后，只需要考 c 点到 筒的距离最近就行了。那么当然也就是把 筒放在c 点了。 里就体 了一个“向中心靠 的思想” 后小 ：求 |x-a 1 |+|x-a 2 |+ +|x-a n |的最小 ：当 n 奇数 ，把 a1 、a 2 、 a n 从小到大排列， x 等于最中 的数 ， 式子的 最小。.当 n 偶数 ，

19、把a 、a2、 an从小到大排列， x 取最中 两个数 之 的数（包括1最中 的数） ， 式子的 最小。【巩固】探究 |a|与 |a-b|的几何意 分析： |a|即 表示a 的点 a 与原点之 的距离，也即 段ao 的 度。关于 |a-b|，我 可以引入具体数 加以分析：当 a=3， b=2 ， |a-b|=1； 当 a=3， b=-2 ， |a-b|=5；当 a=3， b=0 ， |a-b|=3； 当 a=-3， b=-2 ， |a-b|=1；从上述四种情况分 在数 上 注出来，我 不能 ：|a-b| 的是点a 与点b 之 的距离，即 段ab 的 度。【巩固】 a 1 、a 2 、a 3 、

20、a 4 、a 5 五个有理数， 足 a1 a 2 a 3 a 4 a 5 ,求|x- a 1 |+|x- a 2 |+|x-a 3 |+|x- a 4 |+|x- a 5 |的最小 分析：当x= a 3 有最小 ， a 4 + a 5 - a 1 - a 2【例 14】 abcbc,那么 a+b-c=分析：根据 意可得：a= 1， b=-2 ，c=-3，那么 a+b-c=0 或 2【例 2】已知 (a+b) 2+|b+5|=b+5, 且 |2a-b-1|=0，那么 ab=分析：因 (a+b) 2 +|b+5|=b+5, 我 可以知道b+50 ，所以原式可以表示 ：(a+b) 2 +b+5=b+

21、5 ， (a+b) 2=0 ， a=-b ，又 因 为 |2a-b-1|=0 ， 进 而 2a-b-1=0 ， 进 而2a-b-1=0,3a=1 ，a=1 ，b=-1 ， ab=-1339【例 3】 于 |m-1|，下列 正确的是（）a.|m-1| |m|b.|m-1| |m|c. |m-1| |m|-1d. |m-1| |m|-1分析：我 可以分 ， 但那 于做 都 于麻 了。我 可以用特殊 法代入 ， 于 的 目我 一般需要 入正数、 数、0,3 种数帮助找到准确答案。易得答案 c。【例 4】设 a，b， c 数，且 |a|+a=0，|ab|=ab， |c|-c=0，化 |b|-|a+b|

22、-|c-b|+|a-c|.分析： |a|+a=0， |a|=-a， a 0； |ab|=ab， ab 0； |c|-c=0， |c|=c，c 0。所以可以得到a 0， b 0， c 0；|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+ （a+b） -（ c-b）- （a-c）=b【例 5】化简： |x-1|-2|+|x+1|分析：先找零点。x-1=0 ，x=1 ， |x-1|-2=0 ， |x-1|=2 ， x-1=2 或 x-1=-2 ，可得x=3 或者 x=-1 ；x+1=0 ，x=-1 ；综上所得零点有 1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。（ 1） x 3，x-10 ， |x-

23、1|-2 0， x+10, |x-1|-2|+|x+1|=2x-2 ；（ 2） 1 x3， x-1 0， |x-1|-20 ， |x-1|-2|+|x+1|=4 ；（ 3） -1 x 1， x-10 ， |x-1|-20 ， x+1 0， |x-1|-2|+|x+1|=2x+2 ；（ 4） x-1,x-10,|x-1|-20,x+10, |x-1|-2|+|x+1|=-2x-2【例 6】已知有理数 a， b， c 满足 | a | b | c |1 ，求 | abc| 的值abcabc分析：对于任意的整数a，有 | a |1，若 | a | b | c |1 ，则 a， b， c 中必aabc是两正一负，则 abc0 ，则 x+y 的值为多少？（ 2）解方程： |4x-5|=8分析：（ 1）x= 2， y= 3，.当 x=2 ，y=3 时，不满足 x-y 0；x=2， y=-3 时，满足x-y 0，那么 x+y=-1 ；x=-2