立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

1、球与多面体的内切、外接,球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？,二、球与多面体的接、切,定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。,定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 。,多面体的外接球,多面体的内切球,剖析定义,1,一、由球心的定义确定球心,在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。,一、定义法 针对讲解,1,求正方体、长方体的外接球的有关问题,2,2,出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体

2、。,求正方体、长方体的外接球的有关问题,例 2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）,A. B. C. D.,破译规律-特别提醒,2,球与正四面体内切接问题,3,【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积,球与正四面体内切接问题,3,正四面体内切、外接结论,3,球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r3：1.外接球半径： 内切球半径： 结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径 (为正四面体的高)，且外接球的半径 ,

3、2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。,3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。,1,例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ),在正三棱锥中，BE 是正BCD的高，,O1 是正BCD的中心，且AE 为斜高,解法1：,作 OF AE 于 F,设内切球半径为 r，则 OA = 1 r, Rt AFO Rt AO1E,例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,解法2：,设球的半径为 r，则 VA- BCD =,VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BC

4、D,注意：割补法，,变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）,A ,球的内接正方体的对角线等于球直径。,变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，则（ ）,A以下四个图形都是正确的 B只有是正确的 C只有是正确的 D只有是正确的, ,D,解法2：,直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。,4,解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径 ，从而解决问题。,正棱锥的外接球的球心是在其高上,5,正棱锥的外接球的球心是在其

5、高上,5,测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心,6,若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。,7,破译规律-特别提醒,03,例题剖析-针对讲解,2,举一反三-突破提升,04,1、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为_.,举一反三-突破提升,4,2、（2015 郑州三模） 正三角形ABC的边长为 ，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为 ，此时四面体ABCD的外接球的体积为。,等边三角形,举一反三-突破提升,4,3.(2015 南昌二模）某几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O 的球面上，球O的表面积是 （ ）,C,举一反三-突破提升,4,4.（2015 石家庄一模）三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,Q为底面 内一点，若Q到三个侧面的距离分别为3,4,5,则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为,-29-,考点一 考点二 考点三,-30-,考点一 考点二 考点三,-31-,-32-,.四棱锥PABC