内蒙古包头市2020年高考数学一模试卷文科

1、2017年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（2+i）=（）a5b3+4ic3d5+4i2已知集合a=3，2，1，b=xz|2x1，则ab=（）a1b2，1c3，2，1，0d3，2，1，0，13设向量=（，1），=（2，1），则|2=（）abc2d4圆e经过三点a（0，1），b（2，0），c（0，1），且圆心在x轴的正半轴上，则圆e的标准方程为（）a（x）2+y2=b（x+）2+y2=c（x）2+y2=d（x）2+y2=5若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab=2，bc=1

2、，则质点落在以cd为直径的半圆内的概率是（）abcd6某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12，则它的表面积是（）a18+16b20+16c22+16d24+167若将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，则平移后函数的一个零点是（）a（，0）b（，0）c（，0）d（，0）8如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为17，14，则输出的a=（）a4b3c2d19已知函数f（x）=x3+ax+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a=（）a1b1c2d310函数f（x）=6cos（+x）cos2x的最小

3、值是（）a7b6c5d411设抛物线c：y2=4x的焦点为f，倾斜角为钝角的直线l过f且与c交于a，b两点，若|ab|=，则l的斜率为（）a1bcd12若函数f（x）=（x1）（x+2）（x2+ax+b）是偶函数，则f（x）的最小值为（）abcd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a=bcosc+csinb，则b=14若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为15已知直线a，b，平面，满足a，且b，有下列四个命题：对任意直线c，有ca；存在直线c，使cb且ca；对满足a的任意平面，有；存在平面，使b其中正确的命题有（填写

4、所有正确命题的编号）16已知函数f（x）是定义在r上的可导函数，其导函数为f（x），若对任意实数x有f（x）f（x），且y=f（x）1的图象过原点，则不等式1的解集为三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17（12分）已知数列an的前n项和为sn，且sn=2an3n（nn+）（1）求a1，a2，a3的值；（2）设bn=an+3，证明数列bn为等比数列，并求通项公式an18（12分）如图是某企业2010年至2016年污水净化量（单位：吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20102016（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明

5、；（2）建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业污水净化量；（3）请用数据说明回归方程预报的效果附注：参考数据： =54，（ti）（yi）=21，3.74，（yi）2=参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=， =反映回归效果的公式为r2=1，其中r2越接近于1，表示回归的效果越好19（12分）如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，ac=ab1（1）证明：abb1c；（2）若cab1=90，cbb1=60，ab=bc=2，求三棱锥b1acb的体积20（12分）已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）当a1时，求证：函数f

6、（x）在（0，+）上单调递增；（）若函数y=|f（x）t|1有三个零点，求t的值21（12分）已知椭圆c： +y2=1与x轴、y轴的正半轴分别相交于a、b两点点m、n为椭圆c上相异的两点，其中点m在第一象限，且直线am与直线bn的斜率互为相反数（1）证明：直线mn的斜率为定值；（2）求mbn面积的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆c的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为=0，其中0满足tan0=，l与c交于a，b两点，求|ab|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f

7、（x）=|x|+|x|，a为不等式f（x）x+的解集（1）求a；（2）当aa时，试比较|log2（1a）|与|log2（1+a）|的大小2017年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（2i）（2+i）=（）a5b3+4ic3d5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（2i）（2+i）=4+2i+2ii2=3+4i故选：b【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2已知集合a=3，2，1，b=xz|2x1，则

8、ab=（）a1b2，1c3，2，1，0d3，2，1，0，1【考点】并集及其运算【分析】先分别求出集合a，b，由此利用并集定义能求出ab【解答】解：集合a=3，2，1，b=xz|2x1=2，1，0，1，ab=3，2，1，0，1故选：d【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用3设向量=（，1），=（2，1），则|2=（）abc2d【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出【解答】解： =|2=故选：a【点评】本题考查了向量坐标运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4圆e经过三点a（0，1），b（2，0），

9、c（0，1），且圆心在x轴的正半轴上，则圆e的标准方程为（）a（x）2+y2=b（x+）2+y2=c（x）2+y2=d（x）2+y2=【考点】圆的标准方程【分析】根据题意，设圆e的圆心坐标为（a，0）（a0），半径为r；利用待定系数法分析可得，解可得a、r的值，代入圆的标准方程即可得答案【解答】解：根据题意，设圆e的圆心坐标为（a，0）（a0），半径为r；则有，解可得a=，r2=；则要求圆的方程为：（x）2+y2=；故选：c【点评】本题考查圆的标准方程，要用待定系数法进行分析，关键是求出圆心的坐标以及半径5若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab=2，bc=1，则质点落在以cd

10、为直径的半圆内的概率是（）abcd【考点】几何概型【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【解答】解：ab=2，bc=1，长方体的abcd的面积s=12=2，圆的半径r=1，半圆的面积s=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以ab为直径的半圆内的概率是=，故选：c【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础6某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是12，则它的表面积是（）a18+16b20+16c22+16d24+16【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可得几何体是圆柱去掉个圆柱，圆柱的底面半径为：r

11、；高为：2r，代入体积，求出r，即可求解表面积【解答】解：由题意可知：几何体是圆柱去掉个圆柱，圆柱的底面半径为：r；高为：2r几何体的体积为：，r=2几何体的表面积为： =18+16故选a【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量7若将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，则平移后函数的一个零点是（）a（，0）b（，0）c（，0）d（，0）【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【分析】由条件根据诱导公式、y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，可得2cos2

12、（x）=2cos（2x）令2x=（kz）解得：x=（kz），函数的对称点为（，0）当k=1时，可得一个零点是（，0）故选：a【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，比较基础8如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为17，14，则输出的a=（）a4b3c2d1【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算17，14的最大公约数，由17，14的最大公约数为1，故选：d【点评】本题考查的知识点

13、是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答9已知函数f（x）=x3+ax+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a=（）a1b1c2d3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可【解答】解：函数f（x）=x3+ax+1的导数为：f（x）=3x2+a，f（1）=3+a，而f（1）=a+2，切线方程为：ya2=（3+a）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以7a2=（3+a）（21），解得a=1故选b【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力10函数f（x）=6cos（+x）cos2x

14、的最小值是（）a7b6c5d4【考点】三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，转化为二次函数问题求解最小值即可【解答】解：函数f（x）=6cos（+x）cos2x化简可得：f（x）=6sinx+2sin2x1=2（sin+）21当sinx=1时，函数f（x）取得最小值为5故选：c【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式化简能力和转化思想求解最小值问题属于基础题11设抛物线c：y2=4x的焦点为f，倾斜角为钝角的直线l过f且与c交于a，b两点，若|ab|=，则l的斜率为（）a1bcd【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意设出直线ab的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合弦

15、长公式得答案【解答】解：由y2=4x，得f（1，0），设ab所在直线方程为y=k（x1），联立y2=4x，得k2x2（2k2+4）x+k2=0设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=2+，|ab|=，2+2=，倾斜角为钝角，k=，故选d【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题12若函数f（x）=（x1）（x+2）（x2+ax+b）是偶函数，则f（x）的最小值为（）abcd【考点】函数的最值及其几何意义【分析】根据题意，由于函数f（x）为偶函数，则可得f（x）=f（x），即（x1）（x+2）（x2ax+b）=（x1）（x+2）（x2+

16、ax+b），分析可得a、b的值，即可得函数f（x）的解析式，对其求导，分析可得当x=时，f（x）取得最小值；计算即可的答案【解答】解：根据题意，函数f（x）=（x1）（x+2）（x2+ax+b）是偶函数，则有f（x）=f（x），即（x1）（x+2）（x2ax+b）=（x1）（x+2）（x2+ax+b）分析可得：2（1a+b）=0，4（4+2a+b）=0，解可得：a=1，b=2，则f（x）=（x1）（x+2）（x2x2）=x45x2+4，f（x）=4x310x=x（4x210），令f（x）=0，可得当x=时，f（x）取得最小值；又由函数为偶函数，则f（x）min=（）45（）2+4=；故选：c【

17、点评】本题考查函数的最值计算，关键是利用函数的奇偶性求出a、b的值，确定函数的解析式二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a=bcosc+csinb，则b=【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理和三角形内角和定理消去a，和差公式打开可得b的大小【解答】解：由a=bcosc+csinb以及正弦定理：可得：sina=sinbcosc+sincsinbsinbcosc+sinccosb=sinbcosc+sincsinbsinccosb=sincsinbsinc0cosb=sinb0b，b=故答案为【点评】本题考了正弦定理和三角形内角

18、和定理以及两角和与差的计算属于基础题14若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论【解答】解：先作出不等式对应的区域，z=2x+y的最大值，由图形可知直线z=2x+y过a时，目标函数取得最大值，由，解得，即a（1，6），z=2x+y=21+6=8故答案为：8【点评】本题主要考查线性规划的应用，求出目标函数和条件对应直线的交点坐标是解决本题的关键15已知直线a，b，平面，满足a，且b，有下列四个命题：对任意直线c，有ca；存在直线c，使cb且ca；对满足a的任意平面，有；存在平面，使b其中正确的命题有

19、（填写所有正确命题的编号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对任意直线c，a，有ca，正确；cb，c，可得存在直线c，使cb且ca，正确；对满足a的任意平面，根据平面与平面垂直的判定，有，正确；存在平面，=l，bl，可使b，正确故答案为【点评】本题考查空间线面、面面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16已知函数f（x）是定义在r上的可导函数，其导函数为f（x），若对任意实数x有f（x）f（x），且y=f（x）1的图象过原点，则不等式1的解集为（0，+）【考点】导数的运算【分析】构造函数g（x）=，研究g（x）的单调性，结

20、合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=（xr），则g（x）=，f（x）f（x），f（x）f（x）0g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减f（x）exg（x）1y=f（x）1的图象过原点，f（0）=1又g（0）=1g（x）g（0）x0故答案为（0，+）【点评】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17（12分）（2017包头一模）已知数列an的前n项和为sn，且sn=2an3n（nn+）（1）求a1，a2，a3的值；（2）设bn=an+3，证明数列bn为等比数列

21、，并求通项公式an【考点】等比数列的通项公式；数列的求和【分析】（1）由sn=2an3n（nn+）能求出a1，a2，a3的值（2）由sn=2an3n，求出an+1=2an+2，从而能证明数列bn是以6为首项，2为公比的等比数列，由此能求出通项公式an【解答】解：（1）数列an的前n项和为sn，且sn=2an3n（nn+）n=1时，由a1=s1=2a131，解得a1=3，n=2时，由s2=2a232，得a2=9，n=3时，由s3=2a333，得a3=21（2）sn=2an3n，sn+1=2an+13（n+1），两式相减，得an+1=2an+2，*把bn=an+3及bn+1=an+1+3，代入*式

22、，得bn+1=2bn，（nn*），且b1=6，数列bn是以6为首项，2为公比的等比数列，bn=62n1，【点评】本题考查数列中前3项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用18（12分）（2017包头一模）如图是某企业2010年至2016年污水净化量（单位：吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20102016（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业污水净化量；（3）请用数据说明回归方程预报的效果附注：参考数据： =54，（ti）（yi）

23、=21，3.74，（yi）2=参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=， =反映回归效果的公式为r2=1，其中r2越接近于1，表示回归的效果越好【考点】线性回归方程【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为8，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量；（3）求出r2，可得结论【解答】解：（1）由题意， =4，（ti）（yi）=21，r=0.935，0.9350.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）=54， =， =5

24、4=51，y关于t的回归方程=t+51，t=8， =57，预测2017年该企业污水净化量约为57吨；（3）r2=1=10.875，企业污水净化量的差异有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心19（12分）（2017包头一模）如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，ac=ab1（1）证明：abb1c；（2）若cab1=90，cbb1=60，ab=bc=2，求三棱锥b1acb的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）连接bc1，交b1c于点o，连

25、接ao，由题意可得b1cbc1，且o为b1c和bc1 的中点结合ac=ab1，可得aob1c，再由线面垂直的判定定理可得b1c平面abo，进一步得到abb1c；（2）由侧面bb1c1c为菱形，且cbb1=60，可得bcb1为等边三角形，求解直角三角形得到bo，再证得aoob，可得ao平面bcb1，然后利用等积法求得三棱锥b1acb的体积【解答】（1）证明：连接bc1，交b1c于点o，连接ao，侧面bb1c1c为菱形，b1cbc1，且o为b1c和bc1 的中点ac=ab1，aob1c，又aobc1=o，b1c平面abo，由于ab平面abo，故abb1c；（2）解：侧面bb1c1c为菱形，且cbb

26、1=60，bcb1为等边三角形，即bc=bb1=b1c=2在rtboc中，bo=cab1=90，acb1为等腰直角三角形，又o为b1c的中点，ao=oc=1，在boa中，ab=2，oa=1，ob=，ob2+oa2=ab2成立，则aoob，又aocb1，ao平面bcb1，=【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题20（12分）（2017包头一模）已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）当a1时，求证：函数f（x）在（0，+）上单调递增；（）若函数y=|f（x）t|1有三个零点，求t的值【考点】利用导数研究函数的

27、单调性【分析】（）先求原函数的导数得：f（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna，由于a1，得到f（x）0，从而函数f（x）在（0，+）上单调递增（）由已知条件得，当a0，a1时，f（x）=0有唯一解x=0，又函数y=|f（x）t|1有三个零点，等价于方程f（x）=t1有三个根，从而t1=（f（x）min=f（0）=1，解得t即得【解答】解：（）f（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna由于a1，故当x（0，+）时，lna0，ax10，所以f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增（）当a0，a1时，因为f（0）=0，且f（x）在r上单调递增，故f（x）=0有

28、唯一解x=0（6分）所以x，f（x），f（x）的变化情况如表所示：又函数y=|f（x）t|1有三个零点，所以方程f（x）=t1有三个根，而t+1t1，所以t1=（f（x）min=f（0）=1，解得t=2（10分）【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题21（12分）（2017包头一模）已知椭圆c： +y2=1与x轴、y轴的正半轴分别相交于a、b两点点m、n为椭圆c上相异的两点，其中点m在第一象限，且直线am与直线bn的斜率互为相反数（1）证明：直线mn的斜率为定值；（2）求mbn面积的取

29、值范围【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）设直线am的方程为y=k（x1），直线bn的方程为y=kx+1，分别与椭圆c联立方程组，分别求出m点坐标、n点坐标，由此能求出直线mn的斜率（2）设直线mn的方程为y=，（1b1），记a，b到直线mn的距离分别为da，db，求出da+db=，联立方程组，得x2+2bx+2b22=0，由此利用韦达定理、弦长公式能求出smbn的取值范围【解答】证明：（1）直线am与直线bn的斜率互为相反数，设直线am的方程为y=k（x1），直线bn的方程为y=kx+1，联立方程组，解得m点坐标为m（），联立方程组，解得n点坐标为n（），直线mn的斜率kmn=解：（2）设直线mn的方程为y=，（1b1），记a，b到直线mn的距离分别为da，db，则da+db=+=，联立方程组，得x2+2bx+2b22=0，|mn|=|xmxn|=，smbn=samn+sbmn=|mn|da+|mn|db=|mn|（da+db）=2，1b1，smbn（2，2【点评】本题考查直线斜率为定值的证明，考查三角形面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要