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文档简介
1、2017年上海市金山区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1若集合m=x|x22x0,n=x|x|1,则mn=2若复数z满足2z+=32i,其中i为虚数单位,则z=3若sin=,且为第四象限角,则tan的值等于4函数的最小正周期t=5函数f(x)=2x+m的反函数为y=f1(x),且y=f1(x)的图象过点q(5,2),那么m=6点(1,0)到双曲线的渐近线的距离是7若x,y满足,则2x+y的最大值为8从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表,其中学生甲不能担任数学课代表,共有种不同的选法(结果用数值表示)9方程x2+y24tx2t
2、y+3t24=0(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是(结果化为普通方程)10若an是(2+x)n(nn*,n2,xr)展开式中x2项的二项式系数,则=11设数列an是集合x|x=3s+3t,st且s,tn中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,将数列an中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表,则a15的值为12曲线c是平面内到直线l1:x=1和直线l2:y=1的距离之积等于常数k2(k0)的点的轨迹,下列四个结论:曲线c过点(1,1);曲线c关于点(1,1)成中心对称;若点p在曲线c上,点a、b分别在直线
3、l1、l2上,则|pa|+|pb|不小于2k;设p0为曲线c上任意一点,则点p0关于直线l1:x=1,点(1,1)及直线f(x)对称的点分别为p1、p2、p3,则四边形p0p1p2p3的面积为定值4k2;其中,所有正确结论的序号是二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13给定空间中的直线l与平面,则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面上无数条直线”的()条件a充分非必要b必要非充分c充要d既不充分也不必要14已知x、yr,且xy0,则()abclog2x+log2y0dsinxsiny015某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()a8b8c82d16已知函数f(x)=(a0,且a
4、1)在r上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()a(0,b,c,d,)三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17如图,在四棱锥pabcd中,底面abcd是矩形,pa平面abcd,pb、pd与平面abcd所成的角依次是和,ap=2,e、f依次是pb、pc的中点;(1)求异面直线ec与pd所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)(2)求三棱锥pafd的体积18已知abc中,ac=1,设bac=x,记;(1)求函数f(x)的解析式及定义域;(2)试写出函数f(x)的单调递增区间,并求方程的解19已知椭圆c以原点为中心,左焦
5、点f的坐标是(1,0),长轴长是短轴长的倍,直线l与椭圆c交于点a与b,且a、b都在x轴上方,满足ofa+ofb=180;(1)求椭圆c的标准方程;(2)对于动直线l,是否存在一个定点,无论ofa如何变化,直线l总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由20已知函数g(x)=ax22ax+1+b(a0)在区间2,3上的最大值为4,最小值为1,记f(x)=g(|x|),xr;(1)求实数a、b的值;(2)若不等式对任意xr恒成立,求实数k的范围;(3)对于定义在p,q上的函数m(x),设x0=p,xn=q,用任意xi(i=1,2,n1)将p,q划分成n个小区间,其中xi1xix
6、i+1,若存在一个常数m0,使得不等式|m(x0)m(x1)|+|m(x1)m(x2)|+|m(xn1)m(xn)|m恒成立,则称函数m(x)为在p,q上的有界变差函数,试证明函数f(x)是在1,3上的有界变差函数,并求出m的最小值21数列bn的前n项和为sn,且对任意正整数n,都有;(1)试证明数列bn是等差数列,并求其通项公式;(2)如果等比数列an共有2017项,其首项与公比均为2,在数列an的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个(1)ibi(in*)后,得到一个新数列cn,求数列cn中所有项的和;(3)如果存在nn*,使不等式成立,若存在,求实数的范围,若不存在,请说明理由2017年上
7、海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1若集合m=x|x22x0,n=x|x|1,则mn=(1,2)【考点】交集及其运算【分析】解x22x0可得集合m=x|0x2,解|x|1可得集合n,由交集的定义,分析可得答案【解答】解:x22x00x2,则集合m=x|0x2=(0,2)|x|1x1或x1,则集合n=x|1x1=(,1)(1,+),则mn=(1,2),故答案为:(1,2)2若复数z满足2z+=32i,其中i为虚数单位,则z=12i【考点】复数代数形式的加减运算【分析】设复数z=a+bi,(a、b是实数),则=abi
8、,代入已知等式,再根据复数相等的含义可得a、b的值,从而得到复数z的值【解答】解:设z=a+bi,(a、b是实数),则=abi,2z+=32i,2a+2bi+abi=32i,3a=3,b=2,解得a=1,b=2,则z=12i故答案为:12i3若sin=,且为第四象限角,则tan的值等于【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos,进而可求tan的值【解答】解:sin=,且为第四象限角,cos=,tan=故答案为:4函数的最小正周期t=【考点】二阶行列式与逆矩阵;两角和与差的余弦函数;三角函数的周期性及其求法【分析】利用行列式的计算方法化简f(x)解析式,
9、再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,找出的值,即可求出最小正周期【解答】解:f(x)=cos2xsin2x=cos2x,=2,t=故答案为:5函数f(x)=2x+m的反函数为y=f1(x),且y=f1(x)的图象过点q(5,2),那么m=1【考点】反函数【分析】根据反函数的性质可知:原函数与反函数的图象关于y=x对称,利用对称关系可得答案【解答】解:f(x)=2x+m的反函数y=f1(x),函数y=f1(x)的图象经过q(5,2),原函数与反函数的图象关于y=x对称,f(x)=2x+m的图象经过q(2,5),即4+m=5,解得:m=1故答案为:16点(1,0)到双曲线的渐近线的距离
10、是【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解:双曲线的一条渐近线方程为:x+2y=0,点(1,0)到双曲线的渐近线的距离是: =故答案为:7若x,y满足,则2x+y的最大值为4【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)设z=2x+y得y=2x+z,平移直线y=2x+z,由图象可知当直线y=2x+z经过点a时,直线y=2x+z的截距最大,此时z最大由,解得,即a(1,2),代入目标函数z=2x+y得z=12+2=4即目标函数
11、z=2x+y的最大值为4故答案为:48从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表,其中学生甲不能担任数学课代表,共有48种不同的选法(结果用数值表示)【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据分步计数原理,先安排数学课代表,再安排语文、英语课代表【解答】解:先从除了甲之外的4人选1人为数学课代表,再从包含甲在内的4人中选2人为语文、英语课代表,根据分步计数原理可得,共有a41a42=48种,故学生甲不能担任数学课代表,共有48种不同的选法故答案为489方程x2+y24tx2ty+3t24=0(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是x2y=0(结果化为普通方程)【考点】轨迹方程【分析】把圆化
12、为标准方程后得到:圆心坐标,令x=2t,y=t,消去t即可得到y与x的解析式【解答】解:把圆的方程化为标准方程得(x2t)2+(yt)2=t2+4,圆心(2t,t)则圆心坐标为,所以消去t可得x=2y,即x2y=0故答案为:x2y=010若an是(2+x)n(nn*,n2,xr)展开式中x2项的二项式系数,则=2【考点】数列的极限;二项式定理的应用【分析】(2+x)n(其中n=2,3,4,)的展开式,tr+1,令r=2,可得an,再利用求和公式化简,利用数列的极限即可得出【解答】解:(2+x)n(其中n=2,3,4,)的展开式,tr+1=,令r=2,可得:t3=2n2x2an是二项式(2+x)
13、n(其中n=2,3,4,)的展开式中x的二项式系数,an=则=2=2故答案为:211设数列an是集合x|x=3s+3t,st且s,tn中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,将数列an中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表,则a15的值为324【考点】归纳推理【分析】如果用(t,s)表示3s+3t,则4=(0,1)=30+31,10=(0,2)=30+32,12=(1,2)=31+32,利用归纳推理即可得出【解答】解:如果用(t,s)表示3s+3t,则4=(0,1)=30+31,10=(0,2)=30+32
14、,12=(1,2)=31+32,28=(0,3)=30+33,30=(1,3)=31+33,36=(2,3)=32+33,利用归纳推理即可得:a15=(4,5),则a15=34+35=324故答案为:32412曲线c是平面内到直线l1:x=1和直线l2:y=1的距离之积等于常数k2(k0)的点的轨迹,下列四个结论:曲线c过点(1,1);曲线c关于点(1,1)成中心对称;若点p在曲线c上,点a、b分别在直线l1、l2上,则|pa|+|pb|不小于2k;设p0为曲线c上任意一点,则点p0关于直线l1:x=1,点(1,1)及直线f(x)对称的点分别为p1、p2、p3,则四边形p0p1p2p3的面积为
15、定值4k2;其中,所有正确结论的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】由题意曲线c是平面内到直线l1:x=1和直线l2:y=1的距离之积等于常数k2(k0)的点的轨迹利用直接法,设动点坐标为(x,y),及可得到动点的轨迹方程,然后由方程特点即可加以判断【解答】解:由题意设动点坐标为(x,y),则利用题意及点到直线间的距离公式的得:|x+1|y1|=k2,对于,将(1,1)代入验证,此方程不过此点,所以错;对于,把方程中的x被2x代换,y被2y 代换,方程不变,故此曲线关于(1,1)对称所以正确;对于,由题意知点p在曲线c上,点a,b分别在直线l1,l2上,则|pa|x+1|,|pb|y1|
16、pa|+|pb|2=2k,所以正确;对于,由题意知点p在曲线c上,根据对称性,则四边形p0p1p2p3的面积=2|x+1|2|y1|=4|x+1|y1|=4k2所以正确故答案为:二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13给定空间中的直线l与平面,则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面上无数条直线”的()条件a充分非必要b必要非充分c充要d既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解:若:直线l与平面垂直”,则“直线l垂直于平面上无数条直线”,是充分条件;若直线l垂直于平面上无数条直线,则直线l与平面不一定垂直,不是必要条
17、件,故选:a14已知x、yr,且xy0,则()abclog2x+log2y0dsinxsiny0【考点】不等式比较大小【分析】根据不等式的性质判断a,根据特殊值,判断c,d,根据指数函数的性质判断b【解答】解:因为xy0,所以,故a错误,因为y=()x为减函数,故b正确,因为当1xy0时,log2x+log2y=log2xy0,故c错误,因为当x=,y=时,sinxsiny0,故d错误,故选:b15某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()a8b8c82d【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,该几何体为正方体内挖去一
18、个圆锥【解答】解:由题意可知,该几何体为正方体内挖去一个圆锥,正方体的边长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,则正方体的体积为v1=23=8,圆锥的体积为v2=122=,则该几何体的体积为v=8,故选a16已知函数f(x)=(a0,且a1)在r上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()a(0,b,c,d,)【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围,再根据f(x)为减函数,得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出a的范围【解答】解:y=loga(x+1)+1在0,+)递
19、减,则0a1,函数f(x)在r上单调递减,则:;解得,;由图象可知,在0,+)上,|f(x)|=2x有且仅有一个解,故在(,0)上,|f(x)|=2x同样有且仅有一个解,当3a2即a时,联立|x2+(4a3)x+3a|=2x,则=(4a2)24(3a2)=0,解得a=或1(舍去),当13a2时,由图象可知,符合条件,综上:a的取值范围为,故选:c三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17如图,在四棱锥pabcd中,底面abcd是矩形,pa平面abcd,pb、pd与平面abcd所成的角依次是和,ap=2,e、f依次是pb、pc的中点;(1)求异面直线ec与pd所成角的
20、大小;(结果用反三角函数值表示)(2)求三棱锥pafd的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角【分析】(1)分别以ab、ad、ap所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系利用向量与所成角求得异面直线ec与pd所成角的大小;(2)直接利用vpafd=vpacdvfadc求解【解答】解:(1)分别以ab、ad、ap所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系ap=2,pda=,ab=2,ad=4,则p(0,0,2),d(0,4,0),e(1,0,1),c(2,4,0),cos=异面直线ec与pd所成角的大小为;(2)vpafd=vpacdvfacd=18已知abc中,ac=1,设ba
21、c=x,记;(1)求函数f(x)的解析式及定义域;(2)试写出函数f(x)的单调递增区间,并求方程的解【考点】平面向量数量积的运算【分析】(1)由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f(x)的解析式(2)利用正弦函数的单调性求得f(x)的单调区间,并求出x的值【解答】解:(1)由正弦定理有=bc=sinx,ab=,=sinxsin(x)=(cosxsinx)sinx=sin(2x+),其定义域为(0,)(2)+2k2x+2k,kz,+kx+k,kz,x(0,)递增区间,方程=sin(2x+),sin(2x+)=1,解得19已知椭圆c以原点为中心,左焦点f的坐标是(1,0
22、),长轴长是短轴长的倍,直线l与椭圆c交于点a与b,且a、b都在x轴上方,满足ofa+ofb=180;(1)求椭圆c的标准方程;(2)对于动直线l,是否存在一个定点,无论ofa如何变化,直线l总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程【分析】(1)由题意可知设椭圆的标准方程为:(ab0),2a=2b,即a=b,代入求得:a2=2,b2=1,即可求得椭圆c的标准方程;(2)b关于x轴的对称点b1在直线af上设直线af方程:y=k(x+1),代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公式,代入由x=,此能证明直线l总经过定点m(2,0)【解答
23、】解:(1)设椭圆的标准方程为:(ab0),由题意可知:2a=2b,即a=b,由c=1,则a2=b2+c2=b2+1,代入求得:a2=2,b2=1,椭圆c的方程为:;(2)存在一个定点m(2,0),无论ofa如何变化,直线l总经过此定点证明:由ofa+ofb=180,则b关于x轴的对称点b1在直线af上设a(x1,y1),b(x2,y2),b1(x2,y2设直线af方程:y=k(x+1),代入,得:(k2+)x2+2k2x+k21=0,由韦达定理可知:x1+x2=,x1x2=,由直线ab的斜率kab=ab的方程:yy1=(xx1),令y=0,得:x1y1,y1=k(x1+1),y2=k(x2+
24、1),x=2,直线l总经过定点m(2,0)20已知函数g(x)=ax22ax+1+b(a0)在区间2,3上的最大值为4,最小值为1,记f(x)=g(|x|),xr;(1)求实数a、b的值;(2)若不等式对任意xr恒成立,求实数k的范围;(3)对于定义在p,q上的函数m(x),设x0=p,xn=q,用任意xi(i=1,2,n1)将p,q划分成n个小区间,其中xi1xixi+1,若存在一个常数m0,使得不等式|m(x0)m(x1)|+|m(x1)m(x2)|+|m(xn1)m(xn)|m恒成立,则称函数m(x)为在p,q上的有界变差函数,试证明函数f(x)是在1,3上的有界变差函数,并求出m的最小
25、值【考点】函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义【分析】(1)由已知中g(x)在区间2,3的最大值为4,最小值为1,结合函数的单调性及最值,我们易构造出关于a,b的方程组,解得a,b的值;(2)求出f(x),对任意xr恒成立等价于f(x)min=f(x)+g(x)恒成立,求实数k的范围;根据有界变差函数的定义,我们先将区间1,3进行划分,进而判断|m(xi)m(xi1)|m是否恒成立,进而得到结论【解答】解:(1)函数g(x)=ax22ax+1+b,a0,对称轴x=1,g(x)在区间2,3上是增函数,又函数g(x)故在区间2,3上的最大值为4,最小值为1,解得:a=1,b=0g(x)=x22x
26、+1故实数a的值为1,b的值为0(2)由(1)可知g(x)=x22x+1,f(x)=g(|x|),f(x)=x22|x|+1,对任意xr恒成立,令f(x)=f(x)+g(x)=x22x+1+x22|x|+1=根据二次函数的图象及性质可得f(x)min=f(1)=0则f(x)min恒成立,即:0令log2k=t,则有:t22t30,解得:1t3,即,得:故得实数k的范围为(3)函数f(x)为1,3上的有界变差函数因为函数f(x)为1,3上的单调递增函数,且对任意划分t:1=x0x1xixn=3有f(1)=f(x0)f(x1)f(xi)f(xn)=f(3)所以|m(xi)m(xi1)|=f(x1)f(x0)+f(x2)f(x1)f(xn)f(xn1)=f(xn)f(x0)=f(3)f(1)=4恒成立,所以存在常数m,使得|m(xi)m(
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