上海市金山区2020年高考数学一模试卷

1、2017年上海市金山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1若集合m=x|x22x0，n=x|x|1，则mn=2若复数z满足2z+=32i，其中i为虚数单位，则z=3若sin=，且为第四象限角，则tan的值等于4函数的最小正周期t=5函数f（x）=2x+m的反函数为y=f1（x），且y=f1（x）的图象过点q（5，2），那么m=6点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是7若x，y满足，则2x+y的最大值为8从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有种不同的选法（结果用数值表示）9方程x2+y24tx2t

2、y+3t24=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果化为普通方程）10若an是（2+x）n（nn*，n2，xr）展开式中x2项的二项式系数，则=11设数列an是集合x|x=3s+3t，st且s，tn中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，将数列an中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为12曲线c是平面内到直线l1：x=1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k0）的点的轨迹，下列四个结论：曲线c过点（1，1）；曲线c关于点（1，1）成中心对称；若点p在曲线c上，点a、b分别在直线

3、l1、l2上，则|pa|+|pb|不小于2k；设p0为曲线c上任意一点，则点p0关于直线l1：x=1，点（1，1）及直线f（x）对称的点分别为p1、p2、p3，则四边形p0p1p2p3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13给定空间中的直线l与平面，则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面上无数条直线”的（）条件a充分非必要b必要非充分c充要d既不充分也不必要14已知x、yr，且xy0，则（）abclog2x+log2y0dsinxsiny015某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）a8b8c82d16已知函数f（x）=（a0，且a

4、1）在r上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）a（0，b，c，d，）三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，pb、pd与平面abcd所成的角依次是和，ap=2，e、f依次是pb、pc的中点；（1）求异面直线ec与pd所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥pafd的体积18已知abc中，ac=1，设bac=x，记；（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程的解19已知椭圆c以原点为中心，左焦

5、点f的坐标是（1，0），长轴长是短轴长的倍，直线l与椭圆c交于点a与b，且a、b都在x轴上方，满足ofa+ofb=180；（1）求椭圆c的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论ofa如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由20已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0）在区间2，3上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），xr；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意xr恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在p，q上的函数m（x），设x0=p，xn=q，用任意xi（i=1，2，n1）将p，q划分成n个小区间，其中xi1xix

6、i+1，若存在一个常数m0，使得不等式|m（x0）m（x1）|+|m（x1）m（x2）|+|m（xn1）m（xn）|m恒成立，则称函数m（x）为在p，q上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在1，3上的有界变差函数，并求出m的最小值21数列bn的前n项和为sn，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列bn是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列an共有2017项，其首项与公比均为2，在数列an的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个（1）ibi（in*）后，得到一个新数列cn，求数列cn中所有项的和；（3）如果存在nn*，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由2017年上

7、海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1若集合m=x|x22x0，n=x|x|1，则mn=（1，2）【考点】交集及其运算【分析】解x22x0可得集合m=x|0x2，解|x|1可得集合n，由交集的定义，分析可得答案【解答】解：x22x00x2，则集合m=x|0x2=（0，2）|x|1x1或x1，则集合n=x|1x1=（，1）（1，+），则mn=（1，2），故答案为：（1，2）2若复数z满足2z+=32i，其中i为虚数单位，则z=12i【考点】复数代数形式的加减运算【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=abi

8、，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=abi，2z+=32i，2a+2bi+abi=32i，3a=3，b=2，解得a=1，b=2，则z=12i故答案为：12i3若sin=，且为第四象限角，则tan的值等于【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，进而可求tan的值【解答】解：sin=，且为第四象限角，cos=，tan=故答案为：4函数的最小正周期t=【考点】二阶行列式与逆矩阵；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，

9、再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出的值，即可求出最小正周期【解答】解：f（x）=cos2xsin2x=cos2x，=2，t=故答案为：5函数f（x）=2x+m的反函数为y=f1（x），且y=f1（x）的图象过点q（5，2），那么m=1【考点】反函数【分析】根据反函数的性质可知：原函数与反函数的图象关于y=x对称，利用对称关系可得答案【解答】解：f（x）=2x+m的反函数y=f1（x），函数y=f1（x）的图象经过q（5，2），原函数与反函数的图象关于y=x对称，f（x）=2x+m的图象经过q（2，5），即4+m=5，解得：m=1故答案为：16点（1，0）到双曲线的渐近线的距离

10、是【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+2y=0，点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是： =故答案为：7若x，y满足，则2x+y的最大值为4【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）设z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点a时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即a（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=12+2=4即目标函数

11、z=2x+y的最大值为4故答案为：48从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法（结果用数值表示）【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据分步计数原理，先安排数学课代表，再安排语文、英语课代表【解答】解：先从除了甲之外的4人选1人为数学课代表，再从包含甲在内的4人中选2人为语文、英语课代表，根据分步计数原理可得，共有a41a42=48种，故学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法故答案为489方程x2+y24tx2ty+3t24=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是x2y=0（结果化为普通方程）【考点】轨迹方程【分析】把圆化

12、为标准方程后得到：圆心坐标，令x=2t，y=t，消去t即可得到y与x的解析式【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x2t）2+（yt）2=t2+4，圆心（2t，t）则圆心坐标为，所以消去t可得x=2y，即x2y=0故答案为：x2y=010若an是（2+x）n（nn*，n2，xr）展开式中x2项的二项式系数，则=2【考点】数列的极限；二项式定理的应用【分析】（2+x）n（其中n=2，3，4，）的展开式，tr+1，令r=2，可得an，再利用求和公式化简，利用数列的极限即可得出【解答】解：（2+x）n（其中n=2，3，4，）的展开式，tr+1=，令r=2，可得：t3=2n2x2an是二项式（2+x）

13、n（其中n=2，3，4，）的展开式中x的二项式系数，an=则=2=2故答案为：211设数列an是集合x|x=3s+3t，st且s，tn中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，将数列an中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为324【考点】归纳推理【分析】如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，利用归纳推理即可得出【解答】解：如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32

14、，12=（1，2）=31+32，28=（0，3）=30+33，30=（1，3）=31+33，36=（2，3）=32+33，利用归纳推理即可得：a15=（4，5），则a15=34+35=324故答案为：32412曲线c是平面内到直线l1：x=1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k0）的点的轨迹，下列四个结论：曲线c过点（1，1）；曲线c关于点（1，1）成中心对称；若点p在曲线c上，点a、b分别在直线l1、l2上，则|pa|+|pb|不小于2k；设p0为曲线c上任意一点，则点p0关于直线l1：x=1，点（1，1）及直线f（x）对称的点分别为p1、p2、p3，则四边形p0p1p2p3的面积为

15、定值4k2；其中，所有正确结论的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】由题意曲线c是平面内到直线l1：x=1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k0）的点的轨迹利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1|y1|=k2，对于，将（1，1）代入验证，此方程不过此点，所以错；对于，把方程中的x被2x代换，y被2y 代换，方程不变，故此曲线关于（1，1）对称所以正确；对于，由题意知点p在曲线c上，点a，b分别在直线l1，l2上，则|pa|x+1|，|pb|y1|

16、pa|+|pb|2=2k，所以正确；对于，由题意知点p在曲线c上，根据对称性，则四边形p0p1p2p3的面积=2|x+1|2|y1|=4|x+1|y1|=4k2所以正确故答案为：二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13给定空间中的直线l与平面，则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面上无数条直线”的（）条件a充分非必要b必要非充分c充要d既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：若：直线l与平面垂直”，则“直线l垂直于平面上无数条直线”，是充分条件；若直线l垂直于平面上无数条直线，则直线l与平面不一定垂直，不是必要条

17、件，故选：a14已知x、yr，且xy0，则（）abclog2x+log2y0dsinxsiny0【考点】不等式比较大小【分析】根据不等式的性质判断a，根据特殊值，判断c，d，根据指数函数的性质判断b【解答】解：因为xy0，所以，故a错误，因为y=（）x为减函数，故b正确，因为当1xy0时，log2x+log2y=log2xy0，故c错误，因为当x=，y=时，sinxsiny0，故d错误，故选：b15某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）a8b8c82d【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一

18、个圆锥【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为v1=23=8，圆锥的体积为v2=122=，则该几何体的体积为v=8，故选a16已知函数f（x）=（a0，且a1）在r上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）a（0，b，c，d，）【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围【解答】解：y=loga（x+1）+1在0，+）递

19、减，则0a1，函数f（x）在r上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在0，+）上，|f（x）|=2x有且仅有一个解，故在（，0）上，|f（x）|=2x同样有且仅有一个解，当3a2即a时，联立|x2+（4a3）x+3a|=2x，则=（4a2）24（3a2）=0，解得a=或1（舍去），当13a2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为，故选：c三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，pb、pd与平面abcd所成的角依次是和，ap=2，e、f依次是pb、pc的中点；（1）求异面直线ec与pd所成角的

20、大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥pafd的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）分别以ab、ad、ap所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系利用向量与所成角求得异面直线ec与pd所成角的大小；（2）直接利用vpafd=vpacdvfadc求解【解答】解：（1）分别以ab、ad、ap所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系ap=2，pda=，ab=2，ad=4，则p（0，0，2），d（0，4，0），e（1，0，1），c（2，4，0），cos=异面直线ec与pd所成角的大小为；（2）vpafd=vpacdvfacd=18已知abc中，ac=1，设ba

21、c=x，记；（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程的解【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f（x）的解析式（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调区间，并求出x的值【解答】解：（1）由正弦定理有=bc=sinx，ab=，=sinxsin（x）=（cosxsinx）sinx=sin（2x+），其定义域为（0，）（2）+2k2x+2k，kz，+kx+k，kz，x（0，）递增区间，方程=sin（2x+），sin（2x+）=1，解得19已知椭圆c以原点为中心，左焦点f的坐标是（1，0

22、），长轴长是短轴长的倍，直线l与椭圆c交于点a与b，且a、b都在x轴上方，满足ofa+ofb=180；（1）求椭圆c的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论ofa如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由题意可知设椭圆的标准方程为：（ab0），2a=2b，即a=b，代入求得：a2=2，b2=1，即可求得椭圆c的标准方程；（2）b关于x轴的对称点b1在直线af上设直线af方程：y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，代入由x=，此能证明直线l总经过定点m（2，0）【解答

23、】解：（1）设椭圆的标准方程为：（ab0），由题意可知：2a=2b，即a=b，由c=1，则a2=b2+c2=b2+1，代入求得：a2=2，b2=1，椭圆c的方程为：；（2）存在一个定点m（2，0），无论ofa如何变化，直线l总经过此定点证明：由ofa+ofb=180，则b关于x轴的对称点b1在直线af上设a（x1，y1），b（x2，y2），b1（x2，y2设直线af方程：y=k（x+1），代入，得：（k2+）x2+2k2x+k21=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，由直线ab的斜率kab=ab的方程：yy1=（xx1），令y=0，得：x1y1，y1=k（x1+1），y2=k（x2+

24、1），x=2，直线l总经过定点m（2，0）20已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0）在区间2，3上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），xr；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意xr恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在p，q上的函数m（x），设x0=p，xn=q，用任意xi（i=1，2，n1）将p，q划分成n个小区间，其中xi1xixi+1，若存在一个常数m0，使得不等式|m（x0）m（x1）|+|m（x1）m（x2）|+|m（xn1）m（xn）|m恒成立，则称函数m（x）为在p，q上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在1，3上的有界变差函数，并求出m的最小

25、值【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义【分析】（1）由已知中g（x）在区间2，3的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；（2）求出f（x），对任意xr恒成立等价于f（x）min=f（x）+g（x）恒成立，求实数k的范围；根据有界变差函数的定义，我们先将区间1，3进行划分，进而判断|m（xi）m（xi1）|m是否恒成立，进而得到结论【解答】解：（1）函数g（x）=ax22ax+1+b，a0，对称轴x=1，g（x）在区间2，3上是增函数，又函数g（x）故在区间2，3上的最大值为4，最小值为1，解得：a=1，b=0g（x）=x22x

26、+1故实数a的值为1，b的值为0（2）由（1）可知g（x）=x22x+1，f（x）=g（|x|），f（x）=x22|x|+1，对任意xr恒成立，令f（x）=f（x）+g（x）=x22x+1+x22|x|+1=根据二次函数的图象及性质可得f（x）min=f（1）=0则f（x）min恒成立，即：0令log2k=t，则有：t22t30，解得：1t3，即，得：故得实数k的范围为（3）函数f（x）为1，3上的有界变差函数因为函数f（x）为1，3上的单调递增函数，且对任意划分t：1=x0x1xixn=3有f（1）=f（x0）f（x1）f（xi）f（xn）=f（3）所以|m（xi）m（xi1）|=f（x1）f（x0）+f（x2）f（x1）f（xn）f（xn1）=f（xn）f（x0）=f（3）f（1）=4恒成立，所以存在常数m，使得|m（xi）m（