2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破 专题05 用好导数、破解函数零点问题(第一篇)

1、一方法综述近几年的高考数学试题中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化、综合化.处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口利用导数解决函数的零点问题，是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大本专题举例说明如何用好导数，破解函数零点问题.二解题策略类型一 讨论函数零点的个数【例1】【吉林省通榆县第一中学2019届高三上期中】已知函数 . （1）求fx在(1,f(1)处的切线方程；（2）试判断fx在区间(1,e)上有没有零点？若有则判断零点的个数.【答案】（1）4x+2y-5=0； （2）2.【解

2、析】（1）由已知得 ，有，在(1,f(1)处的切线方程为：，化简得4x+2y-5=0 .【指点迷津】讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.【举一反三】【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 【解析】（）当时，从而，在（1，+）无零点.当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当

3、时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.若0，即0，在（0,1）无零点.若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.10分综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 12分类型二 已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围【例2】【河北省衡水中学2019届高三上学期二调】已知函数fx=ex-2x.(1)

4、求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；(2)若函数gx=fx-a,x-1,1恰有2个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）x+y-1=0 （2）2-2ln2,e-2【解析】（2）由题意得，gx=ex-2x-a，所以gx=ex-2.由gx=ex-2=0，解得x=ln2，故当-1xln2时，gx0，gx在-1,ln2上单调递减；当ln20，gx在ln2,1上单调递增.所以gxmin=gln2=2-2ln2-a.又g-1=e-1+2-a，g1=e-2-a，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则g-1=e-1+2-a0,g1=e-2-a0,gln2=2-2ln2-a0,解得2-2ln2ae-2

5、. 所以实数a的取值范围为2-2ln2,e-2.【例3】【2018年理数全国卷II】已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求【答案】（1）见解析（2）（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，【指点迷津】已知区间上有零点，求参数的范围问题往往因为含有超越函数式的函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两

6、个方面去思考：(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解【举一反三】【贵州省遵义航天高级中学2018届高三上第四次模】已知函数的两个零点为x1,x2x10，x-1-lnx22e-x2+-1-ln2e-x22e-x2=-2-lnx2e-x22e-x2又，x2e-xx+2e-x22=1e2x0，则x在单调递增，故原不等式成立类型三 已

7、知存在零点，证明零点的性质【例4】【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2（1）讨论f(x)的单调性；（2若函数f(x)有两个零点分别记为x1,x2求a的取值范围；求证：【答案】见解析；见解析；见证明【解析】（1）f(x)=ex+(x-1)ex-2ax=x(ex-2a)，（i）当a0时，ex-2a0，x(-,0)时，f(x)0,f(x)单调递增（iii）当时，f(x)0恒成立，f(x)在R上单增（iv）当时，x(-,0)时，f(x)0,f(x)单调递增；x(0,ln(2a)时，f(x)0,f(x)单调递增综上所述：a0时，f(x)在(-,0)上单调递减

8、，(0,+)上单调递增；时，f(x)在(ln(2a),0)上单调递减，在(-,ln(2a),(0,+)上单调递增；时，f(x)在R上单调递增；时，f(x)在(0,ln(2a)上单调递减，(-,0),(ln(2a),+)上单调递增.（2）f(0)=-1，（i）当a=0时，f(x)=(x-1)ex，只有一个零点，舍去；（ii）当a0时，f(x)在(-,0)上单调递减，(0,+)上单调递增，f(x)min=f(0)=-10，取b-1且，则f(b)=(b-1)eb-ab2 ，f(x)存在两个零点（iii）当时，f(x)在(0,+)上单调递增，x0时，f(x)0f(x)不可能有两个零点，舍去（iv）当时

9、，f(x)在R上单调递增，f(x)不可能有两个零点，舍去（v）当时，x0时，f(x)0，又f(x)在(0,ln（2a）)单调递减，在(ln（2a）,+)上单调递增，因f0=-1，f(x)不可能有两个零点，舍去综上所述：a0由知：a0，f(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，要证， 即证，即证x1+x20时，g(x)0,g(x)单调递增不妨设x10x2，则g(x1)g(0)，即f(x1)-f(-x1)0，又f(x1)=f(x2) ，f(x2)f(-x1)，f(x)在(-,0)上单调递减， x2-x1，x1+x20，原命题得证【指点迷津】已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时

10、，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力含参数的函数的单调性的讨论，合理分类讨论是关键，分类点的选择一般依据导数是否存在零点，若存在零点，则检验零点是否在给定的范围之中【举一反三】【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】设aR，函数f(x)=lnx-ax（1）若fx无零点，求实数a的取值范围；（2）若fx有两个相异零点x1，x2，求证： lnx

11、1+lnx2+2lna0【答案】（1）；（2）见解析【解析】 (1)若a0，fx是区间0,+上的增函数，f(1)=-a0,f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,f(1)f(ea)0，令fx=0，得，在区间上， fx0，函数fx是增函数；在区间 f(x)0, 函数f(x)是减函数；故在区间(0,+)上， f(x)的最大值为 由于f(x)无零点， 三强化训练1【2018年理新课标I卷】已知函数 若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是( )A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+）【答案】C2【山西省太原市第五中学2019届10月月考】已知fx=xex，又gx=f2x-tf

12、xtR，若满足gx=-1的x有四个，则t的取值范围是（ ）A -,-e2+1e B e2+1e,+ C -e2+1e,-2 D 2,e2+1e【答案】B【解析】令y=xex，则y=（1+x）ex，由y=0，得x=1，当x（，1）时，y0，函数y单调递减，当x（1，+）时，y0，函数y单调递增作出y=xex图象，利用图象变换得f（x）=|xex|图象，令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2tm+1=0两根分别在时，满足g（x）=1的x有4个，由，解得故选：B3【山东省安丘市2019届10月检测】若存在正实数m，使得关于x的方程x+a2x+2m-4exlnx+m-lnx=0有两个不同的根，其中

13、e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（ ）A -,0 B C D 【答案】B【解析】 4.【江西省南昌市2018届二轮测试卷（一）】设，若函数y=fx-ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）A B C D 【答案】A【解析】 5.【四川省攀枝花市第十二中学2019届10月月考】已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围为()A (2，) B (，2) C (1，) D (，1)【答案】B【解析】函数fx=ax3-3x2+1则fx=3ax2-6x=3xax-2，令fx=0则3xax-2=01 当a=0时，fx=-3x2+1=0，存在两个零点

14、，不符合题意，故a0当a0时，fx在，0，+上单调递减，在上单调递增是fx的极小值点，x=0是fx的极大值点，要使函数fx仅有一正零点，结合函数图像，可知，代入可得：，解得a-2综上，则a的取值范围为-，-2故选B6.【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期第二阶段测试】若方程（x-2）2ex-ae-x+2a|x-2|=0,有且仅有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_【答案】 【解析】 7.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数其中e为自然对数的底数，若函数fx与gx的图象恰有一个公共点，则实数m的取值范围是_.【答案】0,+-e+1e2【解析】因为，所以函数fx在区间0,+上

15、单调递增，且所以当m0时，fx与有一个公共点；当m0时，令fx=gx，即有一个解即可.设，则得.因为当时，hx0,所以当时，hx有唯一的极小值，即hx有最小值，所以当时，有一个公共点.综上，实数m的取值范围是0,+-e+1e2.8.【陕西省西安市长安区第五中学2019届高三上期中】已知函数fx=xlnx.(1)若直线l过点（1，0），并且与曲线y=fx相切，求直线l的方程；(2)设函数gx=fx-(ax-1)在1,e上有且只有一个零点，求a的取值范围.(其中aR，e为自然对数的底数)【答案】（1）y=x-1 ； （2）a1或.【解析】（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=

16、0，所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e上没有零点.因为gx=lnx+1-a .所以由gx0 lnx+1-a00x0xea-1,所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，+）上单调递增. 当ea-11，即a1时，g（x）在（1,e上单调递增，所以g（x）g(1)=0.此时函数g（x）在（1,e上没有零点， 当1ea-1e,即1a2时，g（x）在1,ea-1)上单调递减，在（ea-1,e上单调递增，又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e上的最小值为g（ea-1）=a-ea-1，所以（i）当1a时，g（x）在1,e上的最大值g（e）

17、0，即此时函数g（x）在(1,e上有零点.（ii）当a2时，g（e）0，即此时函数g（x）在（1,e上没有零点，当eea-1即a2时，g（x）在1,e上单调递减，所以g（x）在1,e上满足g（x）g(1)=0，此时函数g（x）在(1,e上没有零点. 综上，所求的a的取值范围是a1或.9.【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】函数（a,b,cR）的导函数的图象如图所示：（1）求a,b的值并写出f(x)的单调区间；（2）若函数y=f(x)有三个零点，求c的取值范围【答案】（1）见解析；（2） .【解析】 (2)由(1)得f(x)x3x22xc，函数f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(1)c，极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得c.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.10【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)若函数fx在1,+上为增函数，求a的取值范围；(2)若函数gx=xfx-a+1x2-x有两个不同的极值点，记作x1,x2，且x1e3