二次根式导学案

1、第21章二次根式导学案【学习课题】 第1课时:二次根式的概念【学习目标】1、理解二次根式的意义，能求出二次根式中被开方数中字母的取值范围。2、会运用公式（） ()解决有关计算问题。【学习重点】二次根式的意义,公式（） ()的理解。【学习过程】一、 自主学习，复习旧知：1、无理数：无限不循环小数叫做。 2、实数：有理数和无理数统称。、平方根：如果 x = ，那么x叫做的平方根。 若, 则的平方根记为 。、算术平方根：正数的正的平方根，叫做的算术平方根。若, 则的算术平方根记为_。、 填空：表示100的_，结果为_。 表示的_，结果为_。 0.81的算术平方根记为_，结果为_。计算：_， _， 、

2、二次根式的概念：对于形如，这样的式子，我们将符号“”叫做二次根式，二次根式：式子 （）叫做二次根式。理解：表示二次方根的式子叫做二次根式。式子中，当时，； 当时，所以（）是一个非负数。二次根式的非负性有两层意义：被开方数是非负数 的结果也是非负数。、 一般地，（）：此公式正用可去根号，将式子化简。如：此公式也可逆用，将一个非负数改写成完全平方的形式，如： 15 （）2，（）二、合作探究，共同探讨： 、判断下列各式是否为二次根式？为什么？（1）（2）（3） （4）（5）（）解 （1）2：下列各式中，实数为何值时,代数式在实数范围内有意义？ （1）（2）（3）解 （1）由得，当有意义3：计算（1）

3、（2） （3）（4）4、已知. 三、达标检测，当堂过关：1、取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）（2） （3） （4）（5）2、计算: （1）（2）（3）3、判断下列各式是否成立？（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）4、解下列各题（1）已知的值（2）已知的值四、拓展延伸，智力闯关：已知实数a满足|2012-a|+=a，求a-20122的值。五、【我总结】本节课，我收获了些什么？教学反思：第21章二次根式导学案【学习课题】 第课时: 二次根式的化简【学习目标】：1、掌握二次根式的性质公式。 2、会利用二次根式的性质进行二次根式的化简【学习重点】公式的应用【学习过程】 一、自主学习

4、，预习新知：1、计算： ， 。 2、二次根式的意义二次根式的实质是的算术平方根。由于它的被开方数是一个完全平方数，所以，因此中的可以是任意数或式。如等，都有意义。与的区别： 运 算 顺 序 取 值 范 围先平方，后开方中的可以是任意数先开方，后平方中的必须是非负数，即3、的性质：对于，当时，=，如 当时，如。所以时，。综合上面的情况，有4、 典型例题：求下列各式的值（1）（2）（3）（4）解（1）原式=二、合作探究，共同探讨： 、化简： 已知 .已知在数轴上的位置如图所示： b a 0 c 化简： 三、达标检测，当堂过关：1、 化简（1） （2） 2、计算 3、已知4、已知，求的取值范围。5、

5、已知，化简四、拓展延伸，智力闯关：设是ABC的三边，化简教学反思：第21章二次根式导学案【学习课题】 第课时:二次根式的乘法和除法【学习目标】1、探索二次根式的乘法和除法法则 2、会进行简单的二次根式的乘法和除法运算【学习重点】二次根式的乘法和除法法则的应用【学习过程】 一、 自主学习，复习旧知，预习新知：、二次根式的定义：。、= ,条件是：。、二次根式是一个数，二次根式有意义的条件是。、下列各式中,求出的取值范围 、积的算术平方根计算 = . = ，所以= 一般地, 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。（注意：公式中必须都是非负数。）想一想：成立吗？为什么？应该等于多少？例1、化

6、简:（1）（2） （3）（4）解 （1） 、二次根式的乘法把公式，反过来得即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。计算 （1） （2） 、商的算术平方根计算： ， 。一般地，有 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，其中，公式中字母的取值范围是。（想一想，公式中为什么字母的范围不是？）化简（1）（2）（3）（4）6、二次根式的除法把公式 反过来得到即：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除运用这个公式可以进行简单的二次根式的除法运算。化简（1）（2）（3） （要求：分母中不能有根号，根号内不能含有分母）7、易错的运算:二、合作探究

7、，共同探讨：.计算（1）（2）（3）（4）.计算（1）（2） （3）.化简（1） （2） （3）三、达标检测，当堂过关：1、计算:（1） （2）（3） （4）2、设直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c.（1）如果；（2）如果；（3）如果3、计算：（1）（2） （3） （4）4、化简（1）（2） （3） （4） 5、计算:（1） （2） （3）教学反思：第21章二次根式导学案【学习课题】 第课时：最简二次根式及分母有理化【学习目标】1、能把所给的二次根式化为最简二次根式 2、能进行分母有理化【学习重点】化简二次根式，分母有理化的的方法。【学习过程】一、自主学习，预习新知：1回顾：（）积的

8、算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的.（2）商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除式的算术平方根2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。.把下列各式化为最简二次根式（1）（2） （3） （4） （5）解 (1) .把下列各式化为最简二次根式（1） （2） （3）（4）注意:（1）化简二次根式时，往往需要先把被开方数分解因数。（2）当二次根式的被开方数含有分母时，化简后要保证根号内没有分母。3、分母有理化： 二次根式进行除法运算时，当被开方数不能恰好整除时，常采用分母有理化的方法

9、进行化简。如 这种把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化。 分母有理化的依据是分数的基本性质和公式.把下列各式分母有理化（1） （2） （3）（4） 把下列各式分母有理化 （1） （2） （3） （4）（5）注意：（1）一般地，互为有理化因式（2）在分母有理化时，有时也可以利用分解因式的方法，先约分，如第（3）小题二、合作探究，共同探讨： .把下列各式化为最简二次根式（1） （2） （3） （4）（） （）（）（）.把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4） （5）三、达标检测，当堂过关：1、下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由（1） （2） （3） （4） （5）2、把下列

10、各式化为最简二次根式（1） （2） （3）（4） （5） （6）3、把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）五、【我总结】本节课，我收获了些什么？教学反思：第21章二次根式导学案【学习课题】 第5课时: 二次根式的加减法【学习目标】1、理解同类二次根式的概念 2、会进行二次根式的加减法运算【学习重点】二次根式的加减法运算【学习过程】 一、自主学习，预习新知：1、计算：= 2、计算: 由于和都不是最简二次根式，可以考虑先将两式分别化简： 3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式注意：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须将

11、不是最简二次根式的式子化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同。如：下列各式中，哪些是同类二次根式？ 解： ， 是同类二次根式；是同类二次根式4、二次根式的加减法二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并同类二次根式与合并同类项类似。把同类二次根式的倍数相加减二次根式加减法运算的一般步骤是：（1） 先将每一个二次根式化为最简二次根式（2） 找出其中的同类二次根式（3） 合并同类二次根式（注意：1根号前面的系数不能是带分数，只能写成假分数2不是同类二次根式的二次根式不能合并，如）二、合作探究，共同探讨： .计算（1） （2）（3） .计算：（1） （2）

12、.若最简二次根式是同类二次根式，求x值二、 达标检测，当堂过关：.下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ .下列计算是否正确？为什么？（1）（ ）（2）（ ）（3） （ ）3、计算（1）（2）（3） （4）（5）（6）4、计算（1）（2）四、拓展延伸，智力闯关：已知和都是最简二次根式，求m、n的值教学反思：第21章二次根式导学案 【学习课题】 第6课时: 二次根式的混合运算【学习目标】1、会进行二次根式的混合运算 2、能运用二次根式知识解决一些综合问题【学习重点】二次根式的混合运算【学习过程】 一、自主学习，复习旧知：、几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数，这几个二次根式就叫做同类二次

13、根式2：二次根式相加减，先把各个二次根式化成二次根式，再把同类二次根式分别，合并同类二次根式的方法是。3、二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先后，最后，有括号 先算括号里的。.二次根式的混合运算中，仍可使用乘法分配律，单项式乘多项式法则，多项式乘以多项式法则，以及平方差公式和完全平方公式。、观察下列式子是否正确？为什么？（1）()（2） ( )（3）( )（4） ( ) 、计算下列各题 （1）（）二、合作探究，共同探讨： 1：计算：（1）（2）（3） （4）.计算：（1）（2）（3） （4）.计算（1） （2）（3） （4）.已知三、达标检测，当堂过关：1、的有理

14、化因式是 ， 。、计算下列各式（1）（2）（3）（4）（5） （6） 3、计算：（1）（2）（3） （4）4、已知,求x,y的值。、已知、若、已知与互为相反数，求的值。、已知，求下列各式的值：(1)x+y,(2)xy五、拓展延伸，智力闯关：、设直角三角形的两条直角边为 （1）已知（2）已知、已知 五、【我总结】本节课，我收获了些什么？教学反思：第21章二次根式导学案 【学习课题】 第7课时: 实数复习【学习目标】1、构建实数的知识系统 2、理解实数的相关概念【学习重点】 理解实数的相关概念【课题类型】单元复习 【学习过程】 一学习准备知识结构梳理无理数的引入算术平方根平方根 立方根无理数的表示

15、 实数概念实数实数分类 实数的运算 实数的大小二理解记忆基本知识点1平方根和算术平方根的概念性质（1）概念：若x2=a，则x是a的_，记作_；其中正的一个根是a的_，记作_.（2）性质：存在性：一个正数有_个平方根，它们_；0只有_个平方根，它是_，负数_平方根。双重非负性：对于有：0, a0一个数的平方的算术平方根：一个数的算术平方根的平方：（） ()2立方根的概念性质（1）概念：若x3=a,则x叫做a的_，记作_.（2）性质： 唯一性：正数有_个立方根，它是_；负数有_个立方根，它是_；0的立方根是_。 一个数的立方的立方根：_. 一个数的立方根的立方：=_，=_.3.实数的概念及分类（1

16、）概念：_和_统称为实数。（2）实数的分类，请用括号图进行分类按概念分类： 按符号分类：（3）实数与数轴的关系：数轴上的点与_一一对应。（4）实数的相反数、绝对值、倒数的定义与有理数的相反数、绝对值、倒数的定义一样。4实数的化简（1）最简二次根式：被开方数不含开方开得尽的因数（或因式），不含_（或分式）的二次根式。（2）分母有理化：把分母中的根号或根号中的_去掉的过程。分母有理化的依据是分数的基本性质和公式。一般地，互为有理化因式。三典型例题例1: (1)已知a的平方根为，则a= 。(2)若某数的平方根是a+3和2a15,则a= 。(3)已知一个数的平方根分别是3a1和a11，则这个数的立方根是 .(4)若x与y互为相反数，则 。例2：(1)若+=0，则x+y= 。 (2)已知，则x=。 .y= .z= . (3)若与互为相反数，则xy= 分析：因为绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，而几个非负数的和为0，则每一个加数都为0，从而可得方程组，进而求出x,y.z的值。即时训练：（1）、已知，则m=，n