2024届广东省广州市增城区四校联考数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届广东省广州市增城区四校联考数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图：在直棱柱中，，，分别是A1B1,BC,CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）A． B． C． D．2．用，，，，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．个 B．个 C．个 D．个3．在公差为的等差数列中，“”是“是递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．24 B． C．64 D．5．如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（）A．，是的极大值点B．，是的极小值点C．，不是的极值点D．，是是的极值点6．l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为A．6 B．1 C． D．37．已知等差数列的前项和，且，则（）A．4 B．7 C．14 D．8．“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件9．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③方程有无数个根；④函数f（x）是增函数．A．②③ B．①②③ C．② D．③④10．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（）A． B． C． D．11．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量y(单位:千瓦·时)与气温x(单位:oC)之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,x（单位：oC171410-1y（单位：千瓦•时）24343864由表中数据得线性回归方程:y=-2x+a,则由此估计:当某天气温为12oC时,A．56千瓦•时 B．36千瓦•时 C．34千瓦•时 D．38千瓦•时12．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，正方体的棱长为1，,为线段,上的动点，过点,,的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是________.①当且时,为等腰梯形;②当,分别为,的中点时，几何体的体积为;③当为中点且时，与的交点为,满足;④当且时,的面积.14．已知方程x2-2x+p=0的两个虚根为α、β，且α-β=4，则实数15．江湖传说，蜀中唐门配置的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由种藏红花，种南海毒蛇和种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行__________此实验．16．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意的，都有，则的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）现有男选手名，女选手名，其中男女队长各名.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）（1）男选手名，女选手名；（2）至少有名男选手；（3）既要有队长，又要有男选手.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知数列的前n项和为，满足，且，.（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法予以证明.20．（12分）已知，.（1）求证：；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）如图，在中，角所对的边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若点在边上，且是的平分线，，求的长.22．（10分）已知的展开式前三项中的系数成等差数列．（1）求的值和展开式系数的和；（2）求展开式中所有的有理项．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【题目详解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，据此可得：，，故，即直线PQ与AM所成的角是.本题选择D选项.【题目点拨】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、B【解题分析】

利用分类计数原理，个位数字为时有；个位数字为或时均为，求和即可.【题目详解】由已知得：个位数字为的偶数有，个位数字为的偶数为，个位数字为的偶数有，所以符合条件的偶数共有.故选：B【题目点拨】本题考查了分类计数运算、排列、组合，属于基础题.3、A【解题分析】试题分析：若，则，，所以，是递增数列；若是递增数列，则，，推不出，则“”是“是递增数列”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件的判定.4、B【解题分析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为；等腰三角形的底边长为4，高为．故侧面积为．即需要的茅草面积至少为．选B．5、B【解题分析】

由图判断函数的单调性，结合为在点P处的切线方程，则有，由此可判断极值情况.【题目详解】由题得，当时，单调递减，当时，单调递增，又，则有是的极小值点，故选B.【题目点拨】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解.6、D【解题分析】

先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.【题目详解】当x=0时，y=2,当y=0时，x=3,所以三角形的面积为.故选：D【题目点拨】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、B【解题分析】

由题意利用等差数列的定义、通项公式及前项和公式，求出首项和公差的值，可得结论．【题目详解】等差数列的前项和为，且，，．再根据，可得，，则，故选．【题目点拨】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前项和公式，属于基础题．8、B【解题分析】方程的曲线是椭圆，故应该满足条件：故”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故答案为：B.9、A【解题分析】

本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．【题目详解】画出函数f(x)=x−[x]的图象，如下图所示．由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；函数f(x)的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；函数f(x)有增有减，故④不正确．故答案为②③．【题目点拨】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．10、D【解题分析】

根据二项分布独立重复试验的概率求出所求事件的概率。【题目详解】由题意可知，五次测试中恰有三次测到正品，则有两次测到次品，根据独立重复试验的概率公式可知，所求事件的概率为，故选：D。【题目点拨】本题考查独立重复试验概率的计算，主要考查学生对于事件基本属性的判断以及对公式的理解，考查运算求解能力，属于基础题。11、B【解题分析】

计算出x和y的值，将点x,y的坐标代入回归直线方程，得出a的值，再将x=12代入可得出【题目详解】由题意可得x=17+14+10-14由于回归直线过样本的中心点x,y，则-2×10+a回归直线方程为y=-2x+60，当x=12时，y=-2×12+60=36（千瓦·【题目点拨】本题考查回归直线方程的应用，解题的关键在于利用回归直线过样本中心点x,12、C【解题分析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②【解题分析】

将①③④三个命题逐一画出图像进行分析,即可判断出真命题,从而得到正确的序号；②利用空间向量求点面距，进而得体积.【题目详解】①:作图如下所示,过作,交于,截面为即即截面为等腰梯形.故①正确.②:以为原点,、、分别为、、轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,设平面的法向量为,则不妨设,则法向量.则点到平面的距离.故②正确.③:延长交的延长线于一点,连接交于点.故③错误④:延长交的延长线于,连接交于,则截面为四边形根据面积比等于相似比的平方得.在中,,边上的高为故④错误故答案为:①②.【题目点拨】本题考查了正方体截面有关命题真假性的判断,考查椎体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力.对于求体积求高时,往往建立空间直角坐标系,采用法向量的思想进行求解思路比较明确.14、5【解题分析】

根据题意得出Δ<0，然后求出方程x2-2x+p=0的两个虚根，再利用复数的求模公式结合等式α-β=4可求出实数【题目详解】由题意可知，Δ=4-4p<0，得p>1.解方程x2-2x+p=0，即x-12=1-p，解得所以，α-β=2p-1故答案为5.【题目点拨】本题考查实系数方程虚根的求解，同时也考查了复数模长公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.15、.【解题分析】分析：先不考虑蛇共有种排法，再减去蛇相邻的情况，即可得出结论．详解：先不考虑蛇，先排蛇与毒草有种，再排藏红花有种，共有种，其中蛇相邻的排法共有种，，故答案为.点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.16、【解题分析】

由，得，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【题目详解】解：，，时，，时，；时，；时，；当时，由，解得或，若对任意，都有，则。故答案为：。【题目点拨】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）30；（2）65；（3）51.【解题分析】

（1）先选两名男选手，再选两名女选手，乘法原理得到答案.（2）用总的选择方法减去全是女选手的方法得到答案.（3）分为有男队长和没有男队长两种情况，相加得到答案.【题目详解】(1)第一步：选名男运动员，有种选法.第二步：选名女运动员，有种选法.共有(种)选法.(2)至少有名男选手”的反面为“全是女选手”.从人中任选人，有种选法，其中全是女选手的选法有种.所以“至少有名女运动员”的选法有(种).(3)当有男队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选男队长时，必选女队长，共有种选法，其中不含男选手的选法有种，所以不选男队长时，共有种选法.故既要有队长，又要有男选手的选法有(种).【题目点拨】本题考查了排列组合问题的计算，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.18、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）证明，再证明平面，即可证明；（2）以为原点建立空间直角坐标系，再求平面以及平面的法向量，再求两个平面法向量夹角的余弦值，结合图像即可求得二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：连接，.因为四边形是菱形且，为的中点，所以.因为平面，所以，又，所以平面，则.因为，所以.（2）以为原点建立空间直角坐标系（其中为与的交点），如图所示，则，，，.设平面的法向量为，则，，即，令，得.设平面的法向量为，则，，即，令，得.所以，由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.【题目点拨】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19、（1），，（2）猜想，证明见解析.【解题分析】

1利用代入计算，可得结论；2猜想，然后利用归纳法进行证明，检验时等式成立，假设时命题成立，证明当时命题也成立．【题目详解】1，且，当时，，，当时，，，或舍，当时，，，或舍，，，；2由1猜想，下面用数学归纳法证明：①当时，，显然成立，②假设时，结论成立，即，则当时，由，有，，，或舍，时结论成立，由①②知当，均成立．【题目点拨】本题考查了归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：验证成立；假设成立；利用已知条件