三重积分的计算方法与例题

1、.三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：z2如果先做定积分f ( x, y, z)dz ，再做二重积分F ( x, y)d ，就是“投z1D影法 ”，也即“先一后二”。步骤为：找 及在 xoy 面投影域 D。多 D 上一点（ x,y）“穿线”确定 z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。z2f (x, y, z)dvf (x, y, z)dzdDz1c2如果先做二重积分f ( x, y, z)d再做定积分F (z)dz ，就是“ 截面D z

2、c1法”，也即“先二后一” 。步骤为：确定位于平面 zc1与 zc2 之间，即 zc1 , c2 ，过 z 作平行于 xoy 面的平面截，截面 D z 。区域 D z 的边界曲面都是 z 的函数。计算区域 D z 上的二重积分f ( x, y, z)d ，完成D zc2了“先二”这一步（二重积分） ；进而计算定积分F ( z) dz ，完成“后c1c2一”这一步。f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)d dzc1D z当被积函数 f（z）仅为 z 的函数（与 x,y 无关），且 D z 的面积 ( z) 容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标

3、系计算的问题。可以按以下几点考虑： 将积分区域投影到 xoy 面，得投影区域 D( 平面 )（1） D 是 X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算 （当的边界曲.面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如f (x 2y 2 ), f ( y ) 时，x可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（ 3） 是球体或球顶锥体，且被积函数形如 f (x 2 y 2 z2 ) 时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法” 还是“截

4、面法”，要视积分域及被积函数 f(x,y,z)的情况选取。一般地， 投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：D z 是在 z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对 D z 积分时， f(x,y,z)与 x,y 无关，可直接计算 SD z 。因而中只要 za,b , 且 f(x,y,z) 仅含 z 时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或 zf (x 2y 2 ) 时，可考虑用柱面坐标 计算。三重积分的计算方法例题：补例 1：计算三重积分Izdxdydz，其中为平面 xyz1

5、 与三个坐标面x0, y0, z0 围成的闭区域。解 1“投影法”1.画出及在 xoy 面投影域 D.2. “穿线” 0z1xy.X 型0x1D：y1x00x1： 0y1x0z1xy3.计算11 x1 x y11 x1111Izdxdydzdxdyzdzdx(1 x y) 2 dy(1 x) 2 y (1 x) y 2y 3 10x dx0000022 031 1 (1 x) 3 dx1 x3 x 2x3 1x 4 1016 062424解 2“截面法” 1.画出。2. z 0,1过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 D z 。Dz 是两直角边为 x,y 的直角三角形，x1z, y1z3.计算

6、111Izdxdydzzdxdy dzzdxdydzzSD z dz100Dz0D z0z( 1 xy)dz1z 11(1 z)(1 z)dz1 (z 2z2z3 )dz12022 024补例 2：计算x2y 2 dv ，其中是 x 2y2z2 和 z=1 围成的闭区域。解 1“投影法”画出及在面投影域zx22 y 2xoyD.由 z1消去 z，1.得 x2y 21 即 D： x2y 212. “穿线”x 2y 2z1，.X 型D：1x11x2y1x 21x1:1x2y1x2x2y 2z13.计算x 2y 2 dv11x1x 2y2 dz11x2x2y 2 (1x 2y 2 )dydxdydx

7、11x2x2y211x26注：可用柱坐标计算。解 2“截面法”1.画出 。 2.z0,1 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 Dz ：x2y2z2D z ：020rz02用柱坐标计算:0rz0z13.计算112z1 1 r 3 0z dz21x 2y 2 dvx2y 2 dxdy dzdr 2 dr dz2z3 dz0 D z0 0003306补例 3：化三重积分 If ( x, y, z) dxdydz为三次积分，其中：zx 22 y2 及 z2 x 2 所围成的闭区域。解： 1.画出及在 xoy 面上的投影域 D.zx 22 y2由 z2x 2消去 z，得 x2y 21即 D：x 2y2

8、1.2.“穿线” x22 y2z 2 x21 x1X 型 D：1x2y1 x21x1：1x2y1x2x22 y 2z2x 211x22x23计算 If ( x, y, z) dxdydzdxdyf ( x, y, z)dz11x2x22 y 2注：当 f (x, y, z) 为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例 4：计算zdv ，其中为 z6x2y 2及 zx2y 2 所围成的闭区域。解 1“投影法”1.画出 及在 xoy 面投影域 D， 用柱坐标计算xr cos由 yr sin化的边界曲面方程为： z=6-r2，z=rzz解z 6r 2 得r2D： r2 即 022.z r0r202“穿线”

9、rz6 r 2: 0r2rz6r 26r 2226 r 221 z2 r6 r 23计算zdvzdzrdrddrdrzdz2rdrDr00r022292r (6 r 2 ) 2r 2 dr(36r13r 2r 5 )dr。003解 2“截面法”1.画出 。如图：由 z 6r 2 及 zr 围成。2.z0,6 0,2 2,612.1 由 z=r 与 z=2 围成； z 0,2 ， D z ： r z021 ： 0rz0z22 由 z=2 与 z=6r 2 围成；z 2,6 ， D z ： r6z022 ： 0r6z2z6263.计算zdv=zdvzdvzrdrddzzrdrddz120Dz12D

10、 z226262692zSDz1 dzzSDz2dz z( z2 ) dzz( 6z) 2 dzz3 dz(6z z2 ) dz0202023注：被积函数 z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r 代换。补例 5：计算( x2y2 )dv ，其中由不等式 0ax 2y 2z2A ，z0 所确定。xcossin解：用球坐标计算。由ysinsin得的边界曲面的球坐标方程： aAzcosP，连结 OP=，其与 z 轴正向的夹角为，OP=。P 在 xoy 面的投影为 P ，连结 OP ，其与 x 轴正向的夹角为 。： aA ， 0， 02222A21(x 2y2 )dvdd ( 2 sin 2 ) 2 sin d = 2sin 35 aA d00a05= 2 ( A522 ( A524 ( A5a 5 ) sin 3 da 5 )1a 5 )50