复变函数总结完整版

1、第一章 复数1 =-1 欧拉公式 z=x+iy 实部Re z 虚部 Im z2运算 共轭复数 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示 z与平面点一一对应，与向量一一对应辐角 当z0时，向量z和x轴正向之间的夹角，记作=Arg z= k=123把位于-的叫做Arg z辐角主值 记作=4如何寻找arg z例：z=1-i z=i z=1+i z=-1 5 极坐标： ， 利用欧拉公式 可得到 6 高次幂及n次方凡是满足方程的值称为z的n次方根，记作 即 第二章解析函数1极限2函数极限 复变函数对于任一都有 与其对应注：与实际情况相比，定义域，值域变化例 称当时以A为极限 当时，连续例1 证明在每一点都

2、连续证： 所以在每一点都连续3导数 例2 时有 证：对有 所以例3证明不可导解：令 当时，不存在，所以不可导。定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件 且例4证明不可导解： 其中 u,v 关于x,y可微 不满足C-R条件 所以在每一点都不可导例5 解： 不满足C-R条件 所以在每一点都不可导例6： 解： 其中 根据C-R条件可得所以该函数在处可导4解析若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。用C-R条件必须明确u,v四则运算 例：证明 解： 则 任一点处满足C-R条件所以处处解析 练习：求下列函数的导数 解: 所以 根据C-R方程可得 所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。初等函

3、数常数指数函数 定义域 对数函数 称满足的叫做的对数函数，记作分类：类比的求法（经验）目标：寻找 幅角主值可用： 过程： 所以 例：求 的值 幂函数 对于任意复数，当时例1：求的值解： 例2：求三角函数 定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数 例：求 解：第三章复变函数的积分1复积分定理3.1 设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有注：C是线 方式跟一元一样方法一：思路：复数实化把函数与微分相乘，可得方法二：参数方程法 核心：把C参数C： 例： 求 C：0的直线段；解：C： 结果不一样2柯西积分定理例： C：以a为圆心，为半径的圆，方向：逆时针解：C： 积分与

4、路径无关：单联通 处处解析例：求，其中C是连接O到点的摆线：解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析，则即把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于故 关键：恰当参数 合适准确带入z3不定积分定义3.2 设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满足条件 定理3.7 若可用上式，则 例： 计算解：练习：计算解：4柯西积分公式定理 处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则例1：解：例2：解：例3：解： 注：C： 一次分式找到 在D内处处解析例4：解：5 解析函数的高阶导数公式： n=1，2应用要点： 精准分离 例：6 调和函数若满足则称叫做D内的调和函数若在D内解析所以把称为共轭

5、调和函数第四章 级数理论1复数到 距离谈极限 对若有使得 此时 为的极限点 记作 或 推广：对一个度量空间都可谈极限2 极限的性质 3 4 级数问题 部分和数列若 则收敛，反之则发散。性质：1若 都收敛，则收敛2若一个收敛，一个发散，可推出发散 3 若 绝对收敛 若 但收敛 ，为条件收敛等比级数 ： 时收敛，其他发散幂级数 则 求收敛域 例：求的收敛半径及收敛圆解：因为 所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为泰勒级数泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数 其中， ，（n=0,1,2），且展式还是唯一的。例 1：求在处的泰勒展式解 ：在全平面上解析， ，所以在处的泰勒展式为 例2：

6、 将函数展成的幂级数解：罗朗级数罗朗定理 若函数在圆环D：内解析，则当时，有其中 例：将函数在圆环（1） （2）内展成罗朗级数。解：（1）在内，由于，所以（2）在内，由于，所以孤立奇点定义：若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。例 ： 为可去奇点 为一级极点 为本性奇点第5章 留数理论（残数）定义： 设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数记作：其中，C的方向是逆时针。例1：求函数在处的留数。解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。例2：求函数在处的留数解：是的本性奇点，因为所以可得第7章 傅里叶变换 通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。定义：对满足某些条件的函数 在上有定义，则称为傅里叶变换。同时 为傅里叶逆变换注：傅里叶变换是把函数变为函数傅里叶逆变换是把函数变为函数求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分两种常见的积分方法：凑微分、分部积分复习积分： 注：例1：求