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文档简介
1、6-1 工程中的弯曲变形问题 6-2 挠曲线的微分方程 6-3 用积分法求弯曲变形 6-4 用叠加法求弯曲变形 6-6 提高弯曲刚度的一些措施,6-1 工程中的弯曲变形问题,在工程实践中,对某些受弯构件,除要求具有足够的强度外,还要求变形不能过大,即要求构件有足够的刚度,以保证结构或机器正常工作。,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大,就会影响零件的加工精度,甚至会出现废品。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难,出现爬坡现象。,但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要。例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,6-2
2、挠曲线的微分方程,1.梁的挠曲线:梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。,2.梁位移的度量:,挠度:梁横截面形心的竖向位移w,向上的挠度为正,转角:梁横截面绕中性轴转动的角度q,逆时针转动为正,转角方程(小变形下):转角与挠度的关系,3.计算位移的目的:刚度校核、解超静定梁、适当施工措施,4.挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时,得到:,忽略剪力对变形的影响,由数学知识可知:,略去高阶小量,得,所以,由弯矩的正负号规定可得,弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致,所以挠曲线的近似微分方程为:,由上式进行积分,再利用边界条件(boundary condition)和连续条件(continuity
3、condition) 确定积分常数。就可以求出梁横截面的转角和挠度。, 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条件)确定。 优点:使用范围广,直接求出较精确; 缺点:计算较繁。,5.讨论:,6-3 用积分法求弯曲变形,挠曲线的近似微分方程为:,积分一次得转角方程为:,再积分一次得挠度方程为:,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,例6-3-1 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度,梁的EI已知。,解,1)由梁的
4、整体平衡分析可得:,2)写出x截面的弯矩方程,3)列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,4)由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5)确定转角方程和挠度方程,6)确定最大转角和最大挠度,例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度,梁的EI已知,l=a+b,ab。,解,1)由梁整体平衡分析得:,2)弯矩方程,AC 段:,CB 段:,3)列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段:,CB 段:,4)由边界条件确定积分常数,代入求解,得,位移边界条件,光滑连续条件,5)确定转角方程和挠度方程,AC 段:,CB 段:,6)确定最大转角和最大挠度,令 得,,令 得,,例6-3-
5、3 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程,并确定max和wmax。,解:,梁的转角方程和挠曲线方程分别为:,最大转角和最大挠度分别为:,A,B,由边界条件:,得:,6-4 用叠加法求弯曲变形,设梁上有n 个载荷同时作用,任意截面上的弯矩为M(x),转角为,挠度为w,则有:,若梁上只有第i个载荷单独作用,截面上弯矩为Mi(x) ,转角为i,挠度为wi,则有:,由弯矩的叠加原理知:,所以,,故,由于梁的边界条件不变,因此,重要结论: 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角,等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,叠加法前
6、提, 力与位移之间的线性关系 小变形,例6-4-1 按叠加原理求A点转角和C点挠度。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,例6-4-2 已知简支梁受力如图示,q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC ;B截面的转角B。,例6-4-3 已知:悬臂梁受力如图示,q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C。,二、结构形式叠加(逐段刚化法):,例6-4-4 试按叠加原理求图示等直外伸梁截面B的转角B,以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。,解:,=,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,一、改善结构形式,减少弯矩数值,改变支座形式,改变载荷类型,二、选择合理的截面形状,三 、选用高强度材料,提高许用应力值,同类材料,“E”值相差不多,“b”相差较大,故换用同类材料只能提高强度,不能提高刚度和稳定性。 不同类材料,E和G都相差很多(钢E=
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