数学大题题型通解

1、轻松考数学：高考大题中的通解思维轻松考数学：高考大题中的通解思维 当前教学上喜欢讲究一题多解，因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧，但是搏众高考中心 今天我们要反其道而行之，那就是一解多题。 数学大题表面上是很难，但是通过多年的教学积累和经验总结，我们发现数学整个学科的解题 思维基本上趋于一致，能够形成通解，使我们在数学教学上大幅的简化，甚至不需要刻意的思考。 我们借助一下历年高考真题，看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。这里，我们全部采 用 0508 全国 I 卷的最后一题，发现是数列、函数或不等式题，没关系，题型不一样，看看是否能 用固定的思维解法，解题步骤中存在什么样的共性： （

2、05 全国卷）已知函数.1 , 0, 2 74 )( 2 x x x xf （）求的单调区间和值域；)(xf （）设，函数。若对于任意总存在1ag xxa xax( ) , 32 3201，x101， ，使得成立，求a的取值范围。x001，)()( 10 xfxg 解析：本题看似式子复杂，但是第一问直接可根据定义去做，这个分数必须拿到。根据定义得 出以下式子： 解：（I）对函数求导，得到这步几乎大家都)(xf 22 2 )2( )72)(12( )2( 7164 )( x xx x xx xf 会，题目问的是的单调区间和值域，很多人看到这个式子不敢往下分析，其实仍旧跟据定义： 令 解得然后做表

3、分析即可。【思考：凭什么令思考：凭什么令？】0)( x f. 2 7 2 1 xx或0)( x f 当变化时，的变化情况如下表：x)(),(xfx f 所以，当时，是减函数；当时，是增函数.) 2 1 , 0(x)(xf) 1 , 2 1 (x)(xf 当时，的值域为4，3. 1 , 0 x)(xf 第二问很多人看题目就晕菜了，其实这道题即使你不会分析，大胆的往下做，就能把题目做对， 我们思考下，题目给的条件和我们要求的差距点是什么？题目给的条件和我们要求的差距点是什么？这道题的差距点虽然较大，但是用这种求 差值的思想是能一步步走下去的，题目给的是 g(x),x1和 x0,并且给了范围，要我们

4、求解 a 的范围， 要想求 a 的值，就必须列出 a 的表达式，a 的表达式想要列出，就必须从 g（x）入手，题目给的信 息除了区间就没有其他能利用的条件了。既然题目给的是区间，因此我们不妨对函数求导，)(xg 得【思考：凭什么进行求导？目的是什么？思考：凭什么进行求导？目的是什么？】到了这一步，由于题目告诉我们).(3)( 22 axxg ，所以当时，1a) 1 , 0(x . 0 )1 (3)( 2 axg 因此当因此当时，时，为减函数，从而当为减函数，从而当时有时有这个就是我们这个就是我们) 1 , 0(x)(xg 1 , 0 x).0(),1 ()(ggxg 所要的缺失条件。所要的缺失

5、条件。到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导，因为题目给了我们取值区间，要想 求出 a 值，只要判断这个函数的增减性就行了，这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的 增减性，就容易了，马上可列出马上可列出 a 的表达式：的表达式： 又即当时有有人说这个,2)0(,321) 1 ( 2 agaag 1 , 0 x.2,321 )( 2 aaaxg 不是表达式，还是个未知数，没关系，我们再用同样的思想去走，发现现在能利用的条件也异常清 楚了（因为就这个没用上了）： 任给，存在使得， 1 , 0 1 x3, 4)( 1 xf 1 , 0 0 x)()( 10 xfxg 则,123243 2 aa

6、a 即 12341 232 2 aa a 解得 ； 3 5 1aa或. 2 3 a 又，故 a 的取值范围为1a. 2 3 1 a 评析：这道题式子复杂，05 年高考时候正确率非常之低，但是其中的解题过程并不复杂，思 维方向也十分明确，只是考题将多个概念进行转换，条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识 点与逻辑能力的结合，但是总的思想是异常相似的，几乎全部的解答题都可以用一个思维来做，就就 是是“条件差异弥补法条件差异弥补法”和和“必要性思维必要性思维”。所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果，必须 获得的前提是什么，多属于逆推，两者的道理是一样的。 这里我们总结出这道题的思维步骤和解题

7、步骤： 全部的思维步骤：全部的思维步骤： 1、 严格按照题目的要求，判断要我们干什么严格按照题目的要求，判断要我们干什么 2、 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么 3、 利用利用“找后补找后补”或或“找前提找前提”的方式弥补出这个差距的方式弥补出这个差距 4、 最终联系条件得出这个结论最终联系条件得出这个结论 固定的解题步骤：固定的解题步骤： 1、 直接根据课本定义得出结论（某类题注意取值分析）直接根据课本定义得出结论（某类题注意取值分析） 2、 用求同存异的思想进行条件转换用求同存异的思想进行条件转换 3、 函数用式子变形推出结果（引申：若是证明

8、，数列用数学归纳法）函数用式子变形推出结果（引申：若是证明，数列用数学归纳法） 我们来看下道题，是否能够套用以上结论： （06 全国卷）设数列的前项的和 n an ， 1 412 2 333 n nn Sa 1,2,3,n A A A （）求首项与通项； 1 a n a （）设，证明： 2n n n T S 1,2,3,n A A A 1 3 2 n i i T 解析：题目直接要求我们求首项和通项，由于我们知道通项和 Sn 公式，就能直接根据定义来就能直接根据定义来 做。做。 解: ()由 Sn= an 2n+1+ , n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1 4+ 所以 a1=2. 4

9、3 1 3 2 3 4 3 1 3 2 3 再由有 Sn1= an1 2n+ , n=2,3，4, 4 3 1 3 2 3 将和相减得: an=SnSn1= (anan1) (2n+12n),n=2,3, 做到这一步相信大家都会，那么 4 3 1 3 我们要求 an公式，通过这个式子，我们发现差距点在我们发现差距点在 anan 1，同时可以 ，同时可以 2n+12n也是相差一次也是相差一次， 因此直接提出后因此直接提出后，可以得出可以得出： an+2n=4(an 1+2n 1),n=2,3, , 这个就是我们所弥补的缺失点。这个就是我们所弥补的缺失点。因而 数列 an+2n是首项为 a1+2=

10、4,公比为 4 的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而 an=4n2n, n=1,2,3, , 做到这里，我们要问自己凭什么这么转化我们要问自己凭什么这么转化，我们所求的 an和得到的结果(an 与 an1)存在差异点，要想把这个差异点弥补，就把他们之间的关系列出，就能得出结论。 第二问是数学证明，首先可以考虑数学归纳法证明，但是这题题设与我们得到的结论差距较少， 直接求解较快，如果为求稳妥，建议用数学归纳法。如果为求稳妥，建议用数学归纳法。看看直接求解的思路： 题目让干嘛就干嘛，别多想，直接用定义。题目让干嘛就干嘛，别多想，直接用定义。题目给的是这个式

11、子，那么必须求出 Sn。 2n n n T S ()将 an=4n2n代入得 Sn= (4n2n) 2n+1 + = (2n+11)(2n+12) 【请思考请思考】 4 3 1 3 2 3 1 3 = (2n+11)(2n1) ，然后求出 Tn 和（问题与题目的差距点，并想办法补上问题与题目的差距点，并想办法补上） 2 3 1 n i i T Tn= = = ( ) 2n Sn 3 2 2n (2n + 11)(2n1) 3 2 1 2n1 1 2n + 11 所以, = ) = ( ) 1 n i i T 3 2 1 ( n i 1 2i1 1 2i + 11 3 2 1 211 1 2i

12、+ 11 3 2 评析：这题本身难度不高，但是第一步的难度较大，但是用上必要性思维和求差距思想，要想 获得 an通项，必须结合起来解答，全部的难点仅此而已。总体而言，全部的解题思维是惊人的趋于 一致的。不信？看下道题： （07 全国卷）已知数列中， n a 1 2a 1 ( 21)(2) nn aa 12 3n ， （）求的通项公式； n a （）若数列中， n b 1 2b 1 34 23 n n n b b b 12 3n ， 证明：， 43 2 nn ba 12 3n ， （07 全国卷）解析：发现这题的做法思路完全和 06 年的一致，显然不能一步到位，还是先求 出 an与某个数的关系式

13、，题目告诉我们，说明差距体现在 上，用这 1 ( 21)(2) nn aa 21 个式子来决定我做题的方向： 解（）由题设： 1 ( 21)(2) nn aa ( 21)(2)( 21)(22) n a ， ( 21)(2)2 n a 1 2( 21)(2) nn aa 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 2 n a 2221 ，即的通项公式为，22( 21)n n a n a2 ( 21)1 n n a 12 3n ， 这道题难在第一步不知道如何去想，题目告诉我们的条件似乎比较棘手，但是用这种“追求差 异”并想法弥补的思维定式去做，很容易就将题目解答出来了。对于高考，方法越简单越实用越好

14、， 尤其是第二步给出了个看似复杂的式子，我们没有必要花费过多的精力推导，直接用数学归纳法即 可（过程略）。 评析：整体难度其实不大，但是看起来比较有难度。我们只要沿用这种求同存异的“补差”思 想，还是非常容易做的，甚至连计算都不难。 看到这里，大家应该能用这种思维去做其他题了吧，我们日常遇见的题型虽然各有差异，其实 总的做题思维真的没有太多差距，并且在解题步骤上也十分类同。大家不妨用这种思维去看看 08 的最后一题。 （08 全国卷）设函数数列满足，( )lnf xxxx n a 1 01a 1 () nn af a （）证明：函数在区间是增函数；( )f x(01)， （）证明：； 1 1

15、nn aa （）设，整数证明： 1 (1)ba， 1 1ln ab k ab 1k ab 简要解析：看看 08 高考题型结合函数了，依旧用同一个思想，第一步，依旧是题目让干嘛就 干嘛，求函数增减性，直接用定义，要证明，数学归纳法。 解：第一步（略），第二步证明，发现第一步函数的增减性可以直接利用，直接用数学归纳法。 第三步较为复杂，没关系，这题表面是数列，其实考察的是不等式，无论是哪类题型，其根本点还 是从条件中寻求差异，要我们证明，给的条件是设，整数，依旧是 1k ab 1 (1)ba， 1 1ln ab k ab 以“必要性思维”来思考，要想获得这个结论，必须列出他们的表达，要想列出他们的

16、表 1k ab 达，必须利用有这两个字母的条件，我们发现题目有和，然后就能( )lnf xxxx 1 () nn af a 轻松的得出结论：由 ， kkkk aababaln 1 ( )lnf xxxx 1 () nn af a 到了这里，几乎全部出来了。 1 1 ln k ii i abaa 1，若存在某满足，则由第二步可知：ik i ab 1ki abab 0 2，若对任意都有bai，则 kkkk aababaln 1 ik bkabaln 11 1 1 ln k ii i abaa 1 1 ln k i i abab 1 1 ()ln k i i abab bkabaln 11 )( 1

17、1 baba 0 ，即成立. 1k ab 解析：这道题出的十分经典，即考察定义，又综合了多个知识点，同时式子看起来比较能够 “吓唬”人，思维跳跃过程很大，但是计算本身并不复杂，这题失分率非常之高，第一步的过程就把 很多学生难倒，这是不应该的，其实无论多难的数学题，解题的根本方法是从题目本身入手，题目 让干嘛就干嘛，要我们做什么就自然而然的做，而不是看到题就联系知识点套用，那样只能做简单 的题，对付这类灵活多变的综合题，我们要在做题过程中形成这种相对固定的解题思路，达到用一 招就能化解多题，做一题，会百题的效果。 纵观近年数学考题，几乎都可以用这种思维拿下，当然这是站在数学的理解基础上，核心原则

18、核心原则 是以题做题，挖掘各类题型思维的共性，这样才能在数学考试上战无不胜，攻无不克。是以题做题，挖掘各类题型思维的共性，这样才能在数学考试上战无不胜，攻无不克。 09 试题的题型虽然比较独特，但是看看能否用这种思维来作出这道题呢？我们看看：设函数 在两个极值点，且 32 33f xxbxcx 12 xx、 11 10,1,2.xx ， （I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画bc、 出满足这些条件的点的区域；, b c (II)证明： 2 1 10 2 f x 解析：不管这道题的问法是什么，拿到题后还是先关注题目让 我们干什么。题目意图是让我们画出关于 f（x）成立 bc 的条件范

19、围，我们什么都不要想，直接顺着题意来： 由题意知方程有两个根 2 363fxxbxc 0fx 12 xx、 则有故有 1 10,x 且， 2 1,2.x 10f ， 00 f ， 1020ff， 这个不等式组全部转化为 c 的表达式，出来后就能通过坐标系画图，它 们围起来的区域就是所得的区域。之所以要求导，是因为导数=0 时是极值点， 这个就是直接根据定义得来的，符合我们说的通解思维。（具体图不画了） 第(II)问很多考生就不会做了，因为有一定的区分度，更主要原因是含字母较 多，不易找到突破口。来看我们的思想原则：首先找出题目给的条件和我们要求的差距点是什找出题目给的条件和我们要求的差距点是什

20、 么，然后利用么，然后利用“找后补找后补”或或“找前提找前提”的方式弥补出这个差距，题目让我们干嘛就干嘛。的方式弥补出这个差距，题目让我们干嘛就干嘛。本题 让我们证明，既然是要求 x2，我们不妨想办法列出 f（x2）的表达，从题目 2 1 10 2 f x 给的极值和 x2的取值范围，我们不妨根据定义对求导，得出 32 2222 33f xxbxcx ，有了这个式子，我们看看还有什么条件没用上？转化一步，写 2 222 3630fxxbxc 成，那么直接消去 b 得，为什么要消去 b 呢？因为cxbx 2 1 2 1 2 22 3 222 13 22 c f xxx 由第一步大家画的区域可以知道 b，c 的取值范围，我们只有将转为 b 或 c 的表达式，才 2