江苏专用高考数学一轮复习考点33基本不等式必刷题含解析

1、考点33基本不等式1. (江苏省徐州市(苏北三市(徐州、淮安、连云港)2019届高三年级第一次质量检测)已知a 0, b 0,丄* 13x 4y1a + 3方=且ba,则b的最大值为.【答案】3 【解析】rr3h = a + a-+ 1 +3. (江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟)已知正实数x,y满足x y ，则1y-1的最小值为【答案】7 + 4卩【解析】正实数x, y满足y 1,即3b2 + 2b-l2 4x*-=4y=4x+x J x ,当且仅当x=2时取等号即直线/的斜率的最小值杲4故答案为：4145. （江苏省徐州市2019届高三12月月考）己知正实数尤，y满足

2、+ =1,则x+y的最小值2兀 + y 2兀 + 3y为9【答案】-4【解析】Vx0, y0, .2x+y0, 2x+3y0, x+y0,14_（2x+ y * 2x + 3y Er 吕？九x+y冷（2心）+（2“3珂 那么：x+y= （x+y） X l = #（2x+y） +（2x + 3y） X14（2x+y）2x+3y4 2x+3y2x + y5 * 2x + y * 2x + 3y4 2x+3y 4（2x +y）.2x+y 2x+3y 卩* 2x + 3y 4（2x+y） 4当且仅*1 2x=y=-吋取等号.259所以：x+yM + 1 = .449故x+y的最小值为一49故答案为：v

3、42_+也6. （江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在山兀中，设角45C的对边分别是a,b,c,若屁b,c成等差数列，则siM si泌的最小值为 【答案】2（筋+ 1）【解析】故答案为：2（5 + 1）23- + - = JHF7. （江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）已知a0, b0,且a b ,则必的最小值是 【答案】2&【解析】23lI = Jab 2 - a ab 2因为a h“ b,当且仅当2b = 3a时取等号因此必的最小值是2屆1 1 1 1 =1 4= 1& （江苏省苏州市2018届高三调研测试）已知正实数a, b, c满足a b , a + b c

4、 ,则c的取值范围是 【答案】5【解析】1 1_ + a由a b=,可得b_l1b ,由a+b114c =c ,得=1a1=1+ b1b -1* b 1 4n 2b-l 或一+b-l+12110 vV114 3144b-1 +- 2b -1+2 -11 c0, y0,且？ +则x + y的最小值为【答案】3 + 2Q.【解析】,1 2y 2x厂(x + y)(- + -) = 3 + 3 + 2“ 厂由x0, y0,得x y x y,当且仅当y = 2&时等号成立，1 2I 3 + 22,所以x+y的最小值为3 + 2厲故答案为：3 + 2禺1 11F tanC = 010.(江苏省南通市20

5、18届高三最后一卷)在斜AABC中，若tanA tanB,则tanC的最大值是 【答案】-2农【解析】tanA 4- tanB1 - tan Atari在余斗 中, 4 + B + C =兀 C = 7T (4 +, tanC = tann 一 (/! + B) =- tan(71 + B)=-FF tanC = 0又 tanA tanB(11 +tanAtanB tanC =-tanA + tanBtanAtanB ,tanA + tanBtanA + tanB所以 tanAtanB1 - tanAtanB tanAtanB = 1 - tanAtanB, tanAtanB = 一 tanA

6、tanB = - 0,tanA2与同号,又在中， tanA 0,tanB 0,所以 ranC =- 2(tanA + tanB) O,y 0,且满足x + y = 4,则gx + gy的最大值为【答案】2lg2【解析】根据题意，l9x + lay = igxy,xy 0, y 0,且 x + y = 4,贝 I则有 gx + Igy = Igxy lg4,lgx +I gy 得最大值为 lgA = 2lg2.故答案为：21 g2.12.（江苏省盐城中学2018届高三考前热身2）已知正实数a, b满足a + b a-=1,则3a + 2b的最小值【答案】3 +庐.【解析】1 11= a+b a-

7、b ,b0-bN5(a + b) a-h 5(l+x)1 -x 6 + 8x+ 6x2y = +-*_ =+=a-b a + b 1-x1 + x 1-x28x+8US6 4- 8x + x2 y故1-/ 在0, 1）上单调递增,即y最小值为615（a + b） a_ b=-x H1：.3a+2b 26 a-b a + b的最小值为 6故答案为：6.13. （2018年全国普通高等学校招生统一考试江苏卷）在aMBC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c,= 120, BG的平分线交M于点，且BD = 1,则4a + c的最小值为.【答案】9 【解析】 由题意可知，Sabc = S “bd+S

8、“BCD、由角平分线性质和三角形面积公式得-acsinl20 = -a x 1 x sin60 + -c x 1 x stn60ac = a + c,- + =1222化简得a c ，因此、1 1c 4a4a + c = (4a + c)(- + ) = 515 + 2a cac当且仅当c = 2a = 3时取等号，则4a + c的最小值为9.14. （江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试四）已知函数fM=x2 + 2x-b + l （a, b为正实数）只1 2a1有一个零点，贝l|a b + 1的最小值为5【答案】2.【解析】 .函数fM = x2 + 2x-b + l (a, b为正实

9、数)只有一个零点,A = 4a - 4( - b + 1) = 4a + 4b - 4 = 0,.a+b = l.1 2a 1 2a 2a2 - a + 22a2 - 4a + 3a + 23a + 24 I=_ 2 T：a fe + l a 2-a- a2 + 2a- a2 + 2a- a2 + 2a_t-2 令t = 3a + 2(t2),则-2 +3a+ 2-a2 + 2a=一 2 +525b + 1的最小值为2,当且仅当16 2 f 1 ci = tD =t ,即t = 4时等号成立，此时 33.-+a15. (江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试)若正数a,5c成等差数列，则2a

10、 + b * a + 2c的最小值为2/5【答案】9-【解析】因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.4x -y - 2x + 5y令 5a+c=x, 2a+c=y,则 18185y x 当且仅当齐一石时取等号.2忑故答案为：16. (江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二)已知a, b为正实数，且(a-b) 1 _ + _ = 4(ab)即a b的最小值为2Q.,1 1 则a +亍的最小值为.【答案】2卫.【解析】由题得(a -疔=(a + b)? - 4ab,代入已知得(a + b)2 = 4 (ah3 + 4ab,当且仅当ab=l时取等.故答案为：2Q17.

11、 （江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试）已知a, b, c均为正数，且abc4（a+b）,则a+b+ c的最小值为【答案】8解析】abc = 4（a+b）4（a + b）abab=a + b + - + 2 a-+ 2 b = 4 + 4 = 8b a v a V b18. （江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研二模）己知a,b,c均为正数，且abc=4（ tH-功，则a+b+c的最小值为.【答案】8【解析】T a, b, c均为正数，且abc = 4（a+b）4（a + b）ab4（a + b）4 4 I 4 I 4a + b + c = a + b= a + b1

12、2. ux 2、bx一 8 ,当-L仅 a = 2, b = 2 nJ IRabb a a b号a+b+c的最小值为8故答案为8.19. （江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测）已知、（a2+b2 + c2+5a,b,cw（0,+oo）,则的最小值为.2bc + ac【答案】4【解析】由均值不等式的结论有：a2+b2+c2I 、 a2 +-c25b2+c224 ,n 7=- CIC H-r= be,V5 V5即 ac + 2bc2 +c2)* +5(a2 +b2 +c2+52/5 (a2 +Z2 +c2)aC + 2bC(a2+b2+c2) (a2

13、+b2+c2)(a2+b2+c2Y +5综上可得：-的最小值为4.2bc + ac20. (江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考)己知函数f(x) = ex-e-x+x3+3x,若整数a丿满足/(加一 1)+/0-1) = 0,则冷+仝匸上的最小值为一9【答案】-4【解析】因为函数f(x) = e-e-x+x3+3x 0) AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy (如图所示).景观湖的边界曲线符合函数x4模型.园区服务中心P在x轴正半轴上，po=3jg米.AO PB(1) 若在点0和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊0M,求0M的最短长度;

14、(2) 若在线段DE上设置一园区出口 Q,试确定Q的位置，使通道直线段PQ最短.【答案】0M的最小值为J2血+2百米.1当点Q在线段上且距离y轴亍百米，通道最短.【解析】当且仅当吩即”时取等号.所以0M的最小值为J2J2 + 2百米.(2)当直线PQ与边界曲线相切时，PQ最短.设切点为勺+ 2),所以切线的方程为厲亡id因为卩在“轴正半轴上，且P0=3,所以P点坐标为3因为切线过点3_ 1整理得2於+ 3勺-2 = 0,解得Xi2,或 =1(1 5因为0,所以22,此时切点为、22丿，切线方程为y =-3x + 4.2 =-2.令y = 5,得 3,即点Q在线段DE上且距离y轴3百米.答：当点

15、Q在线段DE上且距离y轴3百米，通道最短.m = a22. (江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测)已知a b0,且(a-b)b.(I) 试利用基本不等式求m的最小值t；(II) 若实数X，满足+ 4y2 + z2 = t,求证.x + 2y + zb0,且(a-b)b.即m可化为(a-b)b.由柯西不等式可得结论.(2) 由(1)可得x2 + 4y2 + z2 = 3.再由柯西不等式x2 + (2y)2 + z2(l2 + I2 + I2) (x + 2y + z)2gp可得 结论.(1)由三个数的均值不等式得：a b = b =(当且仅当a - b即b = l,a = 2时取“=”号

16、)，故有t = 3. 4分(2) x2 + 4y2 + z2 = 3,由柯西不等式得：x2 + (2刃2 + z2(i2 + 12 + 12) (x+2y + z)2x 2y z63(当且仅当了_亍_了即一 _弓_引寸取“=”号)整理得：(x+2y + z)29,即|x + 2y + z|w3.23.(江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试)己知a0,b0,a + b = l,求证1492a + 1 * 2b + 1 - 4.【答案】见解析【解析】证明：证法一因为a0, b0, a+b=l,所 y(-l- + -)(2a4-l) + (2b + l) = l+4+ll + 122+ 1 ?h + 1?ji + 1 7h + 1而(2a+l) + (2b+l)=4,所以詁寸船专证法二因为a0, b0,由柯西不等