超几何分布、二项分布、正态分布

1、.超几何分布、二项分布、正态分布【学习目标】1、通过实例，理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布列及其导出过程，并能进行简单的应用。2、理解n 次独立重复试验(即 n 重伯努利试验)及其意义，理解二项分布并能解决一些简单的实际问题。3、借助直观图，了解是正态分布曲线与正态分布，认识正态分布曲线的特点及曲线表示的意义。4、会查标准正态分布表，会求满足正态分布的随机变量x 在某一范围内的概率。【重点与难点】重点： 正确理解超几何分布、二项分布、正态分布的意义。难点： 正确进行超几何分布、二项分布、正态分布有关概率的计算。【知识要点】1、超几何分布：一般地，若一个随机变量x的分布列为：p(xr);.

2、其 中r 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ， min(n ， m) ， 称 x 服从超几何分布。 作x h(n ， m ， n) ，并将p(x r) ，;.记为 h(r ， n， m ， n) 。如：在一批数量为n 件的产品中共有m 件不合格品，从中随机取出的n 件产品中，不合格品数 x 的概率分布列如表一所示：(表一 )其中 min(n ， m) ，满足超几何分布。2、伯努利试验(n 次独立重复试验)，在n 次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对;.立的结果a 与出现， p(a) p (0，1)，这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。p() 1p q，则在 n 次独立重复试

3、验中，;.事件 a 恰好 生 k 次的概率 (0 kn)为 p(k) (k0， 1，2， 3， ， n)，它恰好是(q p)n 的二 展开式中的第k 1 。3、二项分布：若随机变量x的分布列为p(xk)，其中 0 p 1，p q 1，k 0，1，2， ，n， 称 x 服从参数 n、 p 的二 分布， 作x b(n ， p) 。如： n 次射 中， 中目 k 次的 或投 骰子n 次，出 k 次数字 5 的 等均 足二 分布。3、正 分布曲 。(1) 概率密度曲 ：当数据无限增多且 距无限 小，那么 率直方 的 无限 小乃至形成一条光滑的曲 ， 称此曲 概率密度曲 。(2) 正 态 密 度 曲 线

4、 ： 概 率 密 度 曲 线 对 应 表 达 式 为 p(x) ;.(x r)的曲线称之为正态密度曲线。正态密度曲线图象特征：当 x 时曲线上升；当x 时曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线。正态曲线关于直线x 对称。 越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡。在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1。4、正态分布：若x是一个随机变量，对任意区间，;.p恰 好 是 正 态 密 度 曲 线 下 方 和x轴 上上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量x 服从参数为 和 的正态分布，简记为2x n( ， )。在现实世界中很多随机变量遵循正态分布。如：反复测量某一个物理量，

5、其测量误差x 通常被认为服从正态分布；某一地区同性别同年龄组儿童的体重w 也近似地服从正态分布。;.若 x n(，2)，则随机变量 x 在 的附近取值的概率很大， 在离 很远处取值的概率很少。如图一所示：随机变量 x 取值落在区间 ( ， )上的概率约为 68.3%，落在区间 ( 2， 2)上的概率约为95.4% ，落在区间( 3， 3)上的概率约为99.7% 。2其中， 实际上就是随机变量 x 的均值， 为随机变量 x 的方差，它们分别反映 x 取值的平均大小和稳定程度。5 、 标 准 正 态 分 布 ： 正 态 分 布n(0 ， 1) 称 为 标 准 正 态 分 布 ， 此 时 ， p(x

6、) (x r)，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率。数学家们发现，在多种微小因素影响下，如果没有一种影响占主导地位，则这样的随机变量服从正态分布，特别是在独立地大数量重复试验时，就平均而言， 任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理，中心极限定理告诉我们在平均重复观察多次后，我们可以利用正态分布对随机事件进行分析和预报。可 以 证 明 ， 对 任 一 正 态 分 布x n( ， 2) 来 说 ， 都 可 以 通 过z ;.转化为标准正态分布z n(0 ， 1) 。6、利用excel 进行有关概率计算。(1) 超几何分布函数计算：按“插入 /函数

7、 /统计 ”选择超几何分布函数“hypgeomdist” ，然后依次输入r、 n、 m 、n 的值，或直接在单元格内输入“ hypgeomdist(4；5，10， 30) ”即可得到后边例1 中 h(4 ； 5， 10， 30)的值，约为0.029472443 。(2) 二项分布函数计算：选择“插入 /函数 / 统计 ”，选择二项分布函数“binomdist” ，然后依提示输入相应的参数k 、 n、 p 的值，或在单元格内直接输入“ binomdist(80， 10000 ，0.006，1) ”即可得到后面例4 中 p(x 80)的值，约为0.994 。(3) 正态分布函数计算：选择“插入 /

8、函数 /统计 ”，选择正态分布函数“normdist” ，输入相应参数 x、 、 的值，或在单元格内直接输入“ normdist(184.5， 184， 2.5 ， 1) ”，就可得到后边例 6 中 p(x184.5)的值，约为0.5793。7、二项分布的近似计算。对于二项分布函数，当n 比较大，而p 比较小 (p 0.1)，而乘积np 大小 “适中 ”时，可以利用近似公式p(x k)来计算。;.【典型例题分析】例 1：高三 (1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10 个红球， 20 个白球，这些球除颜色外完全相同， 一次从中摸出 5 个球， 摸到 4 个红球一个白球就中一等奖，

9、求中一等奖的概率。解： 以 30 个球为一批产品，其中红球为“不合格品 ”，随机抽取5 个球， x 表示抽到的红球数，则 x 服从超几何分布h(5 ， 10， 30)，由超几何分布公式可得：h(4；5，10，30) 0.0295，所以获一等奖的概率约为2.95% 。例 2：生产方提供 50 箱的产品中，有两箱不是合格产品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取 5 箱产品进行检测，若其中的不合格产品不超过一箱，则接收该批产品，问：该批产品被接收的概率是多少？解： 用 x 表示 5 箱中的不合格品的箱数，则 x 服从超几何分布 h(5 ， 2， 50)，这批产品被接收的条件是5 箱中有 0

10、 或 1 箱不合格产品，故该产品被接收的概率为p(x1)即：;.p(x1) p(x 0) p(x 1) ;.0.992答： 该批产品被接收的概率约为99.2% 。例 3：求抛掷100 次均匀硬币，正好出现50 次正面向上的概率。分析： 将一枚均匀硬币随机抛掷100 次，相当于做了100 次独立重复试验，每次试验有两个;.可能结果， 即出现正面(a) 与出现反面 ()且 p(a)p() 0.5 。解： 设 x 为抛掷 100 次硬币出现正面的次数，依题意随机变量x b(100 ， 0.5) ，;.则 p(x 50) 8%。答： 随机抛掷100 次均匀硬币，正好出现50 次正面的概率约为8%。例

11、4：某保险公司规定：投保者每人每年交付公司保险费120 元的人身意外保险，则投保者意外伤亡时，公司将赔偿10000 元，如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006，若该公司吸收10000 人参加保险，问该公司赔本及盈利额在400000 元以上的概率分别有多大？解： 设这 10000 人中意外死亡的人数为x ，根据题意， x b(10000 ，0.006)，p(x k)，当死亡人数为x 人时，公司要赔偿x 万元，此时，公司的利润为(120 x) 万元，由上述分布，公司赔本的概率为：;.p(120 x0) 1 p(x120) 1 1 0，这说明，公司几乎不会赔本，利润不少于400000 元的概率为

12、：;.p(120x40) p(x80) 0.994，即公司约有99.4% 的概率可以赚到400000 元以上。例 5：若随机变量z n(0 ， 1)，查标准正态分布表，求：(1)p(z 1.52)； (2)p(z 1.52)； (3)p(0.57 z2.3)； (4)p(z 1.49)。解： (1)p(z 1.52) 0.9357。(2)p(z 1.52) 1 p(z1.52)1 0.9357 0.0643 。(3)p(0.57 z2.3) p(z2.3) p(z0.57) 0.9893 0.7157 0.2736 。(4)p(z 1.49) p(z1.49) 1 p(z1.49) 1 0.9

13、319 0.0681。例 6：某批待出口的水果罐头，每罐净重x(g) 服从正态分布n(184 ， 2.52)，求：(1)随机抽取一罐，其实际净重超过184.5g 的概率。(2)随机抽取一罐，其实际净重在179g 与 189g 之间的概率。;.解： (1)p(x 184.5) p p(z 0.2) 1 p(z 0.2) 1 0.5793 0.4207 。(2)p(179 x189) p p( 2 z2) p(z2) p(z 2) p(z2) p(z2) p(z2) 1 p(z2) 2p(z2) 1 20.9772 1 0.9544答： 随机抽取一罐，其实际净重超过184.5g 的概率是0.4207，在 179g 与 1