（河南专版）2019年中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.3 类比拓展探究型（试卷部分）课件.ppt

1、第八章 专题拓展 8.3类比拓展探究型,中考数学 (河南专用),解答题 1.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB 的值.,好题精练,解析(1)证明:M=N=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNP

2、C交BC于点N, 则PMNAPB. =tanPAC=,设PN=2t,则AB=t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BPBC,(t)2=BP(BP+4t), BP=t,BC=5t, tan C=.,(3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=. 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, =, 同(1)的方法得,ABGBCH, =, 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n, AB=AE,AGBE,EG=BG=4m,=,n

3、=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB=.,思路分析(1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出=,设PN=2t,则AB=t,再 判断出ABPCBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先判断出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以= =,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导几何中的类比探究关键在于找到解

4、决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.,2.(2018陕西,25,12分) 问题提出 (1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为. 问题探究 (2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值. 问题解决 (3)如图所示,AB、AC、是某新区的三条规划路,其中,AB=6 km,AC=3 km,BAC=60, 所对的圆心角为60.新区管委会想在路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站 点E、F,也就是,分别在、线段AB和A

5、C上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物 资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计),解析(1)5.(2分) 详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心, OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC, BAO=CAO, BAC=120,BAO=60, ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5. 即ABC的外接圆半径R的值为5. (2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P,连接OA,OP.,M是弦A

6、B的中点, OMAB,AM=AB=12. 在RtAOM中,OM=5.(4分) PMOM+OP=OM+OP=MP=18, 当点P运动到P时,PM取得最大值,为18.(5分) (3)如图,设P为上任意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2,分别 与AB、AC相交于点E、F,连接PE,PF,PEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2, 对于点P及分别在AB、AC上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2. 即PEF周长的最小值为P1P2的长.(7分) 连接AP1,AP,AP2, 则AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC, P1AP2=2BA

7、C=120,P1P2=AP1=AP.(8分) 要使P1P2最短,只要AP最短即可. 设O为所在圆的圆心,连接OB、OC、OP、OA,且OA与相交于点P,则AP+POAO. APAP.(9分) 连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90, BC=ACtan 60=3 km. BOC=60,OB=OC, BO=BC=3 km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90. 在RtABO中,AO=3 km.(11分) AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km. P1P2的最小值为AP=(3-9)km. PE+EF+FP的最小值为(3-9)km.(12分),思路分析(1)设O

8、是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等可证ABO是等边三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)当PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可得AM=AB=12,再根据勾股定理求得OM=5,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3) 分别以AB、AC所在的直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为P1,关于AC的对称点为P2,易得PEF的周长为P1P2的长,根据P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与交于 点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC为直角三角形,求出BC的长,在RtABO中由勾股定理求出AO的长,进而求出AP的值

9、,最后求得PE+EF+FP的最小值.,难点分析本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+FP取得最小值.读懂题目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出AP的最小值.,3.(2017四川成都,27,10分)问题背景:如图1,等腰ABC中,AB=AC,BAC=120,作ADBC于点D,则D为BC的中点,BAD=BAC=60,于是=; 图1 迁移应用:如图2,ABC和ADE都是等腰三角形,BAC=DAE=120,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.,图2,求证:ADBAEC; 请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式; 拓展延伸:如

10、图3,在菱形ABCD中,ABC=120,在ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF. 图3 证明:CEF是等边三角形; 若AE=5,CE=2,求BF的长.,解析迁移应用 证明:ABC和ADE都是等腰三角形, AD=AE,AB=AC, 又DAE=BAC=120, DAE-BAE=BAC-BAE,即DAB=EAC. ADBAEC(SAS). DC=AD+BD. 详解:由问题背景可知,在ADE中,有DE=AD, 由可知,BD=EC, DC=DE+EC=AD+BD. 拓展延伸 证明:如图所示,连接BE.,C,E关于BM对称, BE=BC,FE=FC,EB

11、F=CBF,EFB=CFB, 四边形ABCD是菱形,且ABC=120, AB=BC=BE. 过B作BGAE,则AG=GE,ABG=GBE, GBF=GBE+EBF=ABC=120=60. CFB=EFB=30,即EFC=60. CEF为等边三角形. AE=5,GE=GA=,EF=CE=2,GF=GE+EF=, 在RtGBF中,GFB=30, BF=3.,思路分析迁移应用:根据SAS证全等.由问题背景可知,DE=AD,由可得,EC=BD, DC=DE+EC=AD+BD. 拓展延伸:要证明CEF为等边三角形,根据对称性可知,FE=FC,EFB=CFB,那么我们只需证明EFB=30即可.在的基础上,

12、易得GE=AE=,EF=2,则GF=GE+EF=.在Rt GBF中,BF=3.,4.(2017江西,23,12分)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB,把AC绕点A逆时针旋转得到AC,连接BC.当+=180时,我们称ABC是ABC的“旋补三角形”,ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”. 特例感知 (1)在图2,图3中,ABC是ABC的“旋补三角形”,AD是ABC的“旋补中线”. 如图2,当ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC; 如图3,当BAC=90,BC=8时,则AD长为. 猜想论证 (2)在图1中,当A

13、BC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.,拓展应用 (3)如图4,在四边形ABCD中,C=90,D=150,BC=12,CD=2,DA=6.在四边形内部是否存 在点P,使PDC是PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由. 图4,解析(1).(1分) 4.(3分) (2)猜想:AD=BC.(4分) 证明:证法一:如图,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE. AD是ABC的“旋补中线”, BD=CD, 四边形ABEC是平行四边形, ECBA,EC=BA, ACE+BAC=180. 由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,

14、AC=AC,ACE=BAC,EC=BA. ACECAB. AE=CB.(6分) AD=AE,AD=BC.(7分) 证法二:如图,延长BA至F,使AF=BA,连接CF. BAC+CAF=180. 由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC, CAB=CAF,AB=AF, ABCAFC, BC=FC.(6分),BD=CD,BA=AF, AD是BFC的中位线, AD=FC, AD=BC.(7分) 证法三:如图,将ABC绕点A顺时针旋转CAC的度数,得到AEC,此时AC与AC重合,设D的对应点为D,连接AD. 由定义可知BAC+BAC=180, 由旋转得BAC=EAC, BAC+EAC=

15、180, E,A,B三点在同一直线上.(6分),AB=AB=AE,ED=DC, AD是EBC的中位线, AD=BC, AD=BC.(7分) (注:其他证法参照给分) (3)存在.(8分) 如图,以AD为边在四边形ABCD的内部作等边PAD,连接PB,PC,延长BP交AD于点F, 则有ADP=APD=60,PA=PD=AD=6.,CDA=150,CDP=90. 过点P作PEBC于点E,易知四边形PDCE为矩形, CE=PD=6, tan1=, 1=30,2=60.(9分) PEBC,且易知BE=EC, PC=PB,3=2=60, APD+BPC=60+120=180. 又PA=PD,PB=PC,

16、 PDC是PAB的“旋补三角形”.(10分) 3=60,DPE=90, DPF=30. ADP=60,BFAD, AF=AD=3,PF=AD=3.,在RtPBE中, PB=4. BF=PB+PF=7. 在RtABF中,AB=2.(11分) PDC是PAB的“旋补三角形”, 由(2)知,PAB的“旋补中线”长为AB=.(12分) 求解“旋补中线”补充解法如下: 如图,分别延长AD,BC相交于点G, ADC=150,BCD=90,GDC=30,GCD=90. 在RtGDC中,GD=2=4. GC=GD=2, GA=6+4=10,GB=2+12=14. 过A作AHGB交GB于点H,在RtGAH中,

17、AH=GAsin 60=10=5,GH=AG=5. HB=GB-GH=14-5=9, 在RtABH中,AB=2.(10分) PDC是PAB的“旋补三角形”, 由(2)知,PAB的“旋补中线”长为AB=.(12分) (注:其他解法参照给分),5.(2016四川达州,24,10分)某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF. (1)观察猜想 如图,当点D在线段BC上时,BC与CF的位置关系为. BC,CD,CF之间的数量关系为(将结论直接

18、写在横线上); (2)数学思考 如图,当点D在线段CB的延长线上时,结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明; (3)拓展延伸 如图,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若AB=2,CD=BC,请求 出GE的长.,解析(1)BCCF.BC=CD+CF. (2)结论仍然成立,不成立. 证明:BAC=DAF=90, BAD=CAF. 又AB=AC,AD=AF, ABDACF. ACF=ABD=180-45=135. ACB=45, BCF=90,即BCCF. 结论为BC=CD-CF. 证明:ABDACF, BD=CF. BC=CD-BD,

19、 BC=CD-CF.,(3)过点E作EMCF于点M,作ENBD于点N,过点A作AHBD于点H,如图, AB=AC=2, BC=4,AH=BC=2. CD=BC,CD=1. BAC=DAF=90,BAD=CAF. 又AB=AC,AD=AF, ABDACF. ACF=ABC=45. ACB=45,BCF=90. ABC=AGC=45. BC=CG=4. ADE=90, ADH+EDN=EDN+DEN=90. ADH=DEN. 又AHC=DNE,AD=DE, AHDDNE. DN=AH=2,EN=DH=3. CM=EN=3,ME=CN=3, 则GM=CG-CM=4-3=1. EG=.,6.(2015

20、湖北随州,24,10分)问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45, 试判断BE、EF、FD之间的数量关系. 【发现证明】 小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论; 【类比引申】 如图(2),四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD; 【探究应用】 如图(3),在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,ADC=120,BAD=150,道路BC、CD上分别有景点E、

21、F,且AEAD,DF=40(-1)米,现要 在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:=1.41,=1.73).,解析发现证明:将ABE绕点A逆时针方向旋转90至ADG, ABEADG, BAE=DAG,B=ADG,AE=AG,BE=DG, EAF=45,BAE+FAD=45,FAG=45, 在正方形ABCD中,B=ADC=90, ADG+ADF=180,即点G、D、F在一条直线上, 在EAF和GAF中, EAFGAF, EF=GF,又GF=DG+DF=BE+DF, EF=BE+FD. 类比引申:EAF=BAD,理由如下: 如图,将ABE绕点A逆时针方向旋转至ADG

22、,使AB与AD重合,ABEADG, BAE=DAG,B=ADG,AE=AG,BE=DG, 在四边形ABCD中,B+ADF=180, ADG+ADF=180,即点G、D、F在一条直线上, 在EAF和GAF中, EAFGAF, EF=GF,又GF=DG+DF=BE+DF, EF=BE+FD. 探究应用:连接AF,延长BA、CD交于点O,在RtAOD中,易得ODA=60,OAD=30,又AD=80米, AO=40米,OD=40米, OF=OD+DF=40+40(-1)=40米, AO=OF, OAF=45, DAF=45-30=15, EAF=90-15=75, EAF=BAD. 由类比引申的结论可

23、得EF=BE+DF=40(+1)=109米.,7.(2014江苏镇江,28,10分)我们知道平行四边形有很多性质. 现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论. 【发现与证明】 ABCD中,ABBC,将ABC沿AC翻折至ABC,连接BD. 结论1:BDAC; 结论2:ABC与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形. 请利用图1证明结论1或结论2(只需证明一个结论). 【应用与探究】 在ABCD中,已知B=30,将ABC沿AC翻折至ABC,连接BD. (1)如图1,若AB=,ABD=75,则ACB=,BC=; (2)如图2,AB=2,BC=1,AB与边CD相交于点E,

24、求AEC的面积; (3)已知AB=2,当BC长为多少时,ABD是直角三角形?,解析【发现与证明】 证明:如图1,设AD与BC相交于点F, ABC沿直线AC翻折至ABC, ABCABC,ACB=ACB,BC=BC, 四边形ABCD为平行四边形, AD=BC,ADBC, 图1 BC=AD,ACB=CAD,ACB=CAD=, AF=CF,(1分) BF=DF, CBD=BDA=. AFC=BFD,ACB=CBD, BDAC.(2分) 【应用与探究】 (1)45;(3分) +.(4分) (2)过点C分别作CGAB,CHAB, 垂足分别为G、H,CG=CH. 在RtBCG中,BGC=90, BC=1,B

25、=30,CG=,BG=. CH=CG=. AB=2,AG=, 由AGCAHC,得AH=AG=. 设AE=x,则CE=x,由CE2=CH2+HE2, 得x2=+,解得x=,则AE=.(5分) ACE的面积=AECH=.(6分),按ABD中的直角分类: 当BAD=90时,如图3,ACB=30,BC=6; 如图4,BAC=30,BC=2; 当ABD=90时,如图5,ACB=60,BC=4; 当ADB=90时,如图6,ACB=90,BC=3. 综上,BC的长为6,2,4或3.(10分 图3图4,图5图6,8.(2016浙江湖州,24,10分)数学活动课上,某学习小组对有一内角为120的平行四边形ABCD(BAD=120)进行探究:将一块含60角的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点). (1)初步尝试 如图1,若AD=AB,求证:BCEACF,AE+AF=AC; (2)类比发现 如图2,若AD=2AB,过点C作CHAD于点H,求证:AE=2FH; (3)深入探究 如图3,若AD=3AB,深究得:的值为常数t,则t=.,解析(1)证明:平行四边形ABCD中,BAD=120, D=B=60. AD=AB,ABC和ACD为正三角形, B=CAD=60,ACB=6