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1、,动力学,研究物体的机械运动 与作用力之间的关系,动力学,动力学的主要内容,1. 动力学第一类问题 已知系统的运动，求作用在系统上的力。,2. 动力学第二类问题 已知作用在系统上的力，求系统的运动。,动力学所涉及的研究内容包括：,动力学,动力学普遍定理,动力学, 动量定理, 动量矩定理, 动能定理,动力学普遍定理,1、物理量,（2）冲量,（1）动量,（3）动量矩,1、物理量,（4）转动惯量,回转半径, 定义,动力学普遍定理,1、物理量, 简单形体的转动惯量, 均质细圆环, 均质薄圆盘, 均质细长杆,m,m,m,动力学普遍定理,1、物理量, 平行移轴定理,m,动力学普遍定理,1、物理量,（5）力

2、的功, 常力的功, 变力的功, 重力的功, 弹性力的功,动力学普遍定理,1、物理量,（6）动能, 质点, 平移刚体, 定轴转动刚体, 平面运动刚体,（7）势能,M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。,动力学普遍定理,2定理,（2）质心运动定理,（1）动量定理,（3）动量定理、质心运动定理守恒,若,则,若,则,动力学普遍定理,2定理,（5）定轴转动微分方程,（4）动量矩定理,（6）平面运动微分方程,动力学普遍定理,2定理,（8）机械能守恒,（7）动能定理,常数,动力学普遍定理,( ),A、a、b都正确； B、a、b都不正确。 C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。,(2)重量为G的汽车

3、，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路面最低点时，对路面的压力如何 ? （ ）,A、压力大小等于G； B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G； D、已知条件没给够，无法判断。,【思考题】,1选择题,（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？,A,B,1.选择题,D,（1）设刚体的动量为 ，其质心的速度为 ，质量为M，则式 。（ ）,A、只有在刚体作平动时才成立；,B、只有在刚体作直线运动时才成立；,C、只有在刚体作圆周运动时才成立；,D、刚体作任意运动时均成立；,C,（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ ）,A、无变化；,B、动量大小有变化，但方

4、向不变,C、动量大小无变化，但方向有变化,D、动量大小、方向都有变化,【思考题】,C,（3）一均质杆长为 ，重为P，以角速度 绕O轴转动。试确定在图示位置时杆的动量。（ ）,A、杆的动量大小 ，方向朝左,B、杆的动量大小 ，方向朝右,C、杆的动量大小 ，方向朝左,D、杆的动量等于零,例 基本量计算 (动量，动量矩，动能),质量为m长为l的均质细长杆，杆端B端置于水平面，A端铰接于质量为m，半径为r的轮O边缘点A,已知轮沿水平面以大小为w的角速度作纯滚动，系统的动量大小为（ ），对点P的动量矩大小为 （ ），系统动能为（ ）。,图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为2r，质量为m，行星齿轮可视为均质

5、轮，质量为m，半径为r，系杆绕轴O转动的角速度为w。则该系统动量主矢的大小为（ ），对轴O的动量矩大小为（ ）， 系统动能为（ ）。,【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。首先需找出每个刚块的质心速度：,（1）OA作定轴转动，其质心速度在图示瞬时只有水平分量 ，方向水平向左。,（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速度也只有水平分量 ，方向水平向左。,（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速度方向恒为水平，在图示瞬时 ，方向水平向左。,所以,所以,方向水平向左,例 题,图示均质细直杆OA长为l，质量为m，质心C处连接一刚度系数为k 的弹簧，若杆运

6、动到水平位置时角速度为零，则初始铅垂位置（此时弹簧为原长）时，杆端A的速度vA为 多少？,动力学普遍定理,【解】,（1）用动能定理求角速度。,例11-5 如图所示，质量为m，半径为r的均质圆盘，可绕通过O 点且垂直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴转动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置时圆盘的角速度、角加速度及O处的反力。,（2）当OC在同一水平位置时，由动量矩定理有：,代入JO，有,（3）求O处约束反力,作圆盘的受力分析和运动分析，有,由质心运动定理，得,法二：用动能定理求角速度及角加速度。,两边对（*）式求导,【思考与讨论】,1选择题,（1）如图所示，半径为R

7、，质量为m的均质圆轮，在水平地面上只滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为f。试求轮心向前移动距离s的过程中摩擦力的功WF。 （ ）,A WF=fmgs B WFfmgs C WF=Fs D WF=0,D,(2)如图所示，楔块A向右移动速度为v1,质量为m的物块B沿斜面下滑，它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能TB。（ ）,D,（3）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为2L，刚度系数为 k，两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物 下降x路程中弹性力所作的功 。（ ）,C,（4）如图所示，平板A以匀速v沿水平直线向右运动，质量为 m，半径为r的均质圆轮B在平板上以匀角速度朝顺时针方向 滚

8、动而不滑动，则轮的动能为（ ）,B,【解】取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。,方向如图所示。则：,建立坐标系oxy，杆OA质心加速度为：,由质心运动定理计算约束反力,例12-1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆从与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,（法1）选杆AB为研究对象，虚加惯性力系：,解：,根据动静法，有,注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。,法2：用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：,解：选AB为研究对象，,由动量矩定理，得：,由质心运动定理：,如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，由图示位置（ ）无初速度地倒下，求该瞬时A端所受

9、到地面的约束反力。,A,B,12-3. 匀质轮重为G，半径为 r ，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度 ，角加速度为，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心C和水平面上O点的动量矩，向质心C和水平面上O点简化的惯性力系主矢与主矩。,解：,思考题,例12-4 质量为m1和m2的两均质重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度（轴O 处摩擦不计，绳与轮无相对滑动）。,由动静法：,列补充方程：,取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶：,解：,方法1 用达朗贝尔原理求解,代入上式,

10、方法2 用动量矩定理求解,根据动量矩定理：,取系统为研究对象,取系统为研究对象，任一瞬时系统的,两边对时间t求导数，得,方法3 用动能定理求解,任意假定一个初始值,例11-6 图示系统中，均质圆盘A、B各重P，半径均为R，两盘中心线为水平线，盘B作纯滚动，盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问重物由静止下落距离h时重物的速度与加速度以及AD段、AB段绳拉力。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动。),解：取整个系统为研究对象,（1）整个系统所受力的功：,（2）系统的动能：,这里,上式求导得：,（3）对系统应用动能定理：,AD段绳拉力,AB段绳拉力,解法二：也可分别取研究对象,D：,这里

11、,A：,B：,例 题,在图示机构中，鼓轮B质量为m，内、外半径分别为r和R，对转轴O的回转半径为r，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块A，另一端与质量为M、半径为r的均质圆轮C相连，斜面倾角为j，绳的倾斜段与斜面平行。试求：（1）鼓轮的角加速度a；（2）斜面的摩擦力及连接C的绳子的张力（表示为a的函数）。,动力学普遍定理,例 题,图示滚轮C 由半径为r1的轴和半径为r2的圆盘固结而成，其重力为FP3，对质心C的回转半径为，轴沿AB作无滑动滚动；均质滑轮O的重力为FP2，半径为r；物块D的重力FP1。求：（1）物块D的加速度；（2）EF段绳的张力；（3）O1处摩擦力。,动力学普遍定理,例题 用

12、长 l 的两根绳子 AO 和 BO 把长 l ，质量是 m 的匀质细杆悬在点 O (图 a )。当杆静止时，突然剪断绳子 BO ，试求刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。,O,l,l,l,B,A,C,（a）,动静法应用举例,例题 5-6,绳子BO剪断后，杆AB将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳OA的约束，点A将在铅直平面内作圆周运动。在绳子BO刚剪断的瞬时，杆AB上的实际力只有绳子AO的拉力F和杆的重力mg。,解：,在引入杆的惯性力之前，须对杆作加速度分析。取坐标系Axyz 如图(c)所示。,aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anAC,O,l,l,B,A,

13、C,mg,F,（b）,利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心C作基点，则点A的加速度为,动静法应用举例,在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度 = 0 ，角加速度 0。因此,又 anA= 0，加速度各分量的方向如图(c)所示。把 aA 投影到点A轨迹的法线 AO上，就得到,anAC = AC 2 = 0,atAC = l2,这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。,即,（1）,5-3 动静法应用举例,杆的惯性力合成为一个作用在质心的力 F*C 和一个力偶M*C ，两者都在运动平面内， F*C的两个分量大小分别是,F*Cx = maCx , F*Cy = maCy,力偶矩 M*C 的大小是,M*C = JCz,旋向与相反( 如图b)。,5-3 动静法应用举例,由动静法写出杆的动态平衡方程，有,且对于细杆 , JCz = ml 212 。,联立求解方程(1)(4)，就可求出,（2）,（3）,（4）,5-3 动静法应用举例,例题 5-6,例12-7,均质棒AB得质量为m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳 上，棒处在水平位置，如图（