第3章 离散傅里叶变换(DFT)(2016)幻灯片.ppt

1、3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.4 DFT的应用,第3章 离散傅里叶变换(DFT),3.1 离散傅里叶变换的定义,引：DFT-时间、频率都离散化且是有限长序列的傅里叶变换， 可在计算机上实现。 频率离散化： X(e j)=FTx(n)= 在02内变化，仍是连续的,须经离散化才能在计算机上 处理。方法：在单位圆上均匀取样，将02等分为N点 N=2/N，第k点频率k=2k/N，则 X(k)=X(ej)| =Nk (k=0,1,2,N-1),一、DFT的定义 X(k)=DFTx(n)= 其中 x(n) -有限长序列（长度为M)； X(k) -x(n)的N点DFT；

2、 WN=e-j2/N-旋转因子；N- DFT的变换区间(NM),X(k)的离散傅里叶逆变换为 x(n)=IDFTX(k) =,例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点DFT 设变换区间N=8， 则,|X(k) | (N=8),|X(k)| (N=16),|X(k)| (N=64),|X(k) |的包络,二、 DFT和Z变换的关系 x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔采样。即,三、 DFT隐含周期性 1.X(k+mN)=X(k) (m为整数) 证：由于 故,(k,m,n均为整数),2. x(n+mN)=x(n) (m为整数) 证： x(n+mN)=,例:

3、x(n)=(-0.9)n -5n5,绘图探讨其周期性。 取：N=100 k= -200200(-2N2N),注：k=2k/N,幅频,x(n),相频,x(n)=IDFTX(k),n,(),(),n,3. x(n) 的周期延拓 长度为N的序列x(n)的周期延拓为：,则,即x(n)为 的主值序列。,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,一、 线性 设x1(n)和x2(n) 长度分别为N1和N2， y(n)=ax1(n)+bx2(n) (a, b为常数) 取N=maxN1, N2， 则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1 (3.2.1) 其中X1(k)

4、和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,二、 循环移位性质 1. 序列的循环移位 设x(n) 长度为N， 则x(n)的循环移位 y(n)=x(n+m)NRN(n) (3.2.2),1)x(n)周期延拓,2)移位,3)取主值序列,2. 时域循环移位定理 设x(n) 长度为N，y(n)=x(n+m)NRN(n) 则 Y(k)=DFTy(n) =WN-km X(k) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。 3. 频域循环移位定理 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k) 则 y(n)=IDFTY(k)=WNnlx(n),3. 循环卷积定理 有限

5、长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 若 X(k)=X1(k)X2(k) 则 x(n)=x1(n) x2(n)= 其中 “ ”称为循环卷积。,(3.2.5),注：两个长度为N的序列循环卷积长度仍为N。,图3.2.2 循环卷积过程示意图,注：如果h(n)的长度NL，则需要在h(n)末尾补LN个零。,【例3.2.1】 计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。,解 h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为:,h(n)

6、与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为:,*频域循环卷积定理 如果 x(n)=x1(n)x2(n) 则,(3.2.6),X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n),0kN-1,4. x(n)是长度为N的实序列,且X(k)=DFTx(n),则,1)X(k)实部关于N/2偶对称,即: ReX(k)= ReX(-k)= ReX(N-k) X(k)虚部关于N/2奇对称,即 ImX(k)= -ImX(-k)= -ImX(N-k),1)证：,由1)可推出： 2) X(k)幅频关于N/2偶对称,即 |X(k)|=|X(N-k)| X(k)相频关于N/2奇对称,即 argX(k)=-argX(N-

7、k) 2)的证明作为补充作业。,*关于N/2偶对称(以N为周期)示意图 *关于N/2奇对称(以N为周期)示意图 注：对实序列，仅须画N/2点(0N/2-1)幅频、相频即可。,3.4 DFT的应用,引：DFT在天文学中的应用。 太阳黑子是出现在太阳大气底层-光球层上的巨大气流旋涡，是太阳活动 最明显的标志之一。天文学家根据近300年来的记载，发现太阳黑子活动 有11年的周期。另外，太阳活动还有22年、80多年、170年左右和360年等 多种周期。当几种周期同时达到最高峰的时候，黑子相对数就特别高，对 地球的影响也特别大。通过谱分析测量太阳黑子的周期，可为卫星通信及 电力供应等部门提前预报出黑子活

8、动对电离层影响的程度，以便做好防护 准备。,演示：taiyangheizi.m,（1）x(n)是从1770年至1869年中每年记录到的太阳黑子出现 的次数。 （2）对数据零均值化处理，以消除信号的直流分量。 （3）对数据作功率谱。作DFT时，N=128,fs=1Hz 。,0.086,太阳黑子出现的最主要的周期：T=1/f=1/0.086 11.6(年),太阳黑子数据可从比利时皇家天文台下载。 网址：http:/sidc.oma.be/,一、 DFT计算线性卷积 设h(n)和x(n) 长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积为：,由时域循环卷积定理有 Yl(k)=DFTyl (n)=X (k

9、) H(k) 0kL-1 则当 LN+M-1时， Yc(k)=Yl(k),(3.4.1),(3.4.2),当 LN+M-1时，循环卷积=线性卷积,图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图,%用DFT(实际使用FFT)计算线性卷积 x1=input(x1=); %输入序列x1(n) x2=input(x2=); %输入序列x2(n) N1=length(x1); %x1(n)的长度 N2=length(x2); %x2(n)的长度 E=ceil(log2(N1+N2-1); N=2E; x1=x1,zeros(1,N-N1); %补0 x2=x2,zeros(1,N-N2); X1=fft(x1

10、,N); %X1(k)=DFTx1(n) X2=fft(x2,N); %X2(k)=DFTx2(n) Y=X1.*X2; %Y=X1(k)X2(K) y=ifft(Y,N) %y(n)=IDFTY(k)，y是用DFT计算的线性卷积 y1=conv(x1,x2) %y1是x1(n)与x2(n)的线性卷积（直接计算）,二、 用DFT对信号进行谱分析 信号的谱分析-计算并分析信号的DFT。 谱分析 (1)参数选择 x(t)|t=nTs=x(n) (n=0,1,N-1),注：F越小， 频谱分辨率越高。,*各参数之间的关系:,*各参数必须满足：,例 3.4.1 对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10

11、Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间tPmin， 最大的采样间隔Tsmax， 最少的采样点数Nmin。 若fc不变， 要求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点和最小的记录时间是多少? 解：F=1/tp 10 , 即 tp1/F=1/10， 故 tp min=0.1 s； 因 fs2fc=5 kHz= fsmin， 故Tsmax=1/fsmin=1/5000s=0.2ms N min=2fc /F=5000/10=500点,为使频率分辨率F提高一倍，则 F=5 Hz， 要求 tp 1/F=1/5，故 tp min=0.2 s； N min= 2fc /F =5000/5=10

12、00点， 若用FFT做谱分析，则 N =210=1024点,(2)用FFT计算频谱X(k) 设x(n)为长度N的实序列，则X(k)=FFTx(n) (k=0,1,N-1) Matlab语句：y=fft(x,N) 幅频谱：|X(k)|= Matlab语句：abs(y) 相频谱：(k)=arctgXI(k)/XR(k) Matlab语句：angle(y) 功率谱：PSD(k)=|X(k)|2/N （突出主频率） （|X(k)|2=X(k)X(k)*） Matlab语句：PSD=y.*conj(y)/N 由于X(k)的对称性，所以幅频谱、相频谱及功率谱均画N/2点即可。,(3)读频谱图 *信号存在哪

13、些频率分量，它们就是谱图中峰值对应的频率点。 *频谱图中，任意点k对应实际频率为： f=kF=kfs/N *频率轴的五种定标方式 k-频率点 （最高：k=N/2-1 点） f-频率（Hz）（最高：f=fs/2） -角频率 （rad/s）=2f (最高: =s/2) -数字频率（rad）=2f/fs (最高: = ) f =f/fs-归一化频率 （最高： f =0.5）,补充公式: 1)x(n)=cos(0n),则x(n)的N点DFT为： X(k)=DFTx(n)=N/2(k-k0)+(k+k0-N) (k=0,1,N-1) 其中:频率点 k0= 0N/2,2)x(n)=sin(0n),则x(n

14、)的N点DFT为： X(k)=DFTx(n)=N/(2j)(k-k0)-(k+k0-N) (k=0,1,N-1) (其证明作为补充作业）,2. 用DFT进行谱分析的误差 混叠现象 -由连续信号采样时不满足采样定理(fs2fc) 引起，结果使高频信号混入低频区。 演示1 (2)栅栏效应-从X(k)中只能看到N个离散频率点的频谱特性。 可通过增加DFT变换区间N 来增加采样点数。 演示2 (3)截断效应-对无限长序列x(n)进行截断引起： y(n)=x(n)RN(n) 则,|2/N的部分称主瓣， 其余部分称旁瓣。,其中,(幅度谱),图 3.4.12 加矩形窗前后的频谱,|Y(e j)|,1)泄漏-序列x(n)经截断后，使原谱线向附近展宽。结果使频谱模糊，谱分辨率降低。 可增加N(采样点数）增加谱分辨率。 2)谱间干扰-序列x(n)经截断后，其频谱还在主谱线周围形成旁瓣，引起不同频谱分量间的干扰。 演示3 可用加窗处理减小谱间干扰(旁瓣),但同时也使主瓣展宽而降低 谱分辨率。 演示4,加窗处理 信号x(n)的记录样本y(n)窗函数,海宁窗 w(n)=0.51-cos(2n/N) ; n=0,1