第六章 控制系统的误差分析和计算

1、第六章 控制系统的误差分析和计算,6.1 稳态误差的基本概念 6.2 输入引起的稳态误差 6.3 干扰引起的稳态误差 6.4 减少系统误差的途径 6.5 动态误差系数,6.1 稳态误差的基本概念,对一个控制系统的要求是稳定、准确、快速.误差问题即是控制系统的准确度问题.过渡过程完成后的误差称为系统稳态误差,稳态误差是系统在过渡过程完成后控制准确度的一种度量.,机电控制系统中元件的不完善,如静摩擦、间隙以及放大器的零点漂移、元件老化或变质都会造成误差.本章侧重说明另一类误差,即由于系统不能很好跟踪输入信号,或者由于扰动作用而引起的稳态误差,即系统原理性误差.,对于一个实际的控制系统,由于系统的结

2、构、输入作用的类型(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同,控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当,也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置.这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为原理性稳态误差. 此外,控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区等非线性因素,都会造成附加的稳态误差.这类由于非线性因素所引起的系统稳态误差称为结构性稳态误差. 本章只讨论原理性稳态误差,不讨论结构性稳态误差.,控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系,而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.,误差定义为控制系统希望的输出量

3、与实际的输出量之差,记做e(t),误差信号的稳态分量被称为稳态误差,或称为静态误差,记作ess.输入信号和反馈信号比较后的信号(t)也能反映系统误差的大小,称之为偏差.应该指出,系统的误差信号e(t)与偏差信号(t),在一般情况下并不相同(见图6-1).,控制系统的误差信号的象函数是 (6-1) 而 偏差信号的象函数是 (6-2) 考虑Xi(s)与Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得 (6-3) 及 (6-4) 比较(6-3)和(6-4)两式,求得误差信号与偏差信号之间的关系为,对于实际使用的控制系统来说,H(s)往往是一个常数,因此通常误差信号与偏差信号之间存在简单的比例关系

4、,求出稳态偏差就得到稳态误差.对于单位反馈系统H(s)=1来说,偏差信号与误差信号相同,可直接用偏差信号表示系统的误差信号.这样,为了求稳态误差,求出稳态偏差即可.,6.2 输入引起的稳态误差,单位反馈控制系统,图6-2 单位反馈系统,6.2.1 误差传递函数与稳态误差,根据终值定理,这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意的是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定,用终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常应首先判断系统的稳定性.,输入引起的系统的误差传递函数为,则,图6-3 非单位反馈系统,非单位反馈控制系统,输入引起的系统的偏差传递函数为:

5、,根据终值定理,一般情况下,H为常值,故这时:,例6-1 某反馈控制系统如图6-4,当xi(t)=1(t)时,求稳态误差.,解:该系统为一阶惯性系统,系统稳定.误差传递函数为:,而,则,6.2.2 静态误差系数,设其开环传递函数为:,系统的类型,当 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外， 型及型以上的系统几乎不用。,(1)静态位置误差系数Kp,当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时,其中， ,定义为系统静态位置误差系数。,对于0型系统 对于型或高于型以上系统,(2) 静态速度误差系数Kv,当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t1(t)，即 ，则有 其中 ,定义为系统静态速

6、度误差系数。,对于0型系统： 对于型系统： 对于型或型 以上系统：,(3)静态加速度误差系数Ka,当系统输入为单位加速度信号时，即 则系统稳态偏差为 其中， ,定义为系统静态加速度误差系数。,对于0型系统，Ka=0，ss=； 对于型系统，Ka=0， ss=； 对于型系统，Ka=K， ss= ； 对于型或型以上系统，Ka=， ss=0 。,所以,0型和型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具有单位反馈的型系统在稳定状态下是能跟踪加速度输入信号的.但带有一定的位置误差.高于型系统由于稳定性差, 故不实用.,小 结 (1)位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、匀加速度输入时所引

7、起的输出位置上的误差. (2)表6-1概括了0型、I型和II型系统在各种输入量作用下的稳态偏差.在对角线上,稳态偏差为无穷大;在对角线下,则稳态偏差为零. (3)静态误差系数Kp,Kv,Ka分别是0型、I型、II型系统的开环静态放大倍数,而v=0,1,2则表示系统中积分环节的数目. (4)对于单位反馈控制系统,稳态误差等于稳态偏差. (5)对于非单位反馈控制系统,先求出稳态偏差ss后,再按下式求出稳态误差,表6-1 各种类型的稳态偏差,综上所述,0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入.在系统稳定的前提下,具有单位反馈的I型系统能跟踪斜坡输入,但具有一定的误差.这个稳态偏差ss反比于系统开环静态放大倍数

8、.在系统稳定的前提下,II型或高于II型的系统其稳态偏差为零,因而能准确地跟踪斜坡输入.类似地,0型和I型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具有单位反馈的II型系统在稳定状态下是能够跟踪加速度输入信号的.但有一定的位置误差.,例6-2 设有二阶振荡系统,其方块图如图6-6所示.试求系统在单位阶跃,单位恒速和单位恒加速输入时的静态误差.,解:该系统为二阶振荡系统,系统稳定. 由于是单位反馈系统,偏差即是误差.另外,该系统为I型系统,单位阶跃:,单位斜坡:,单位加速度:,上述结论是在阶跃、斜坡等典型输入信号作用下得到的,但它有普遍的实用意义. 这是因为控制系统输入信号的变化往往是比较缓慢的

9、,可把输入信号在时间t=0附 近展开成泰勒级数,这样,可把控制信号看成几个典型信号之和,系统的稳态误差可 看成是上述典型信号分别作用下的误差总和.,解:首先判别系统的稳定性.由开环传递函数知,闭环特征方程为 根据劳斯判据知闭环系统稳定.,例:系统结构如图所示,求当输入信号r(t)=2t+t2时,系统稳态误差ess.,第二步,求稳态误差ess. 因为系统为型系统,根据线性系统的奇次性和叠加性,有,故系统的稳态误差ess=ess1+ess2=0.1.,6.3 干扰引起的稳态误差,所以干扰引起的稳态偏差为:,干扰引起的偏差为: 根据终值定理,干扰引起稳态偏差为: 则干扰引起稳态误差为:,例6-3 系

10、统结构图如图6-8所示,当输入信号xi(t)=1(t),干扰N(t)=1(t)时,求系统总的稳态误差ess.,解:第一步要判别稳定性.由于是一阶系统,所以只要参数K1,K2大于零,系统就稳定. 第二步,求E(s).因为是单位反馈,稳态误差和稳态偏差相等.先求输入引起的稳态误 差,再求干扰引起的稳态误差,所以,总误差为,例6-4 某直流伺服电动机调速系统如图6-9所示,试求扰动力矩N(s)引起的稳态误差.,解:首先应选择合适的G1(s)使系统稳定.Kc是测速负反馈系数,这是一个非单位反馈的控制系统,先求扰动作用下的稳态偏差,再求稳态误差ess. 设G1(s)=1,系统是一阶的,因此稳定.图6-9

11、中,R是电动机电枢电阻,CM为力矩系数,N是扰动力矩,干扰作用为一个常值阶跃干扰,故稳态偏差为,则稳态误差为,当时，,可见，反馈系数越大，则误差越小；干扰量越小，则误差越小；扰动作用点与偏差信号间的放大倍数越大，则误差越小 为了进一步减少误差，可让 ,称为比例加积分控制. 选择，使系统具有一定的稳定裕量，同时，其稳态偏差为,因而稳态误差ss. 从物理意义上看，在扰动作用点与偏差信号之间加上积分环节就等于加入静态放大倍数为无穷大的环节，因此静态误差为.,一般而言，如果反馈控制系统对前向通道的扰动是一个阶跃函数，则只要保证 系统稳定，并且在扰动作用点前有一个积分器，就可以消除阶跃扰动引起的稳 态误

12、差图-所示为稳定系统，（）和（）中不包含纯微分 环节，根据题意可表达为,同理,如果反馈控制系统对前向通道的扰动是一个斜坡函数,那么只要保证系统稳定,并且在扰动作用点前有两个积分器,就可以消除斜坡扰动引起的稳态误差.图6-11所示为稳定系统,G1(s)和H(s)中不包含纯微分环节,根据题意可表达为:,作为对比,如果将积分器1/s置于干扰点之后,如图6-12所示.,当没有积分器1/s时,当 设置积分器1/s时,对比两种情况可以看出,将积分器1/s置于干扰点之后对消除阶跃扰动N引起的稳态误差没有什么好处.,另外需要注意,当扰动作用点在前向通道时,通过环节的调整可以减少其影响.例如,前面提到的保证系统

13、稳定的前提下,在扰动作用点前设置积分器或在扰动作用点前加大放大器增益,可使扰动影响减少;但当扰动作用点在反馈通道时,则很难使扰动影响减少.,扰动作用点在前向通道,扰动作用点在反馈通道,6.4 减小系统误差的途径,(1)反馈通道的精度对于减小系统误差是至关重要的.反馈通道元部件的精度要高,避免在反馈通道引入干扰. (2)在保证系统稳定的前提下,对于输入引起的误差,可通过增大系统开环放大倍数和提高系统型次减小之;对于干扰引起的误差,可通过在系统前向通道干扰点前加积分器和增大放大倍数减小之. (3)对于既要求稳态误差小,又要求良好的动态性能的系统.单靠加大开环放大倍数或串入积分环节往往不能同时满足要

14、求,这时可采用复合控制的方法,或称顺馈的办法来对误差进行补偿.补偿的方式可分成按干扰补偿和按输入补偿两种.,顺馈又称前馈,它是从系统输入端,通过设置顺馈通道而引进顺馈信号,将之加到系统某个中间环节,以补偿扰动信号对系统输出的影响,或减小系统响应控制信号的误差. 顺馈的缺点是在使用时需要对系统有精确的了解,只有了解了系统模型才能有针对性的给出预测补偿.但在实际工程中,并不是所有的对象都是可得到精确模型的,而且大多数控制对象在运行的同时自身的结构也在发生变化.所以仅用顺馈并不能达到良好的控制品质. 这时就需要加入反馈,反馈的特点是根据偏差来决定控制输入,不管对象的模型如何,也不管外界的干扰如何,只

15、要有偏差,就根据偏差进行纠正,可以有效的消除稳态误差.解决顺馈不能控制的不可测干扰.,当干扰直接可测量时,那么可利用这个信息进行补偿.系统结构如下图所示. Gn(s)为补偿器的传递函数. 输出对干扰的闭环传递函数为: 令 则干扰对输出的影响可消除， 得到对于干扰全补偿的条件为:,1. 按干扰补偿,(1)从结构图可看出,实际上是利用双通道原理使扰动信号经两条通道到达相加点时正好大小相等,方向相反.从而实现了干扰的全补偿. (2)但在实际的系统中,有时 是难以实现的.因为一般物理系统的传递函数分母的阶数总比分子的阶数高.一般采取近似的补偿,以减小给定或扰动引起的稳态误差.,2. 按输入补偿(应用顺

16、馈减小输入引起的误差) 按下面推导确定Gr(s),使系统满足输入信号作用,误差得到全补偿. 即应用顺馈控制实现输出信号对输入信号的完全复现.,从上面分析可以看出,按输入补偿的办法,实际上相当于将输入信号先经过一个环节,进行一个“整形”,然后再加给系统回路使系统既能满足动态性能的要求,又能保证高稳态精度.,6.5 动态误差系数,稳态误差相同的系统其误差随时间的变化常常并不相同,系统误差随时间的变化动态误差,静态位置、静态速度和静态加速度误差系数均相同,稳态误差相等;但时间常数、阻尼比有差别,则过渡过程将不同,其误差随时间的变化也不相同.,研究动态误差系数就可能提供一些关于误差随时间变化的信息,即系统在给定输入作用下达到稳态误差以前的变化规律.,对于单位反馈系统,输入引起的误差传递函数在s=0的邻域展开成台劳级数,并近似地取到n阶导数项,即得,将上式进行拉氏反变换,得,定义上式中, k0 动态位置误差系数; k1 动态速度误差系数; k2 动态加速度误差系数. 与静态误差系数越大则静态误差越小类似,其动态误差系数越大则动态误差也越小.,可把输入信号在时间t=a附近展开成泰勒级数.,例6-5: 设单位反