高考数学理全国通用大一轮复习课件第七篇立体几何与空间向量必修2选修21第7节立体几何中的向量方法第二课时求空间角与距离

1、第二课时求空间角与距离,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,向量法求异面直线所成角,【例1】 导学号 18702401 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BCAC, BAC= ,AC=4,点M为AA1的中点,点P为BM的中点,Q在线段CA1上,且A1Q=3QC,则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为.,向量法求异面直线所成角的方法,反思归纳,提醒:两异面直线所成角的范围是 ,两向量的夹角的范围是0,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.,【教师备用】 (2015全国卷)如图,四边形ABCD为菱形,ABC

2、=120, E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF, AEEC. (1)证明:平面AEC平面AFC;,(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.,考点二,向量法求直线与平面所成角,【例2】导学号 18702402 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形, DAB=60,PD平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点. (1)求证:直线AF平面PEC;,(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.,反思归纳,【即时训练】 导学号 18702404 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求BB1与平面ACD1所成的角的余弦值.,考

3、点三,向量法求二面角的大小(高频考点),考查角度1:计算二面角的大小 【例3】 (2016山东卷) 在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线. (1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH平面ABC;,(1)证明:设FC的中点为I,连接GI,HI, 在CEF中,因为点G,I分别是CE,CF的中点, 所以GIEF, 又EFOB,所以GIOB, 在CFB中,因为H,I分别是FB,CF的中点, 所以HIBC, 又HIGI=I, 所以平面GHI平面ABC, 因为GH平面GHI, 所以GH平面ABC.,(1)利用向量法计算二面角大小的常用方法 找法向

4、量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小. 找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. (2)利用法向量求二面角时的两个注意点 对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着,不用单独求. 注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可结合图形进行,以防结论失误.,反思归纳,【即时训练】导学号 18702406 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AD平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上. (1)求证:BCA1B;,(1

5、)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, 所以A1A平面ABC, 又BC平面ABC,所以A1ABC. 因为AD平面A1BC,且BC平面A1BC, 所以ADBC. 又AA1平面A1AB,AD平面A1AB,A1AAD=A, 所以BC平面A1AB, 又A1B平面A1AB, 所以BCA1B.,(2)若AD= ,AB=BC=2,P为AC的中点,求二面角P-A1B-C的平面角的余弦值.,考查角度2:已知二面角的大小求参数 【例4】导学号 18702408 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,BCC1= . (1)求证:C1B平面ABC;,考

6、点四,向量法计算空间距离,【例5】 导学号 18702409 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,动点P在棱A1B1上.当A1P= A1B1时,求点C到平面D1DP的距离.,(1)空间中两点间的距离的求法 两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此,要求两点间的距离除了使用距离公式外,还可转化为求向量的模. (2)求点P到平面的距离的三个步骤: 在平面内取一点A,确定向量 的坐标表示; 确定平面的法向量n. 代入公式d= 求解.,反思归纳,【即时训练】导学号 18702410 如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2 ,则点A

7、到平面MBC的距离为.,解析:设CD的中点E,连接ME,BE, 因为MCD是正三角形,所以MECD. 又因为平面MCD平面BCD, ME平面MCD. 平面MCD平面BCD=CD. 所以ME平面BCD. 因为BCD是正三角形,所以BECD, 以E点为坐标原点,ED,EB,EM所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图.,备选例题,【例1】如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P为侧棱SD上的点. (1)求证:ACSD;,(2)若SD平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;,(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由.,【例2】如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且