流体力学讲稿第三章201510a参考件1

1、1,例 水波问题分析 当流体处于静止状态时，自由面是水平的。当流体质点受到某种扰动而离开平衡位置时，重力作为恢复力将使流体质点回到原来的平衡位置，但由于惯性，流体质点在回到平衡位置时，不会停下而是继续运动，这样重力又将发挥恢复力的作用，如此流体质点反复振荡，在自由面上形成波浪。,第三章 流体运动的基本方程组,2020/9/6,2,步一：给出水波问题的基本（假定）条件,1）水是无粘性 (不考虑水粘性)； 2）水是不可压缩流体； 3）水波运动流场是无旋的。,水波问题是理想不可压流体的无旋运动问题,水波问题必须服从不可压势流运动的基本控制方程,2020/9/6,3, 水的流体质点运动方程 1）拉格朗

2、日形式 - 2）欧拉形式 - （利用 ）,步二：推导出水波问题的基本方程,2020/9/6,4,*拉格朗日流体质点运动方程之推导 -方程的一般形式： 式中, 为作用于单位质量流体上之体力。 -推导过程：采用微元分析法，如图示，在x轴方向由左右两面压强差产生的合力为 同理，在y和z轴方向由压强差产生的合力应分别为 故作用于微元体上对应的总合力为,2020/9/6,5,设作用于微元体单位质量的体力为 ，则作用于微元体上的总 体力为 ，另微元体加速度为 ，应用牛顿定律可得： 即 - 也可直接由流体的纳维斯托克斯方程 (N-S方程) 对于无粘流体，有 ，故有欧拉方程,2020/9/6,6,连续方程 -

3、 （涉及质量守恒律:由一个流体系统中的流体质量在运动过程中保持不变。按雷诺输运定理，即在一固定空间中流体质量的减少率等于单位时间内通过控制体表面流出的流体净质量） 调和方程(拉普拉斯方程) - （涉及亥姆霍兹定理：体力有势的无粘正压流体,沿任一条由相同质点构成的封闭线之环量不随时间变化，由此可知，流体若开始流动时处处无旋，则以后时刻保持无旋） 伯努利方程（拉格朗日积分） - （涉及体力有势的无粘正压 流体的欧拉运动方程应用）,7,第三章 流体运动的基本方程组 1. 系统与控制体 系统 - 某一确定流体质点集合的总体称为系统,系统以外部分称为外界,其与系统的分界面称为边界。 - 系统的特点为：(

4、i)系统内质点始终包含在系统内，系统边界的形状和空间大小一般随运动而变；(ii)系统与外界无质量交换，可有力的相互作用和能量交换(类似理论力学质点系特性) 。 - 以系统为研究对象的运动描述方法为拉格朗日描述法。 控制体 - 流体所在空间以假定或真实流体边界包围且一般固定不动而形状任意的空间体积称为控制体，其表面称为控制面。 -控制体特点为：(i)控制体形状和空间大小一般不变，相对某一坐标固定不动，而控制体内质点组成可能变化。 (ii)控制体与外界可能存在质量和能量交换以及力的相互作用。 -控制体以空间变量描述运动，称为欧拉描述法。,8,2. 雷诺输运定理 基本定理 - 某时刻一可变体积上系统

5、总物理量的时间变化率,等于该时刻所处控制体中物理量的时间变化率加上单位时间通过该控制体边界净输运的流体物理量，其数学表达式为 式中， 为t时刻单位体积流体的某物理量分布函数，而 为t时刻流体域 上的总物理量（例如总流体 质量为 ）。 分析：设 时刻体积在空间位置 上， 时刻体积在空间位置 上，由：,2020/9/6,9,现将 分为两部分，即与 (视为控制体)重合部分 以 及新占区域 ，而从 空出部分可设为 (均取 时刻)，故有 由此 对于第一个极限，有： 其中 为 边界底面积面元， 为沿边界外法向单位矢量 方向的边长,也即体元高，相应有,故 式中 为 与 之界面，极限表示单位时间从 上移出的物

6、理量。 对于第二个极限有： 对于第三个极限有： 式中 为 与 之界面，极限表示单位时间从 上移入的物理量。 与 构成 的全部边界 ,则有 相应,控制体中物理量的时间变化率,单位时间通过控制体边界净输运的流体物理量,*若控制体固定不变形，则可有,12,单位时间从 表面S净向外输运的物理量,也即,控制体中物理量的时间变化率,其中,2020/9/6,13,3. 微分连续性方程 流体力学基本方程组的一般概念 - 流体运动遵循的基本定律包括：质量守恒律、动量平衡律、动量矩平衡律、能量守恒律及熵不等式，其补充方程包括本构方程和状态方程等。定律的数学表达方式包括拉格朗日型和欧拉型，后者常用于对流体物理量分布

7、的计算。另定律的数学表达形式包括微分和积分形式。 质量守恒律的基本含义 - 一个流体系统中的流体质量在运动过程中保持不变。按雷诺输运定理，即在一个固定空间（控制体）中流体质量的减少率（单位时间内控制体中流体质量的减少）等于单位时间内通过该控制体表面流出的流体净质量,也即有, 微分形式连续性方程推导 如图示,2020/9/6,15,16,17,对于均质不可压流体,均质不可压流体,2020/9/6,18,*积分法推导,定常运动或均质 不可压流中，有,管道截面上流动均匀的均质不可压流体满足关系,对于定常流动，单位 时间通过流管各截面的 流体质量守恒,2020/9/6,19,* 在定常流中，流管形状不

8、变，像固定的管道,2/2,例 在下图所示的收缩喷管流场中，设 截面附近的 点的轴向速度为 ，速度梯度为 ， 点在 点的上方 处。 求 点横向速度分量。 分析：由不可压缩流动连续性方程 可得 本例说明 点 x方向正的速度梯度引起y 方向负的速度梯度，两侧质点向轴心流动。,2020/9/6,定常运动中，有,流动均匀的均质不可压流体,2020/9/6,22,*收缩喷管定常流动：迁移加速度 下图为一圆锥形收缩喷管，长为36cm，底部A0和A3的直径分别 为9cm和3cm，恒定流量Q=0.02m3/s;,试按一维流动计算四个依序等距截面（如图示）上的速度和加速度。,其中A的半径为：,2020/9/6,23,分析：取轴向流动方向为x轴，底部为原点。喷管内为定常流动， 当地加速度（速度的局部导数）为零，只有迁移加速度（速度的位变导数）。按一维流动计算，设V为距底部距离为x的管截面上的平均速度，则对应的面积、速度和加速度算式分别为,讨论：结果表明，圆锥进出口截面直径比为1:3，速度比为1:9，加速度比为1:242。由牛顿第二定律，加速度与作用力成正比，因此流体对喷管壁的冲击力将是很大的。,20